Вопрос 15 Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических) и его решение. Резонанс.

Колебания, возникающие под действи­ем внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменя­ющейся э.д.с., называются соответствен­но вынужденными механическими

Закон движения для пружинного маятника запи­шется в виде

Используя w₀=Ö k/m и d=r/(2m), d-коэффициент затухания, придем к уравнению

147.2 Можно свести к линейному неоднородному диффе­ренциальному уравнению

(х₀ в случае механиче­ских колебаний равно F₀/m)

Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения однородного уравнения и частного решения не­однородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х₀е^iwt:

Частное решение этого уравнения будем искать в виде s=s₀^iht.

Подставляя выражение для s и его про­изводных в уравнение (147.6), получим

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h=w. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину so и умножим ее числитель и знаменатель на (w²₀-w-2idw):

Это комплексное число удобно предста­вить в экспоненциальной форме:

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид s=Aе^(iiwt-j)

Его вещественная часть, являющаяся ре­шением уравнения (147.5), равна s=Acos(wt-j), (147.10)

Таким образом, частное решение не­однородного уравнения (147.5) имеет вид

Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения однородного урав­нения

Графически вынужден­ные колебания.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближе­нии частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте w_рез называется резонансом (со­ответственно механическим или электриче­ским). При d²< < w² значение w_рез практиче­ски совпадает с собственной частотой w₀ колебательной системы.

Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим

зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях

 

16) Колебания, возникающие под действи­ем внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменя­ющейся э.д.с., называются соответствен­но вынужденными механическими и вы­нужденными электромагнитными колеба­ниями.

Если рассматривать электрический ко­лебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодиче­ски изменяющаяся по гармоническому за­кону э.д.с. или переменное напряжение

U=U_mcoswt. (147.3)

(143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя w₀=1/Ö LC, (143.4) и коэффициент затухания- d=R/(2L), (146.11), придем

к уравнению . Колебания, возникающие под действи­ем внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменя­ющейся э.д.с., называются соответствен­но вынужденными механическими и вы­нужденными электромагнитными колеба­ниями.

(147.4) можно свести к линейному неоднородному диффе­ренциальному уравнению применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной фи­зической природы (х₀ в случае элек­тромагнитных — U_m/L). Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения s=A₀е^-dtсоs(wt+j) (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения не­однородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме.

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

s=s₀^iht. Подставляя выражение для s и его про­изводных в уравнение (147.6), получим

h=w. найдем величину so и умножим ее числитель и знаменатель на (w²₀-w-2idw):

 

Это комплексное число удобно предста­вить в экспоненциальной форме:

 

решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

s=Aе^(iiwt-j), s=Acos(wt-j), (147.10)

 

Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения однородного урав­нения

для электромагнитных колеба­ний, учитывая, что w²₀=1/(LC) (см. (143.4)) и d=R/(2L) (см. (146.11)):

Продифференцировав Q=Q_mcos(wt-a) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

 

 

Билет 17 Волновой процесс: механизм образования механических волн в упругой среде. Уравнение плоской и сферической волн. Волновое уравнение.

Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью. Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распростра­нении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, яв­ляется перенос энергии без переноса ве­щества. Упругими (или механическими) во­лнами называются механические возму­щения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах части­цы среды колеблются в направлении рас­пространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направ­лению распространения волны.

Длина волны l=vT,

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль поло­жительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

x(x, t)=Acos[w(t -х/v)+j₀], (154.2)

где А=const — амплитуда волны, w — циклическая частота волны, j₀ — началь­ная фаза колебаний, определяемая в об­щем случае выбором начал отсчета х и t, [w(t-x/v)+j₀]— фаза плоской волны.

Для характеристики волн использует­ся волновое число

k=2p/l=2p/vT=w/v. (154.3) Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать видx(x, t)=Acos(wt-kх+j₀). (154.4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком чле­на kx.

Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде

x(x, t)=Ae^i(wt-kx+j0) Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что урав­нение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид кон­центрических сфер, записывается как x(r, t)=A₀/rcos(wt-kr+j₀), (154.7)где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не по­глощающей энергию, амплитуда колеба­ний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (154.7) справедливо лишь для r, значи­тельно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описы­вается волновым уравнением — диффе­ренциальным уравнением в частных про­изводных

где v — фазовая скорость, D=д²/дx² +д²/дy² + д²/дz² — оператор Лапласа. Решением уравнения (154.9) является урав­нение любой волны.

 

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: