Результаты линейной интерполяция (узлы интерполяции z1 и z3), и квадратичной сплайн-интерполяция (узлы интерполяции z1, z2 и z3) и графики функций

Графики функций: f(x) - точная, f1(x) -линейная интерполяция, fkv(x) – квадратичная сплайн-интерполяция.

Результаты интерполяция по формуле Лагранжа (узлы интерполяции z1, z2 и z3) и графики функций

Интерполяционная формула Лагранжа

Оценка погрешностей интерполяции функции f(x) в точках

с шагом h=h/2

 

 

xi	f(xi)	fl(xi)	fkv(xi)	L(xi)	|f(xi)- fl(xi)|	|f(xi)- fkv(xi)|	|f(xi)- L(xi)|

 

Тема 6.4. Лабораторная работа Численное интегрирование

 

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи численного интегрирования.

2. Методы численного интегрирования: прямоугольников, трапеций и Симпсона.

3. Оценка погрешности численного интегрирования. Правило Рунге.

4. «Расчет средствами MathCad » значений определенных интегралов от функции, заданной в аналитическом виде.

5. «Расчет средствами MathCad » производных первых и высших порядков от функций, заданных в аналитическом виде.

6. Получение символьного выражения для интегралов и производных путем «расчета средствами MathCad ».

7. Реализации путем «расчета средствами MathCad »численных методов интегрирования:

• метод средних прямоугольников
• метод трапеций,
• метод Симпсона

для случая таблично заданной подынтегральной функции.

 

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.4-1:

· f(x) – функцию;

· a, b – пределы интегрирования;

· t - метод интегрирования для выполнения п.4.

· h₀ – шаг интегрирования

2. Провести «расчет средствами MathCad », в котором описать заданную функцию, ее первую и вторую производную, а также получить выражения производных в символьном виде.

3. Провести «расчет средствами MathCad », в котором вычислитьзначение определенного интеграла.

4. Провести «ручной расчет» определенного интеграла заданным методом(записи формул должны быть получены с использованием математических шаблонов) с шагом и ( и ), и оценить погрешность по правилу Рунге.

5. Вычислить абсолютную погрешность результатов, полученныхвп.4, приняв за точное значение интеграла значение, полученное в п.3.

 

3. Варианты задания

Таблица 6.4-1

№	f(x)	a	b	t
	8 e-x Sin(-2x)				0.25
	e-x Sin(2x)				0.5
	x3/2 – 2 x Sin(x)				0.25
	e-x Cos(-2x)				0.5
	Cos(2x) + 2 Sin(x)				0.5
	8 Sin(2x) – x	0.2	1.2		0.25
	5 Cos(-2x) e-x	-0.5	0.5		0.25
	x Sin(x + 1) – Cos(x – 5)				0.25
	8 (x – 1)	1.2	3.2		0.5
	Sin(2x) – 2 Sin(x)				0.5
	Sin(ex) – e-x +1				0.25
	5 x Sin(x + 1) + 2 Cos(x)				0.25
	5 e-x + 4 x + x3/3	-1			0.5
	-2 Sin(4x) ln(-x) + 5	-2.5	-1.5		0.25
	Sin(x – 1) – x Cos(x + 3)	-4	-2		0.5
	4 Sin (x) – x1/2				0.25
	5 Sin3(x) + Cos3(x)				0.25
	Cos(2x + 1) ln (2 / x) + 3				0.5
	3 Cos(x2) / ln(x + 5)	-1			0.5
	Sin(x2) + 1 / (2 – x)	-1.5	0.5		0.5
	X Sin(x) + Cos(x) + 5				0.5
	– Cos(x) – Cos(2x) – x + 5				0.5
	1 + Sin(4x) / ln(x)	1.5	2.5		0.25
	(1 + x2)1/2 + e-x	-1			0.75
	Sin(x + 1) e2 / x				0.25
	2 (1 + x) e-x – 2 Cos(x)				0.75
	– 8 Sin(– x3) e-x	0.4	1.4		0.25
	– 10 Sin(x3) cos(– x)	-1.4	-0.4		0.25
	x2 Cos(x + 3) – 4				0.25
	– Cos(x – 5) e2x / 3				0.5

где t =1 - метод средних прямоугольников;

t=2 - метод трапеций:

t=3 - метод Симпсона.

 

4. Пример выполнения задания

1) Задание для численного интегрирования:

· f(x)=ln(x) – подынтегральная функция;

· a=1, b=3 – пределы интегрирования;

· методы интегрирования для выполнения п.4 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона ( в качестве примера здесь рассматриваются все три метода );

· методы интегрирования для выполнения п.5 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона ( в качестве примера здесь рассматриваются все три метода );

· начальный шаг интегрирования h₀=1_.

 

Выражения первой и второй производной от заданной функции в символьном виде

 

3) Значение интеграла, полученное «расчетом средствами MathCad»

4) «Ручной расчет» определенного интеграла по заданному численному методу с шагом и ( и ) и оценка погрешности по правилу Рунге:

· по формуле средних прямоугольников:

 

· по формуле трапеций:

 

· по формуле Симпсона:

 

5) Оценка погрешности результатов интегрирования с шагом , приняв за точное значение интеграла величину

Метод
Метод средних прямоугольников	0.00676
Метод трапеций	0.01384
Метод Симпсона	0.00084

Тема 6.5. Лабораторная работа Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Вопросы, подлежащие изучению

2. Постановка задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения. Задача

3. Коши.

Методы Рунге-Кутты различных порядков. Общие свойства. Погрешности методов.

5. Общее и частное решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием метода Эйлера и метода Рунге-Кутты 4-го порядка.

7. Решение обыкновенного дифференциального уравнения путем «р асчета средствами MathCad» с использованием функций Odesolve и rkfixed.

8. Графическая иллюстрация методов Рунге Кутты.

 

Задание

1) Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.5-2:

· обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) ;

· начальные условия x₀, y₀;

· шаг интегрирования h_0.

· отрезок [a; b] для решения дифференциального уравнения.

 

2) Провести «ручной расчет» по поиску точного (аналитического) решения заданного ОДУ – y(x).

3) Найти численноерешениеОДУ - y0(x) на отрезке с шагом h₀, используя функцию Odesolve или функцию rkfixed (« расчет средствами MathCad» ).

4) Найти численное решение ОДУ методом Эйлера – y1(x) на отрезке с шагом h₀ («ручным расчетом»).

5) Найти численное решение ОДУ методом Рунге-Кутты4-го порядка– y4(x) отрезка с шагом h₀(«ручной расчет»).

6) Оценить погрешности приближенных решений ОДУ относительно точного (аналитического). Полученные решения ОДУ на отрезке с шагомh₀ и вычисленные погрешности свести в табл. 6.5-1.

Таблица 6.5-1

xi
…	…	…	…	…	…	…	…

7) Построить графики точного и приближенных решений ОДУ: y(x), y0(x), y1(x), y4(x).

3. Варианты задания

Таблица 6.5-2

№ вар	Уравнение	x0	y0	h0	a	b
	y' = x y2		-2	0.4
	y' = y2 (x2+ x + 1)		-2	0.2
	y' = x3 y2		-2	0.2
	y' = y / Cos2(x)			0.1
	y' = y Cos(x)			0.5
	y' = y2 Cos(x)		-1	0.4
	y' = x2 y + y			0.2
	y' = (x – 1)2 y2		-1	0.5
	y' = x3 y			0.2
	y' = y2 Sin(x)		0.5	0.2
	y' = y Sin(x)			0.4
	y' = x y			0.2
	y' = y2 / x			0.2
	y' = x2 y			0.2
	y' = y2 (2 – x)		-1	0.4
	y' = 3 x2 y2		-4	0.2
	y' = y2 (ex + 4x)		-1	0.4
	y' = y (x – 1)			0.4
	y' = x (1 + y2)			0.2		1.6
	y' = x / (2y)			0.4
	y' = y / (3 x2)			0.2
	y' = 4 x e-3y			0.2
	y' = 2 x y			0.2
	y' = 2 x (y1/2)			0.4
	y' = y2 ex		-2	0.4
	y' = x (1 – y2)1/2			0.4		1.6
	y' = (1 + x) y			0.2
	y' = x2 (1 – y2)1/2			0.4		1.6
	y' = (x2 + x) y2		-1	0.4
	y' = y2 / Cos2(x)		-1	0.3		1.5

 

4. Пример выполнения задания

1. Задание для решения ОДУ:

· дифференциальное уравнение ;

· начальные условия: x₀=0, y₀=1;

· шаг интегрирования h₀=0.1; _.

· заданный отрезок для решения ОДУ - [0; 1].

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: