Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в (a-R; a+R) и является суммой степенного ряда

f(x)= a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+…+a_n(x-a)ⁿ+…, (27)

где (a-R; a+R) – интервал сходимости ряда (27). В этом случае говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки а или по степеням (x-a). Определим коэффициенты a₀, a₁, a₂, …, a_n, … ряда (27), для чего продифференцируем n раз ряд (27).

f(x)=a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+ a₃(x-a)³+ a₄(x-a)⁴+…+a_n(x-a)ⁿ+…

f’(x)=a₁+2a₂(x-a)+3a₃(x-a)²+ 4a₄(x-a)³+…+na_n(x-a)^n-1+…

f′ ′ (x)=2a₂+3^.2a₃(x-a)+4^.3a₄(x-a)²+…+(n-1)na_n(x-a)^n-2+…

f′ ′ ′ (x)=3^.2a₃+4^.3^.2a₄(x-a)+…+(n-2)(n-1)na_n(x-a)^n-3+…

f⁽ⁿ⁾(x)=2^.3…(n-2)(n-1)na_n+…

Все ряды имеют интервал сходимости (a-R; a+R). При x=a из полученных тождеств получаем f(a)=a₀, f’(a)=a₁, f’’(a)=2a₂, …, f⁽ⁿ⁾(a)= 2^.3…(n-2)(n-1)na_n, …. Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (27): a₀=f(a), a₁= a₂= , a₃= , …, a_n= , …. Подставляя полученные значения коэффициентов в ряд (27), получаем

f(x)=f(a)+ (x-a)+ (x-a)²+…+ (x-a)ⁿ+…. (28) называется рядом Тейлора для функции f(x) в точке a. В частном случае при a=0 ряд (28) принимает вид f(x)=f(0)+ +…+ +… (29) и называется рядом Маклорена.

Таким образом, если функция f(x) является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции f(x).

Пусть теперь дана бесконечно дифференцируемая в точке a функция f(x). Составим для неё формально ряд Тейлора: f(a)+ +…+ +….Совпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией f(x), для которой он составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой он составлен? Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора

S_n(x)= f(a)+ +…+ . (30)

Многочлен (30) называется многочленом Тейлора степени n. Разность R_n(x)=f(x)-S_n(x) называется остаточным членом ряда Тейлора. Приведём без доказательства следующую теорему

Теорема .

Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке а функция f(x) являлась суммой составленного для неё ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы R_n(x)=0. Можно показать, что остаточный член можно представить в форме Лагранжа: R_n(x)= , где с – некоторое число из интервала (a; x). Таким образом f(x)= f(a)+ +…+ + (31)

Формула (31) называется формулой Тейлора, а её частный случай при а=0 называется формулой Маклорена:

f(x)= f(0)+ +…+ + где с (0; x).

Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

1. Разложение функции f(x)=e^x в ряд Маклорена.

f(x)=f′ (x)=f″ (x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)=…=e^x.

f(0)=f′ (0)=f″ (0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)=…=1.

Составим для функции f(x)=e^x формально ряд Маклорена: 1+ .

Найдём области сходимости этого ряда.

при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞; +∞ ). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых х и тем более при любых х. Так как f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=e^x и f⁽ⁿ⁺¹⁾(с)=e^с, то =e^c =0. Таким образом, имеет место разложение при x (-∞; +∞ )

e^x=1+ . (32)

2. Разложение функции f(x)=sinx в ряд Маклорена.

Вычислим производные данной функции. f′ (x)=cosx=sin(x+ ), f″ (x)=-sinx=sin(x+ ),

f″ ′ (x)=-cosx=sin(x+ ), f⁽⁴⁾(x)=sinx=sin(x+ ), …, f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x+ ), …. Вычислим значения f(x) и производных в точке 0: f(0)=0, f′ (0)=1, f″ (0)=0, f″ ′ (0)=-1, f⁽⁴⁾(0)=0, …, f^(2n-1)(0)=(-1)^{n-1, f(2n)}(0)=0.

Исследуем остаточный член ряда.

|R_n(x)|= = так как |sin(c+(n+1) |≤ 1. Переходя к пределу при n→ ∞, получаем следовательно, и . Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является промежуток (-∞; +∞ ). Таким образом, имеет место разложение при x (-∞; +∞ ):

sinx=x- . (33)

3. Разложение функции y=cosx в ряд Маклорена. Дифференцируя ряд (33), получаем разложение при x (-∞; +∞ ):

cosx=1- . (34)

4. Биномиальный ряд.

Разложим в ряд Маклорена функцию f(x)=(1+x)^m, где m≠ 0 – любое действительное число. Для этого вычислим производные: f′ (x)=m(1+x)^m-1, f″ (x)=(m-1)m(1+x)^m-2, f″ ′ (x)=(m-2)(m-1)m(1+x)^m-3, …, f⁽ⁿ⁾(x)=(m-n+1)…(m-2)^.(m-1)m(1+x)^m-n, … При x=0 получаем f(0)=1, f′ (0)=m, f″ (0)=(m-1)m, f″ ′ (0)=(m--2)(m-1)m, …, f⁽ⁿ⁾(0)=(m-n+1)…(m-2)(m-1)m, ….

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (-1; 1) (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретных значений m) и что . Таким образом, при x (-1; 1) имеет место разложение:

(1+x)^m=1+ + + +…+ . (35)

Ряд (35) называется биномиальным рядом.

5. Разложение функции f(x)=lnx в ряд Тейлора. При x=0 функция f(x)=lnx не определена, поэтому её нельзя разложить в ряд Маклорена. Разложим её в ряд Тейлора, например, по степеням (x-1). Для этого, вычислим производные: f′ (x)=x^-1, f″ (x)=-1^.x^-2=-1! x^-2, f″ ′ (x)=1^.2^.x^-3=2! x^{-3, f(4)}(x)=-1^.2^{. .}3^.x^-4=-3! x^-4, …, f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)^{n-1. .}(n-1)! x^-n, ….

При x=1 получаем: f(1)=0, f′ (1)=1, f″ (1)=-1!, f″ ′ (1)=2!, f⁽⁴⁾(1)=-3!, …, f⁽ⁿ⁾(1)=(-1)^n-1(n-1)!, ….

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (0; 2] и что . Таким образом, при x (0; 2] имеет место разложение:

lnx= . (36) Заметим, что разложение функций в ряды Тейлора или Маклорена непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. На примерах покажем некоторые приёмы, позволяющие избежать этих трудностей.

Дифференциальные уравнения

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: