Решение аналитическое (точное) заданного ОДУ, найдем методом разделения переменных.

Запишем уравнение в виде и проинтегрируем с учетом начальных условий:

Получим . Подставив в равенство начальные условия, имеем с=0.

Следовательно, аналитическое решение ОДУ имеет вид .

 

Решение ОДУ «расчетом средствами MathCad»

· с использованием функции Odesolve.

 

· с использованием функции rkfixed

4. Численное решение ОДУ методом Эйлера ( ) на заданном отрезке [0; 1] с шагом h=0.1

Метод Эйлера

5. Численное решение ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка ( ) на заданном отрезке [0; 1] с шагом h=0.1

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Оценка погрешностей приближенных решений и их погрешности относительно точного (аналитического) решения

Таблица 6.5-1

 

7. Графики решений ОДУ, полученных с использованием аналитической формулы ( ) и приближенных методов Эйлера ( ) и
Рунге-Кутта 4-го порядка ( ).

 

 

 

Тема 6.6. Лабораторная работа «Одномерная оптимизация»

 

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи одномерной оптимизации

2. Локальный и глобальный экстремум.

3. Графическое и аналитическое исследование функции средствами пакета MatCad.

4. Численные методы одномерной оптимизации: метод дихотомии и метод золотого сечения.

5. « Расчет средствами MatCad » координат точки экстремума функции с использованием функций: root, Minimize и Minеrr.

 

Задание

1) Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.6-2:

· функция от одной переменной f(x);

· метод оптимизации для ручного расчета трех итераций.

2) Провести исследование функции f(x) с использованием средств пакета MatCad:

· построить график функции f(x);

· получить таблицы значений аргумента, функции, первой и второй производных в достаточно широком диапазоне области допустимых значений функции.

· выбрать отрезок, содержащий точку минимума и проверить выполнение аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке;

· построить график функции f(x) на выбранном отрезке неопределенности.

 

3) Провести «ручной расчет» трех итераций согласно заданному методу оптимизации, а результаты расчета свести в таблицу, имеющую структуру аналогичную табл. 6.6-1

Таблица 6.6-1

№ итерации	a	b	x1	x2	f(x1)	f(x2)	b – a

4) Получить координаты точки минимума функции y(x) «расчетом средствами MathCad» с использованием функций root, Minimize и Minеrr.

 

3. Варианты задания

Таблица 6.6-2

№ вар.	f(x)	p
	– 2 (1 + x) e–x – 2 Сos(x)
	(x – 1)
	10 Sin(x3) Сos(-x)
	x2 Cos(x + 3) – 4
	Cos(x – 5) e2x / 3
	– 4 Sin(x) + x1 / 2
	– 5 Sin3(x) – Cos3(x)
	– Cos(2x + 1) ln(2 / x) + 3
	x Sin(x + 1) – Cos(x – 5)
	(1 + x2)1 / 2 + e–x
	– 8 Sin(- x3) e–x
	5 e–x + 4 x + x3 / 3
	Sin(x – 1) – x Cos(x + 3)
	3 Cos(x2) / ln(x + 5)
	Sin(x2) + 1 / (2 – x)
	Sin(ex) – e–x + 1
	Sin(x + 1) e2 / x
	– 5 x Sin(x + 1) + 2 Cos(x)
	1 + Sin(4x) / ln(x)
	2 Sin(4x) ln(– x) – 3
	x3 / 2 – 2 x Sin(x)
	x Sin(x) + Cos(x) + 5
	e–x Sin(2x)
	Sin(2x) – 2 Sin(x)
	Sin(2x) – x
	Cos(– 2x) e–x
	e–x Sin(– 2x)
	e–x Cos(– 2x)
	Cos(x + 2) + Cos(2x) + x
	Cos(2x) + 2 Sin(x)

Примечание: p – номер метода для вычисления трех итераций. Значения параметра p соответствуют: 1 – методу дихотомии, 2 – методу золотого сечения.

 

4. Пример выполнения контрольного задания

1. Задание для решения задачи одномерной оптимизации:

· функция ;

· методы решения задачи оптимизации для «ручного расчета» - золотого сечения и дихотомии ( в задании указан один метод, но здесь в качестве примера рассматриваются оба метода).

 

2. Результаты исследования функции:

· график функции :

 

· начальный отрезок неопределенности (отрезок, содержащий точку минимума) выберем по построенному графику отрезок - [2.5; 3.5];

· таблицы значений аргумента, функции, первой и второй производных

· отрезок неопределенности [2.5; 3.5], где функция монотонно возрастает, а функция , следовательно, функция y=f(x) - унимодальная на выбранном отрезке [2.5; 3.5].

· график функции f(x) на выбранном отрезке неопределенности [2.5; 3.5].

Ручной расчет» трех итераций

· метод золотого сечения (результаты вычислений представим в таблице, структура которой аналогична табл. 6.6-1.

N	a	b	X1	X2	F(X1)	F(X2)	b-a
	2.5	3.5	2.882	3.118	-3.0421	-3.1407
	2.882	3.5	3.118	3.2639	-3.1407	-3.1175	0.618
	2.881	3.2639	3.0279	3.118	-3.1218	-3.1407	0.3819
	3.0279	3.2639	3.118	3.1738	-3.1407	-3.14	0.236

 

для метода золотого сечения теоретическая длина отрезка неопределенности после трех итераций равна: ;

 

 

· метод дихотомии при значение параметра для ручного просчета примем равным
d= =0.01;

 

· результаты вычислений представлены в таблице, структура которой аналогична табл. 6.6-1.

N	a	b	X1	X2	F(X1)	F(X2)	b-a
	2.5	3.5	2.995	3.005	-3.1069	-3.1132
	2.995	3.5	3.2425	3.2525	-3.1253	-3.1218	0.505
	2.995	3.2525	3.1188	3.1288	-3.1408	-3.1413	0.2575
	3.1188	3.2525	3.1806	3.1906	-3.1392	-3.1378	0.1337

для метода дихотомии длина отрезка неопределенности после трех итераций равна

 

Значение координат точки минимума функции y(x) «расчетом средствами MathCad» с использованием функций root, Minimize и Minеrr.

· функцией root

 

· функцией Minimize

 

· функцией Minerr

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: