![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Интегральный признак сходимости
Теорема. (Интегральный признак Коши) Пусть члены знакоположительного числового ряда u1+u2+…+un… (7) не возрастают: u1³ u2≥ …≥ un≥ … и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1; ∞ ) функция, что f(1)=u1, f(2)= u2, …, f(n)= =un, …. Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1; n] и построим прямоугольник с основаниями [1; 2], [2; 3], …, [n-1; n] и высотами u1, u2, …, un-1, а также с высотами u2, u3, …, un. Sn=u1+u2+…+un-1+un, Sвпис=u2.1+u3.1+…+un.1=u2+u3+…+un=Sn-u1, Sопис=u1+u2+…+ +un-1=Sn-un. Площадь криволинейной трапеции S= и Sn> un+ Пусть Пример. Исследуем с помощью интегрального признака Коши обобщённый гармонический ряд Очевидно, f(x)= При к=1 имеем Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится при k> 1 и расходится при k≤ 1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Определение Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами. Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на –1. Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов. Определение. Числовой ряд вида u1-u2+u3-u4+…+ +(-1)n-1.un+…, где un – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом. Теорема. (Признак Лейбница) Если для знакочередующегося числового ряда Выполняются два условия: Члены ряда убывают по модулю u1> u2> …> un> …, Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S2n=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2n-1-u2n). По условию u1> u2> …> u2n-1> u2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n> 0 при любом n. С другой стороны S2n=u1-[(u2-u3)+(u4-u5)+…+(u2n-2-u2n-1)+u2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S2n> 0, поэтому S2n< u1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S2n+1=S2n+u2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→ ∞ : Пример. Исследовать на сходимость ряд Применим признак Лейбница. un= Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится. Замечания. 1. Теорема Лейбница справедлива и если условие un> un+1 выполняется, начиная с некоторого номера N. 2. Условие un> un+1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд Определение . Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно. Определение 9. Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно. Пример. Установить характер сходимости ряда Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. Действительно: Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда Абсолютная сходимость рядов Теорема 10. (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости) Пусть u1+u2+…+un+…= Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд (u1+│ u1│ )+(u2+│ u2│ )+…+(un+│ un│ )+…= Очевидно, 0≤ un+│ un│ ≤ 2│ un│ при всех n=1, 2, …. Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд Замечание. Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходиться. Например, ряд Остаток ряда и его оценка Рассмотрим сходящийся числовой ряд Вычисление суммы ряда S= Определение. Если числовой ряд сходится, то разность Rn=S-Sn называется n-м остатком ряда. Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд: Rn= un+1+un+2+…. Заметим, что Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна |Rn|=|S-Sn|. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E> 0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие |Rn|< E. Однако в общем случае находить точно Rn не удаётся. Теорема (об оценке остатка знакочередующегося числового ряда) Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n-й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n+1)-го члена ряда. Доказательство. Пусть ряд u1-u2+u3-u4+…+(-1)n-1.un+… сходится по признаку Лейбница. Тогда n-й остаток ряда Rn=±(un+1-un+2+un+3-…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn|≤ |un+1|. Теорема доказана. Пример. Вычислить с точностью до 0, 01 сумму ряда Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. u1= Действия над рядами Действия с числовыми рядами Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, т.е. сохраняют сумму ряда, только если она существует): · Линейная комбинация рядов Если ряды · Группировка членов ряда Сгруппируем слагаемые ряда · Перестановка членов ряда Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного A (в том числе |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 820; Нарушение авторского права страницы