Определение однородного дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению

для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y:

Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде

или через дифференциалы:

где P(x, y) и Q(x, y) − однородные функции одинакового порядка.

Определение однородной функции

Функция P(x, y) называется однородной функцией порядка n, если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение:

Решение однородных дифференциальных уравнений

Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение вида

преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной:

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Нетрудно заметить, что многочлены P(x, y) и Q(x, y), соответственно, при dx и dy, являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным.
Положим y = ux, где u − некоторая новая функция, зависящая от x. Тогда

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем

Следовательно,

Разделим обе части уравнения на x:

Выполняя деление x, мы могли потерять решение x = 0. Прямая подстановка показывает, что x = 0 действительно является одним из решений нашего уравнения.
Интегрируем последнее выражение:

где C − постоянная интегрирования.
Возвращаясь к старой переменной y, можно записать:

Таким образом, уравнение имеет два решения:

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Заметим, что корень x = 0 не принадлежит области определения заданного дифференциального уравнения. Перепишем уравнение в следующей форме:

Как видно, уравнение является однородным.
Сделаем замену y = ux. Следовательно,

Подставляем полученное выражение в дифференциальное уравнение:

Разделим обе части на x ≠ 0:

В результате мы получаем уравнение с разделяющимися переменными:

На следующем шаге проинтегрируем левую и правую части уравнения:

Следовательно,

Постоянную C здесь можно записать как ln C₁ (C₁ > 0). Тогда

Таким образом, мы получили два решения:

Если C₁ = 0, то ответом является функция y = xe. Легко убедиться, что эта функция будет также и решением дифференциального уравнения. В самом деле, подставляя

в дифференциальное уравнение, находим:

Таким образом, все решения дифференциального уравнения можно представить одной формулой:

где C − произвольное действительное число.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Здесь мы снова встречаемся с однородным уравнением. В самом деле, запишем его в виде:

Сделаем подстановку y = ux. Тогда y' = u'x + u. Подставляя y и y' в исходное уравнение, получаем:

Разделим обе части уравнения на ux². Заметим, что корень x =0 не является решением, но можно убедиться, что корень u = 0 (или y = 0) будет одним из решений данного дифференциального уравнения.
В результате получаем:

Интегрируя, находим общее решение:

Учитывая, что , последнее выражение можно записать в форме

Обратная функция x(y) имеет явный вид:

Поскольку C − произвольное число, знак " минус" перед этой константой можно заменить на знак " плюс". Тогда получаем:

Таким образом, дифференциальное уравнение имеет решения:

Пример 4

Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Из вида правой части уравнения следует, что x ≠ 0 и y ≠ 0. Можно сделать подстановку: y = ux, y' = u'x + u, которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными:

Интегрируя данное уравнение, получаем:

Переобозначим 2C просто как постоянную C. Следовательно,

Итак, общее решение записывается в виде:

Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видно, данное уравнение является однородным. Поэтому, воспользуемся подстановкой y = ux, y' = u'x + u. В результате уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим обе части на x³. (Заметим, что корень x = 0 не является решением).

Теперь можно проинтегрировать последнее уравнение:

Так как u = y/x, то решение записывается в виде:

Отсюда следует, что

Переобозначим для краткости: e^C = C₁, (C₁ > 0). Тогда решение в неявной форме определяется уравнением:

где постоянная C₁ > 0.

Пример 6

Решить уравнение .

Решение. Видно, что числитель и знаменатель в правой части соответствуют пересекающимся прямым. Поэтому данное дифференциальное уравнение можно преобразовать в однородное путем соответствующего преобразования координат. Пусть новые и старые координаты связаны соотношениями:

Константы α и β мы определим позже. Подставляя указанные соотношения в уравнение, получаем:

В новых координатах дифференциальное уравнение принимает вид:

Данное уравнение будет однородным, если коэффициенты α и β будут удовлетворять системе уравнений

Решая данную систему уравнений относительно α и β , находим:

При указанных значениях α и β дифференциальное уравнение записывается следующим образом:

Мы получили однородное уравнение. Далее делаем замену: Y = uX, где u − некоторая функция X. Следовательн, dY = Xdu + udX. В итоге мы имеем:

Разделим числитель и знаменатель в правой части на X. Можно проверить, что X = 0 или x = X + α = − 1/2 не является решением дифференциального уравнения.
Простые преобразования приводят к следующему результату:

Разложим квадратичную функцию в числителе дроби в правой части на произведение одночленов:

Следовательно,

Тогда

Разделяя переменные, можно записать:

Интегрируем полученное уравнение:

Теперь преобразуем подынтегральное выражение в левой части. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов и разложим подынтегральное выражение на сумму рациональных дробей:

Следовательно,

Таким образом, дифференциальное уравнение записывается в следующем виде:

После интегрирования обеих частей получаем:

где постоянная C является положительным действительным числом.
Перепишем решение через переменные X и Y:

Далее удобно обозначить: 5lnC = lnC₁, где C₁ − произвольное положительное число. Таким образом, решение можно записать в виде:

Теперь мы можем вернуться к первоначальным переменным x, y. Так как

то получаем:

Правую часть можно снова несколько упростить:

Тогда окончательное общее решение исходного дифференциального уравнения выражается следующей неявной формулой:

где постоянная C₃ − любое число, не равное нулю.

Пример 7

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Можно заметить, что уравнения прямых в числителе и знаменателе в правой части соответствуют параллельным прямым. Поэтому, сделаем следующую замену переменных:

В результате дифференциальное уравнение принимает вид:

Как видно, мы получили простое уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим ответ:

Из последнего выражения можно вывести явную функцию y(x):

Таким образом,

4. Линейные уравнения. Определение, методы решений, примеры

Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y ( x ) и её производная входят в уравнение в первой степени

(14)

Здесь p ( x ), q ( x ) - непрерывные функции.
Для решения уравнения (14) представим y ( x ) в виде произведения двух новых неизвестных функций u ( x ) и v ( x ): y ( x ) = u ( x ) v ( x ). Тогда , и уравнение приводится к виду , или . Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v ( x ) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными ; затем находим u ( x ) из уравнения . Итак, (мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v ( x ), обнуляющую слагаемое со скобками в уравнении ). Теперь уравнение для u ( x ) запишется как . Общее решение уравнения . Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.
Пример: .
Решение: . Теперь для u ( x ) получим: , и общее решение уравнения . Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям задачи Коши, подставим в общее решение . Решение задачи: .
Этот метод решения линейных уравнений часто реализуется по-другому - в форме вариации произвольной постоянной. Уравнение (14) называется однородным, если q ( x ) = 0. Пусть дано неоднородное уравнение (14) . Оно, как и в предыдущем случае, решается в два этапа. Обнулим правую часть, получившееся уравнение будем называть однородным уравнением, соответствующим уравнению (14): . Решаем это уравнение: (при делении на y теряется решение y ( x ) = 0, но оно входит в общее решение при C = 0). Теперь ищем общее решение уравнения (14) в виде , где - новая неизвестная функция; находим производную и подставляем в (14) y и : , или , где . Теперь .
Понятно, что обе реализации решения имеют один смысл (решение однородного уравнения играет роль функции v ( x ), варьируемая постоянная C ( x ) - роль функции u ( x )).
Отметим ещё одно важное обстоятельство. Переменные x и y, входящие в уравнение, равноправны, поэтому при определении типа уравнения надо иметь в виду, что может оказаться предпочтительней искать решение в виде x = x ( y ), а не в виде y = y ( x ).
Пример: ( x + y ²) dy = ydx. Если мы представим это уравнение в виде , то решить его не сможем, так как оно не принадлежит ни одному из рассмотренных типов. Если же представить его в виде , то относительно функции x = x ( y ) оно линейно. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее однородное уравнение: . Его решение: . Ищем решение данного уравнения в форме x = C ( y ) y. Тогда (постоянная C ₀ переобозначена как ). Утерянное решение - y = 0.

5. Уравнение Бернулли. Определение, методы решений, примеры

Уравнение Бернулли. Так называется уравнение

(15)

где (при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными). Это уравнение решается одним из следующих способов:
1. Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y ^{1- m} (при m > 1 может быть потеряно решение y = 0). Действительно, , ; после деления уравнения (15) на y^m получим , или - линейное уравнение.
Пример: (уравнение Бернулли, m = 2). Подстановка . Решаем полученное линейное уравнение: .
2. Можно сразу решать уравнение Бернулли методом, которым решаются линейные уравнения, т.е. заменой y ( x ) = u ( x ) v ( x ): из этого выражения находим u ( x ), и y ( x ) = u ( x ) v ( x ).
Пример: решить задачу Коши Как и в предыдущем примере, это уравнение не попадает ни под один из рассмотренных типов: оно не является ни уравнением с разделяющимися переменными (наличие суммы x ² + y ), ни уравнением с однородной правой частью (слагаемые разных порядков - первого и второго в этой сумме), ни линейным, ни Бернулли (другая структура). Попробуем опять представим это уравнение как уравнение относительно x = x ( y ): Это уже уравнение Бернулли с m = -1. Начальное условие примет вид x (1) = 2. Решаем уравнение: . Тогда . Это общее решение уравнения (утерянное решение y = 0 не удовлетворяет начальному условию). Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию: ; решение задачи Коши: .

6. Уравнения в полных дифференциалах, метод решения, примеры

Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида

P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = 0. (16)

( P ( x, y ), Q ( x, y ) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u ( x, y ), т.е. если существует такая функция u ( x, y ), что . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие . Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна , т.е. (16) принимает вид du ( x, y ) = 0. На решении y ( x ) получим du ( x, y ( x )) = 0, следовательно, u ( x, y ( x )) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u ( x, y ) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.
Для нахождения функции u ( x, y ) решается система уравнений Из первого уравнения этой системы находим с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется .
Пример: найти общее решение уравнения . Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах. Здесь ; , т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа. Ищем функцию u ( x, y ) такую, что Из первого уравнения . Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы: . Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении для должны остаться только члены, зависящие от y. Действительно, представляя как , получим . Следовательно, , и общее решение уравнения имеет вид .

14.3.6. Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. Если в окрестности точки ( x ₀, y ₀) плоскости для уравнения выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f ( x, y ) и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая. Если эти условия нарушаются, точку ( x ₀, y ₀) называют особой точкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т.е. задача , y ( x ₀) = y ₀ не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называют особым решением. Для примера рассмотрим уравнение . Здесь - непрерывна в любой точке ( x, y ), но - не имеет конечного предела при , т.е. в любой точке ( x, y ) при y = 0 нарушается условие существования непрерывной производной . Следовательно, любая точка ( x, 0) является особой точкой уравнения. Прямая y = 0, очевидно, интегральная кривая уравнения (функция y = 0 удовлетворяет уравнению). Найдём общее решение этого уравнения: . Несколько таких функций приведено на рисунке справа вверху вместе с решением y = 0. В любой точке ( x, 0) нарушается единственность решения, таким образом, решение y = 0 - особое. На самом деле через любую точку ( x, 0)проходит бесконечное количество интегральных кривых, так как любая кривая, составленная из частей особого и неособых решений (одна такая кривая выделена красным пунктиром), также является интегральной кривой.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: