Признаки сравнения числовых рядов

Определение . Числовой ряд называется знакоположительным, если u_n> 0 при всех n=1, 2, 3….

Нахождение суммы ряда S= часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближённо: S≈ S_n. Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов. В этом параграфе будем рассматривать знакоположительные числовые ряды. Для таких рядов частичные суммы S₁, S₂, …, S_n, … образуют возрастающую числовую последовательность S₁< S₂< …< S_n< ….

Возможны два случая:

1) последовательность частичных сумм неограничена; в этом случае =∞ и ряд расходится;

2) последовательность частичных сумм ограничена, то есть существует такое число С> 0, что S_n< C при любых n=1, 2, …. В этом случае существует конечный предел , следовательно, ряд сходится.

Таким образом, для доказательства сходимости знакоположительного числового ряда достаточно доказать ограниченность последовательности его частичных сумм.

Теорема. (Признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда

(7)

(8)

причём u_n≤ v_n при любых n=1, 2, ….

Тогда: 1. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7);

2. Если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8).

Доказательство. Обозначим n-е частичные суммы рядов (7) и (8) через S_n и s_n соответственно. Пусть ряд (8) сходится. Это значит, что существует конечный =s. По условию теоремы 0< u_n≤ v_n, поэтому S_n< s_n< s при всех n=1, 2, …, то есть последовательность {S_n} ограничена, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть теперь ряд (7) расходится, то есть =∞ . Тогда из неравенства S_n< s_n следует, что и =∞ , следовательно, ряд (8) расходится. Теорема доказана.

Замечания. 1. В силу теоремы 1 признак сравнения справедлив и в случае, если u_n≤ v_n начиная с некоторого номера к, то есть при n≥ k.

2. Для использования признака сравнения нужно иметь для сравнения ряды, про которые заранее известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов можно использовать сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а также обобщённые гармонические ряды где к – действительное число. Несколько позже будет доказано, что при к≤ 1 такие ряды расходятся, а при k> 1 сходятся. При к=1 получаем уже упоминавшийся расходящийся гармонический ряд.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

.Рассмотрим расходящийся ряд

Он расходится, так как получен из гармонического ряда отбрасыванием u₁=1. Так как ln(n+1)< n+1 при любом n=1, 2, …, то поэтому данный ряд расходится по признаку сравнения.

Теорема (Предельный признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда (7) и (8). Если существует конечный предел ≠ 0, то ряды (7) и (8) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По условию теоремы существует конечный предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n≥ N выполняется условие Последнее неравенство равносильно двойному неравенству –E< -A< E или A-E< < A+E или (9)

Неравенство (9) верно при любом E> 0. Выберем поэтому Е так, чтобы выполнялось А-Е> 0. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд по теореме 2. Но тогда по признаку сравнения, учитывая (9), сходится и ряд (7). Если ряд (7) сходится, то по признаку сравнения, учитывая (9), сходится ряд и по теореме 2 сходится ряд (8). Аналогично доказывается, учитывая (9), что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Докажите эту часть самостоятельно.

Замечание. Предельный признак сравнения рекомендуется применять в тех случаях, когда общий член ряда представляет собой отношение степенных функций. Для сравнения выбирается обобщённый гармонический ряд, общий член которого равен отношению старших степеней числителя и знаменателя общего члена данного ряда.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд Здесь u_n= Возьмём для сравнения ряд с общим членом v_n= то есть расходящийся гармонический ряд Применим предельный признак сравнения.

¹ 0, следовательно, данный ряд расходится по предельному признаку сравнения.

Признаки Даламбера и Коши

Теорема. ( Признак Даламбера) Пусть дан знакоположительный числовой ряд (7)

и пусть существует предел При p< 1 ряд (7) сходится, при p> 1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n³ N выполняется условие или p-E< (10)

Пусть сначала p< 1. Выберем Е так, что p+E=q< 1. Для всех n³ N имеем … или

или (11)

Рассмотрим ряды (12) . (13)

Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.

Пусть теперь p> 1. Выберем Е так, что p-E> 1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n³ N выполняется или u_n+1> u_n, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому u_n¹ 0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Замечания.

1. Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то u_n¹ 0.

2. При р=1 признак Даламбера не даёт ответа о сходимости ряда. В этом случае нужно применять другие признаки сходимости.

3. Признак Даламбера рекомендуется применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд Применим признак Даламбера. u_n= u_n+1= . следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

Теорема (Признак Коши)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд u₁+u₂+…+u_n… (7)

и пусть существует предел При p< 1 ряд (7) сходится, при p> 1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех n³ N выполняется условие | | < E или p-E< < p+E. (14)

Пусть p< 1. Выберем Е таким, чтобы выполнялось p+E=q< 1. Тогда из (14) получаем < q или u_n< qⁿ для всех n³ N. Рассмотрим ряды (15) (16)

Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что u_n< qⁿ для всех n³ N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).

Пусть теперь p> 1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие p-E > 1. Тогда из (14) получаем > 1 или u_n> 1, следовательно, u_n¹ 0 и ряд (7) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: