С использование математических пакетов

Темы 6.2 – 6.8

Москва 2011

УМД

В.Н. Шакин, Т.И. Семенова, О.М. Кравченко, А.П. Гловацкая ИНФОРМАТИКА – 4 сем. Специальности: 210402, 210404, 2104054, 210406; Численные методы – 6 сем. Специальность: 220301; Вычислительная математика – 6 сем. Специальность: 230201. Раздел 6. Лабораторный практикум для студентов заочного факультета: Модели и алгоритмы решения задач
численными методами с использование математических пакетов

37 с.

Модели и алгоритмы решения задач численными методами с использованием математических пакетов

Рекомендации по использованию
лабораторного практикума

 

Раздел 6. Лабораторный практикум «Модели и алгоритмы решения задач численными методами с использованием математических пакетов» является шестым разделом учебной дисциплины «ИНФОРМАТИКА» [1]. Этот раздел состоит из учебного пособия [2] и настоящего лабораторного практикума. В качестве вспомогательного материала рекомендуется использовать учебное пособие [3], в котором рассмотрены базовые элементы и средства математического пакета MathCad.

Содержание данного практикума соответствует стандарту подготовки специалистов по направлению 210400 – « Телекоммуникации » (дисциплина Информатика), 230200 – « Информационные системы » (дисциплина Вычислительная математика), 220300 – « Автоматизация и управление » (дисциплина Численные методы) и может быть использовано для студентов дневной, заочной и дистанционной форм обучения. Практикум включает 7 тем:

Тема 6.2. Методы решения нелинейных уравнений

Тема 6.3. Интерполяция функций

Тема 6.4. Численное интегрирование

Тема 6.5. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Тема 6.6. Одномерная оптимизация

Тема 6.7. Аппроксимация функций

Тема 6.8 Методы оптимизации функций нескольких переменных

Целью выполнения лабораторных работ является практическое изучение ряда распространенных численных методов для решения вычислительных задач с использованием средств современных математических пакетов.

Количество и порядок выполнения лабораторных работ, в соответствии со специализацией потока, определяется лектором.

Перед выполнением каждой лабораторной работы рекомендуется изучить соответствующую тему пособия [1], которая содержит теоретический материал.

Содержание по каждой лабораторной работе имеет одинаковую структуру;

Вопросы, подлежащие изучению.

2. Общее задание.

Варианты индивидуальных заданий.

4. Пример выполнения задания.

Вопросы, подлежащие изучению содержат перечень вопросов, которые необходимо знать студенту для подготовки, выполнения и защиты лабораторной работы по конкретной теме.

Общее задание представляет собой перечень пунктов, которые необходимо выполнить в лабораторной работе по конкретной теме.

 

Вариант индивидуального задания выбирается студентом из указанной таблицы заданий. Номер индивидуального задания выбирается в соответствии с указанием преподавателя.

 

Пример выполнения задания показывает последовательность выполнения индивидуального задания и способы решения поставленной задачи всеми изучаемыми в данной теме методами (по заданию студенту предлагается использовать один из методов).

 

Все расчеты, связанные с выполнением индивидуального задания, должны быть выполнены с использованием математического пакета MathCad, что позволяет не только уменьшить трудоемкость проведения расчетов, но и получить практические навыки работы в пакете. Для изучения средств пакета MathCad рекомендуется использовать пособие [3], в котором кратко изложены основные сведения о пакете, а также приведено описание встроенных функций, используемых в данном курсе лабораторных работах, проиллюстрированное многочисленными примерами.

Каждая лабораторная работа содержит два вида расчета:

 

· « ручной расчет », который предполагает использование MathCad в качестве многофункционального калькулятора, позволяющего автоматизировать расчеты, связанные с проведением исследований функций и вычислением по формулам заданного метода;

· « расчет средствами MathCad », который предполагает решение поставленной задачи с использованием функций пакета.

 

Отчет должен содержать все пункты задания, а на титульном листе должно быть отражено название темы лабораторной работы и приведено индивидуальное задание. Все пункты расчетов, выполненные с использованием пакета MathСad, должны быть снабжены пояснениями.

 

 

Тема 6.2. Лабораторная работа

Методы решения нелинейных уравнений

 

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.

2. Этапы численного решения нелинейных уравнений.

3. Аналитический и графический методы отделения корней.

4. Методы уточнения корней: половинного деления, итераций, Ньютона и хорд.

5. Средства задания точности вычислений.

6. Средства вычисления первых производных и производных высших порядков.

7. Уточнение корня нелинейного уравнения с использованием функции root.

 

Задание

1. Выбрать вариант задания из табл. 6.2-3 нелинейное уравнение (НУ).

 

2. Провести аналитическое и графическое отделение корней уравнения.

 

3. Провести исследование индивидуального варианта задания « ручным расчетом » для одного из отделенных корней:

· проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса произвести необходимые преобразования для обеспечения сходимости;

· выбрать начальное приближение и провести « ручной расчет » трех итераций по заданному преподавателем методу решения НУ, а результаты расчета свести в таблицу, аналогичную табл. 6.2-1 или табл. 6.2-2, в зависимости от выбранного метода, и оценить погрешность численного решения НУ после трех итераций

 

Таблица 6.2-1

n	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f( (a+b)/2)	b-a

Таблица 6.2-2

n	X	f(x)

 

4. Уточнить отделенный корень уравнения « расчетом средствами MathCad » с использованием функции root.

 

3. Варианты задания

Таблица 6.2-3

№	Уравнение	№	Уравнение
	x - Сos(x / 3) = 0		2x –x lgx – 7 = 0
	x + ln(4x) – 1 = 0		x+ Сos(x) = 1
	ex – 4 e-x – 1 = 0		x + lg(1 + x) = 1, 5
	x ex – 2 = 0		2 Sin(x – 0, 6) = 1, 5
	4 (x2 + 1) ln(x) – 1 = 0		lg(1 + 2x) = 2 – x
	2 – x – Sin(x / 4) = 0		lg(x)/(x + 1)2 = 0
	x2 + ln(x) – 2 = 0		= 1/x
	Cos(x) – (x + 2)1/2 + 1 = 0		3x + Cos(x) + 1 = 0
	4 (1 + x1/2) ln(x) – 1 = 0		2 – x lg(x)=0
	5 ln(x) – x1/2 = 0		(x – 1)2 =
	ex + x3 – 2 = 0		(2 – x)ex = 0, 5
	3 Sin (x1/2) + x – 3 = 0		2, 2 x – 2x = 0
	0.1x2 – x ln(x) = 0		5x – 8 log(x) = 8
	Cos(1 + 0.2x2) – x = 0		x – ex = 0
	3 x – 4 ln(x) – 5 = 0		x = (x + 1)3

 

4. Пример выполнения задания

 

1. Задание для решения нелинейных уравнений:

· уравнение: ;

· методы решения нелинейных уравнений для « ручного расчета » – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд (преподаватель задает студенту только один метод уточнения корня, но здесь в качестве примера приведены « ручные расчеты» при использовании всех четырех методов).

Отделение корней

Первая и вторая производные на отрезке [0; 1] непрерывны и знакопостоянны, следовательно:

Таким образом, на выбранном отрезке [0; 1], уравнение 1 - 3х + cos(x) = 0имеет единственный корень.

 

3. «Ручной расчет» трех итераций (студент задается только один метод, но в качестве примера ниже приведены «ручные расчеты» с использованием методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд).

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: