Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Геометрический смысл дифференцируемости. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Рассмотрим поверхность S: z = f(x, y), дифференцируемую в т. S.

Определение 1. Плоскость, проходящая через т. М₀, называется касательной плоскостью к поверхности S в т.М₀, если угол между ней и секущей (М₀М₁) ( ) стремится к нулю при .

Определение 2. Вектор, ортогональный к касательной плоскости в т.М₀, называется нормальным вектором к поверхности в этой точке. Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая через т.М₀ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке. Обозначим , . Вектор приращения:

Из условия дифференцируемости функции z следует, что

Рассмотрим плоскость и угол φ между секущей и этой плоскостью: при Отсюда сразу следует, что плоскость П – касательная к поверхности в т.М₀. В результате имеем:

Функция z = f(x, y), дифференцируемая в некоторой точке (х₀, у₀) имеет в соответствующей т.М₀ касательную плоскость: и нормальный вектор

Пример.

Геометрический смысл полного дифференциала первого порядка

Векторные ФНП.Рассмотрим вектор, каждая координата которого является функцией нескольких переменных: . Такие векторы будем называть вектор – функциями нескольких переменных или ВФНП. С примером такой функции мы

встречались в §13 − это градиент функции u: В общем случае ВФНП представляет собой отображение

Функции называются координатными функциями.

Стандартным образом определяются линейные операции над векторами и скалярное произведение векторов, а для трехмерных ВФНП ( m = 3) и векторное произведение (при этом точку х можно считать фиксированной, т.е. вектор – функции обычными геометрическими векторами). Произведение ВФНП на скалярную функцию определяется естественным образом: При рассмотрении геометрического смысла ВФНП удобно считать все векторы радиус – векторами, т.е. векторами, имеющими общее начало в начале координат. Отображение описывает кривую в пространстве, а

поверхность в пространстве.

Предел ВФНП определяется через пределы координатных функций: если и Сохраняются все основные свойства пределов: пределы суммы, произведения вектор – функции на скалярную функцию, скалярного и векторного произведений равны сумме и соответствующим произведениям пределов этих функций (конечно, при существовании всех пределов).

Понятие предела естественным образом приводит к понятию непрерывности:

ВФНП называется непрерывной в т. х^о, если Остаются верными все основные свойства непрерывных функций.

Частные производные ВФНП. Матрица и определитель Якоби.

Понятие предела позволяет определить и частные производные ВФНП:

(последнее равенство вытекает из предыдущих определений и свойств). Все первые частные производные ВФНП можно записать в виде матрицы: , называемой матрицей Якоби.

Если m = n, то матрица Якоби – квадратная и имеет определитель, называемый якобианом,

который обозначают символом .

Производная по направлению

Дифференциал ВФНП.Если все независимые переменные получат приращения , то все координатные функции получат соответствующие приращения . При условии дифференцируемости координатных функций, главные части этих приращений будут равны их дифференциалам: (§5). Рассматривая приращение самой ВФНП, получим: . Можно показать, что главная часть приращения ВФНП равна , т.е. . Таким образом, дифференциал ВФНП равен: С помощью матрицы Якоби данного отображения дифференциал ВФНП легко представляется в матричной форме: , что устанавливается непосредственной проверкой.

Поэтому (в частности) матрицу Якоби данной системы функций иногда называют обобщенной производной этого преобразования (вспомним формулу для функции одной переменной).

Производные сложной ВФНП. Рассмотрим сначала простой частный случай, когда все переменные х_к есть функции одной переменной t: Таким образом, , а производная этого вектора равна В свою очередь, Легко видеть, что Такое же соотношение имеет место и в общем случае: (опять можно вспомнить формулу ).

Пример. Векторное поле равно:

Делается переход к сферическим координатам: Вычислить якобиан.

Градиент скалярного поля

Производная по направлению. Градиент. Рассматривается функция и единичный вектор . Проводится прямая l через т.М₀ с направляющим вектором

Определение 1. Производная функции u = u(x, y, z) по переменной t называется производной по направлению l

Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12).

Она обозначается и равна

Определение 2. Градиентом функции u(х₁, х₂, …, х_n) называется вектор, координаты которого равны частным производным функции u: В нашем случае Таким образом, производная по направлению равна: , где φ − угол между направляющим вектором прямой и градиентом функции в данной точке. Отсюда следует геометрический и физический смысл градиента функции (необходимо помнить, что скорость изменения функции вдоль прямой l ):

1. Градиент ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня в данной точке.

2. Градиент направлен в сторону максимального роста (изменения) функции в т.М₀.

{Этот максимум достигается при φ = 0, т.е. при }

3. Величина наибольшей скорости роста функции равна .

Пример. Найти направление максимального возрастания функции в т.М₀(2, 1, 4) и величину скорости этого роста.

Формула Тейлора для ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Для функции одной переменной формула Тейлора имеет вид:

Если обозначить , то формулу Тейлора можно написать в дифференциальной

форме: . Оказывается, в случае нескольких переменных для (n+1) раз дифференцируемой в окрестности т. х^о функции формула Тейлора имеет такой же вид:

{без вывода}

 

12345678Следующая ⇒

Поделиться: