Ручной расчет» трех итераций методом половинного деления.

Проведем необходимые исследования для применения данного метода. Известно, что метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0; 1] функция меняет знак ( ) и монотонна (f’(x)< 0), то условие сходимости выполняется.

Выберем за начальное приближение середину отрезка =0.5 и проведем расчет трех итераций по методу половинного деления.

> 0 следовательно < 0 следовательно < 0 следовательно

Результаты вычислений представим в виде таблицы, структура которой аналогична табл. 6.2-1.

n	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f( (a+b)/2)	b-a
				-1.459	0.5	0.377	0.5
	0.5		0.377	-1.459	0.75	-0.518	0.25
	0.5	0.75	0.377	-0.518	0.625	-0.064	0.125
	0.5	0.625	0.377	-0.064	0.563	0.158	0.063

После трех итераций приближение к корню x₃=0.563.

Оценка погрешности результатов .

Ручной расчет» трех итераций методом итераций

Для применения метода итераций приведем уравнение f(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула будет иметь вид . Для сходимости процесса итерации необходимо, чтобы при . Если то сходимость не обеспечена.

В случае, если свободный х выразить не удается, целесообразно воспользоваться следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости. Преобразуем итерирующую функцию к виду где - параметр, который может быть определен по правилу: если то если то где .

Преобразуем уравнение f(x)=0 к виду x = (cos(x)+1)/3 и проведем исследование итерирующей функции.

Выберем начальное значение (в методе итераций x₀– произвольное значение из отрезка [a; b] ), например, x₀=0, и с использованием итерирующей функции выполним три итерации.

 

Результаты вычислений представим в виде таблицы, структура которой аналогична табл. 6.2-2.

к	Xк	f(xк)
	0.6667	-0.2141
	0.5953	4.21 • 10-2
	0.6093	-7.9496 • 10-3

Оценим погрешность результата, вычисленного методом итерации после трех итераций, с помощью выражения 6.2.3-4 в [2], где :

.

 

Ручной расчет» трех итераций методом Ньютона

Для применения метода Ньютона необходимо выбрать начальное приближение к корню. Для нашего уравнения 1- 3х + cos(x) = 0, известно, что , а .Выберем за начальное приближение к корню тот конец отрезка, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной: .

Для выполнения итераций по методу Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

Получим рекуррентную формулу для выполнения трех итераций

 

Результаты вычислений представим в виде таблицы, структура которой аналогична табл. 6.2-2.

k	Xk	f(xk)
		-1.4597
	0.6200	-4.62•10-2
	0.6071	-6. 7875 •10-5
	0.6071	-6.7875 •10-5

 

 

Оценим погрешность результата, полученного методом Ньютона после трех итераций, с использованием формулы 6.2.3-11 в [2], где а

Ручной расчет» трех итераций методом хорд

Для применения метода хорд необходимо произвести выбор неподвижной точки, поскольку от этого зависит вид рекуррентной формулы. Неподвижен тот конец отрезка [a; b ] , для которого знак функции f(x ) совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х₀.

Рекуррентная формула метода хорд имеет вид [2]:

 

где - неподвижная точка.

Поскольку для функции f(x)=1–3x+cosx < 0, то на отрезке [0; 1] неподвижной точкой является точка x=b=1, так как f(1)> 0. Тогда за начальное приближение к корню положим x₀=a=0, и проведем три итерации по приближению к корню с использованием следующей рекуррентной формулы:

 

 

Результаты вычислений представим в виде таблицы, структура которой аналогична табл. 6.2-2.

n	Xn	f(xn)
	0.5781	0.1032549
	0.6059	4.080772 •10-3
	0.6070	1.590771•10-4

 

Погрешность результата, полученного после трех итераций, проведенных по методу хорд, оценим по формуле 6.2-3-15 в [2], где :

 

Уточним отделенный корень уравнения «расчетом средствами MathCad» с использованием функции root.

 

Тема 6.3. Лабораторная работа

Интерполяция функций

 

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи интерполяции, основные понятия: узлы интерполяции, интерполирующая и интерполируемая функции.

2. Условие единственности решения задачи интерполяции.

3. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона, области их применения.

4. Конечные разности, их назначение и использование.

5. Правило выбора начальных узлов интерполяции для формул Ньютона.

6. Практическое правило определение степени интерполяционного многочлена.

7. Способы задания функции в MathCAD: аналитический, табличный, матричный.

8. Средство линейной интерполяции – функция linterp.

9. Средство кубической сплайн-интерполяции – функция interp.

10. Алгоритм интерполяции по методу Лагранжа.

 

Задание

1) Выбрать индивидуальное задание:

· номера узлов (x_i, где i = 0, 1, …5) (табл. 6.3-2);

· значения функции в заданных узлах с шагом h=0.2 (Табл.6.3-3)

1. Обозначить a = x₀ и b = х₅.

2) Получить таблицу значений функции f(x)на отрезке [a; b] с шагом h/2, используя функцию (функцию f(x) будем считать точной), и выбрать из полученной таблицы3 точки: z1, z2 и z3, принадлежащие отрезку [a; b].

3) Произвести «расчет средствами MathCad », гдес использованием функций linterp и interp выполнить линейную интерполяцию - fl(x) ( узлы интерполяции z1 и z3) иквадратичную сплайн-интерполяцию - fkv(x) (узлы интерполяции z1, z2 и z3), а затем построить в одном шаблоне на отрезке [a; b] графики точной и двух интерполирующих функций.

4) Провести квадратичную интерполяцию с использованием формулы Лагранжа L(x), (запись формулы должна быть получена с использованием математических шаблонов), используя в качестве узлов интерполяции точки z1, z2 и z3, получить значения L(x) в точкахz1, z2 и z3, а затем построить графики точной и интерполирующей функций.

5) Оценить погрешность линейной интерполяции, квадратичной сплайн-интерполяции и интерполяции по формуле Лагранжа относительно исходной функции в точках с шагом h=h/2, а результаты расчета свести в
табл. 6.3-1.

xi	f(xi)	fl(xi)	fkv(xi)	L(xi)	|f(xi)- fl(xi)|	|f(xi)- fkv(xi)|	|f(xi)- L(xi)|

3. Варианты задания

Таблица 6.3-2 № варианта Номера узлов 4, 6, 7, 9, 10, 11 1, 3, 5, 6, 7, 8 19, 20, 22, 23, 24, 25 7, 8, 10, 11, 12, 13 0, 1, 3, 5, 6, 7 21, 23, 24, 25, 26, 27 24, 26, 27, 28, 29, 30 13, 14, 16, 17, 18, 20 6, 8, 9, 10, 12, 13 23, 24, 26, 28, 29, 30 6, 8, 9, 10, 11, 13 16, 18, 19, 20, 22, 23 8, 9, 11, 12, 14, 15 24, 25, 26, 28, 29, 31 10, 12, 13, 14, 16, 17 0, 1, 2, 4, 6, 7 16, 18, 19, 21, 22, 24 2, 4, 5, 6, 8, 9 23, 24, 26, 27, 29, 30 0, 2, 3, 5, 6, 7 10, 11, 12, 14, 16, 17 22, 24, 25, 27, 28, 29 12, 14, 15, 17, 18, 19 21, 23, 24, 26, 27, 29 18, 19, 21, 22, 24, 26 15, 17, 18, 19, 21, 22 3, 5, 6, 8, 9, 11 2, 4, 5, 7, 8, 9 17, 18, 20, 21, 23, 24 21, 22, 24, 26, 27, 28

Таблица 6.3-3 № узла Значение аргумента Значение функции 0.0 0.2 1.411 0.4 1.805 0.6 2.113 0.8 2.257 1.0 2.161 1.2 1.754 1.4 0.979 1.6 -0.197 1.8 -1.781 2.0 -3.745 2.2 -6.026 2.4 -8.524 2.6 -11.105 2.8 -13.606 3.0 -15.840 3.2 -17.610 3.4 -18.717 3.6 -18.975 3.8 -18.224 4.0 -16.341 4.2 -13.257 4.4 -8.962 4.6 -3.517 4.8 2.943 5.0 10.212 5.2 18.010 5.4 25.997 5.6 33.784 5.8 40.946 6.0 47.048

 

4. Пример выполнения задания

 

Задание для решения задачи интерполяция функций

 

№ узла-i
xi		0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
y=f(xi)		1.411	1.805	2.113	2.256	2.161

 

 

2) Таблица значений функции с шагом h=0.1 на [0; 1] и точки z1, Z2 и z3

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: