Тема 6.7. Лабораторная работа «Методы оптимизации функций нескольких переменных»

 

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи многомерной оптимизации.

2. Основные понятия: выпуклое множество, целевая функция, линия уровня, градиент, локальный и глобальный минимум.

3. Градиентные методы: метод с дроблением шага, метод наискорейшего спуска аналитический, метод наискорейшего спуска численный.

4. Средства MathCad для вычисления значений частных производных для функции нескольких переменных, а также для вычисления определителя и угловых миноров.

5. « Расчет средствами MatCad » координат точки экстремума многомерной функции с использованием функций Minimize и Minеrr.

6. Средства пакета MathCad для построения трехмерных графиков, графиков линий уровней и траектории спуска.

 

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание по номеру варианта из табл. 6.7-1 - функцию f(x, y).

2. Проверить условия существования точки минимумадля заданной функции f(x.y).

3. Провести «ручной расчет» по вычислениюкоординат точки минимума функции f(x, y) аналитическим методом.

4. Выбрать начальную точку ( x₀, y₀) для применения метода наискорейшего спуска.

5. Выполнить « ручной расчет» 3-х итераций аналитическим методом наискорейшего спуска. Результаты расчета свести в таблицу

k	x	y	λ	g1	g2	f(x, y)

 

6. Вычислить следующиепогрешности после трех итераций:

где x*, y* - координаты точки минимума, найденные аналитическим методом, а f*=f(x*, y*) - значение исследуемой функции в точке минимума.

7. Решить задачу оптимизации «расчетом средствами MathCad» с использованиемвстроенных функций Minimize и Minerr.

8. Построить трехмерный графикфункции f(x, y).

9. Построить график линий уровня функции f(x, y) и траекторию спуска по результатам 3-х итераций ручного расчета, изобразив схематически линии уровня, проходящие через точки траектории. На графике указать точку минимума, найденную в п.3.

3. Варианты задания

Таблица 6.7-1

№	Функция	№	Функция
	2 x2 + 3 y2 – 5 x + 6		6 x2 + 4 y2 – 5 x + 3 y –13
	x2 + 2 y2 – 3 y + 7		5 x2 + y2 + x
	3 x2 + y2 – 15		x2 + 4 y2 – 2 x + 3 y + 5
	3 x2 + 5 y2 + x – 2		2 x2 + 5 y2 + 2 y + 3
	2 x2 + 3 y2 + 2 x – 3 y		x2 + 3 y2 – x + 2 y + 7
	5 x2 + 2 y2 + 3 x + 10		3 x2 + y2 – y + 3
	4 x2 + 3 y2 – 3 y – 7		6 x2 + 3 y2 + 10
	5 x2 + 6 y2 + 3 x – 2 y + 3		5 x2 + 4 y2 – 4 x – 11
	3 x2 + y2 + - 3 x + y – 2		x2 + 2 y2 – x – y
	6 x2 + 5 y2 – 10		3 x2 + 2 y2 – 5 y + 1
	5 x2 + 2 y2 – 2 x		3 x2 + 4 y2 – 2 x + 3 y – 5
	x2 + 2 y2 – 3 x + 5 y + 1		4 x2 + 5 y2 + 2 x – 4 y + 12
	x2 + 4 y2 – 2 x		6 x2 + 3 y2 – 4 x + 17
	4 x2 + 3 y2 + y + 3		x2 + 5 y2 – x + 2 y + 10
	3 x2 + y2 + 3		3 x2 + y2 – 10

 

 

4. Пример выполнения задания

1. Задание для вычисления точки минимума:

· Функция .

 

2. Проверим существование минимума функции .

Проверим, что функция является выпуклой на множестве R.

Матрица Гессе для функции имеет следующий вид:

.

Угловые миноры равны:

.

Таким образом, функция - выпуклая на множестве R.

Найдем координаты точки минимума аналитическим методом.

Необходимые условия существования точки экстремума следующие:

откуда .

 

Выберем начальную точку для решения задачи оптимизации методом наискорейшего спуска

.

 

Решим задачу оптимизации аналитическим методом наискорейшего спуска.

Запишем рекуррентные формулы для получения значений координат очередной точки спуска:

где;

Построим функцию

,

Из условия определим параметр :

, k=0, 1, …

Используя рекуррентные формулы, выполним 3 итерации, а результаты вычислений сведем в таблицу:

 

 

xmin=0.1284, ymin=-0.0285, f(xmin, ymin)=26.0189.

Вычислим погрешности после трех итераций

7. Решение задачи оптимизации «расчетом средствами MathCad» с помощью функций Minimize и Мinerr:

• использование функции Minimize

 

• использование функции Мinerr

 

Трехмерный график функции f(x, y)

График линий уровня функции f(x, y)

 

Траектория спуска, на основании данных ручного расчета.

 

 

Тема 6.8. Лабораторная работа «Аппроксимация функций»

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи аппроксимации.

2. Основные понятия: базисные функции, матрица Грама, система нормальных уравнений, критерий аппроксимации.

3. Метод наименьших квадратов.

4. « Расчет средствами MathCad » линейной и квадратичной аппроксимации с использованием функции linfit.

Задание

1) Выбрать индивидуальное задание:

· номера узлов (x_i, где i = 0, 1, …5) (табл. 6.8-1);

· значения функции в заданных узлах (табл. 6.8-2) обозначим a = x₀ и b = х₅.

2) Провести «ручной расчет» коэффициентов линейной аппроксимирующей функции по методу наименьших квадратов и получить его аналитическое выражение.

Выполнить «расчет средствами MathCad » для получения аналитических выражений линейной и квадратичной аппроксимирующих функций, используя 6 точек таблицы исходной функции, построить графики точной и аппроксимирующих функций.

3) Получить таблицу значений аргумента и трех функций (точной и 2-х аппроксимирующих) на отрезке [a, b] (где ) и оценить погрешности линейной и квадратичной аппроксимации (невязки).

3. Варианты задания

Таблица 6.8-1

N варианта	Номера узлов из табл. 2
	1, 35, 7, 9, 11, 13
	2, 4, 6, 8, 10, 14
	4, 6, 8, 10, 12, 14
	5, 7, 9, 11, 13, 15
	7, 8, 9, 11, 12, 13
	3, 5, 9, 11, 13, 15
	9, 11, 13, 15, 17, 19
	10, 12, 14, 16, 18, 20
	15, 17, 19, 21, 23, 25
	16, 18, 20, 22, 24, 26
	17, 19, 21, 23, 25, 27
	21, 23, 25, 27, 29, 31
	22, 24, 26, 28, 30, 32
	23, 27, 29, 31, 33, 35
	28, 29, 30, 31, 32, 33
	26, 28, 30, 32, 34, 36
	1, 3, 5, 7, 9, 11
	2, 4, 6, 8, 10, 12
	3, 5, 7, 9, 11, 13
	4, 6, 8, 10, 12, 14
	5, 7, 9, 11, 13, 15
	10, 12, 14, 16, 18, 20
	11, 12, 13, 14, 15, 16
	15, 17, 19, 21, 23, 25
	16, 18, 20, 22, 24, 26
	19, 21, 23, 25, 27, 29
	21, 23, 25, 27, 29, 31
	24, 25, 26, 27, 28, 30
	26, 28, 30, 32, 34, 36
	25, 27, 29, 31, 33, 35

 

Таблица 6.8-2

-номер узла
	-15	-1, 15
	-14	-0, 506
	-13	0, 236
	-12	0, 88
	-11	1, 256
	-10	1, 266
	-9	0, 91
	-8	0, 286
	-7	-0, 436
	-6	-1, 06
	-5	-1, 416
	-4	-1, 406
	-3	-1, 03
	-2	-0, 386
	-1	-0, 356
		1, 376
		1, 386
		1, 03
		0, 406
		-0, 316
		-0, 939
		-1, 296
		-1, 286
		-0, 91
		-0, 266
		0, 476
		1, 12
		1, 496
		1, 506
		1, 15
		0, 526
		-0, 196
		-0, 82
		-1, 176
		-1, 66

4.

5. Пример выполнения задания

Задание для решения задачи аппроксимации.

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: