Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Границы применимости классической механики.

 

Экспериментальные исследования свойств микрочастиц (атомов, электронов, ядер, фотонов и др.) показали, что точность определения их динамических переменных (координат, кинетической энергии, импульсов и т.п.) ограничена и регулируется открытым Гейзенбергом принципом неопределенности. Согласно этому принципу динамические переменные, характеризующие систему, могут быть разделены на две (взаимно дополнительные) группы:

1) временные и пространственные координаты (t и q)

2) импульсы и энергия (p и E)

При этом невозможно определить одновременно переменные из разных групп с любой желаемой степенью точности (например, координаты и импульсы, время и энергию). Это связано не с ограниченной разрешающей способностью приборов и техники эксперимента, а отражает фундаментальный закон природы. Его математическая формулировка дается соотношениями:

Где - неопределенности (погрешности) измерения координаты, импульса, энергии и времени, соответственно; h- постоянная Планка.

Обычно достаточно точно указывают значение энергии микрочастицы, так как эта величина сравнительно легко определяется экспериментально.

Границы применимости классической механики

В настоящее время известно три типа ситуаций, в которых классическая механика перестаёт отражать реальность.

• Свойства микромира не могут быть поняты в рамках классической механики. В частности, в сочетании с термодинамикой она порождает ряд противоречий. Адекватным языком для описания свойств атомов и субатомных частиц является квантовая механика. Переход от классической к квантовой механике — это не просто замена уравнений движения, а полная перестройка всей совокупности понятий (что такое физическая величина, наблюдаемое, процесс измерения и т. д.)
• При скоростях, близких к скорости света, классическая механика также перестаёт работать, и необходимо переходить к специальной теории относительности.
• Классическая механика становится неэффективной при рассмотрении систем с очень большим числом частиц (или же большим числом степеней свободы). В этом случае практически целесообразно переходить к статистической физике.

 

 

41. Волновая функция и её статистический смысл. Уравнениек Шредингера для стационарных состояний.Операторы физических величин.

Нем. физик Борн предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная волновой функцией ( основной носитель информации об их крпускулярных и волновых свойствах)и обозначаемая ψ.Описание сотояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции ( квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t с координатами x и x+dx, y и y+dy, z и z+dz. Физический смысл приписывается квадрату её модуля , который интерпретируется как плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами в момент времени :

..

Уравнение Шредингера имеет вид( общее уравнение Ш., зависящее от времени):

где m - масса частицы, - мнимая единица, U - потенциальная энергия частицы, D - оператор Лапласа ( )

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию Y(x, y, z, t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.) В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид где Е, U - полная и потенциальная энергия, m - масса частицы.

Оператор — это математический символ для обозначения действия или программ действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы однозначно получить другую функцию.В квантовой физике существует «нестрогое» правило для построения оператора физических величин: соотношения между операторами в целом такое же, как между соответствующими классическими величинами. Основываясь на этом правиле, были введены следующие операторы (в координатном представлении):

Оператор координат:

Оператор импульса:

Оператор кинетической энергии: .

Оператор потенциальной энергии:

Оператор Гамильтона:

Оператор момента импульса: . Оператор спина.

 

42. Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Квантование энергии.

Потенциальная яма – ограниченная область пространства с пониженной потенциальной энергией частицы. Потенциальная яма обычно отвечает короткодействующим силам притяжения. В области действия этих сил потенциал отрицателен, вне – нулевой. Для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее:

1. Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях. где n = 1, 2, 3...
2. Частица может находиться в каком-то одном из множества энергетических состояний.
3. Частица не может иметь энергию равную нулю.
4. Каждому значению энергии E_n соответствует собственная волновая функция ψ _n, описывающая данное состояние.
5. Для собственной функции ψ ₁(x) вероятность обнаружить частицу в точке x = L/2 максимальна. Для состояния ψ ₂(x) вероятность обнаружения частицы в этой точке равна 0 и так далее.

Принцип квантования энергии гласит, что любая система взаимодействующих частиц, способная образовывать стабильное состояние — будь то кусок твердого тела, молекула, атом или атомное ядро, — может сделать это только при определенных значения энергии

 

 

БИЛЕТ43) Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом 2е (для атома водорода Z=1),

U(r)=-Ze2/4  0r, (223.1)

где r — расстояние между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1):

Е — полная энергия электрона в атоме

 

Энергия В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (223.2) имеют решения, только при собственных значениях энергии Решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Самый нижний уровень Е1, отвечающий минимальной возможной энергии, — основной, все остальные (En> E1 n=2, 3, ...) — возбужденные (см. §212). При E< 0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». По мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n= E =0. При E> 0 движение электрона является свободным; область непре-рывного спектра £ > 0 (заштрихована на рис. 302) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

Ei=-E1= те4/ (8h2 20)=13, 55 эВ.

2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции  nml(r, ,  ), определяемые

тремя квантовыми числами: главным n, орбитальным l и магнитным ml.

Главное квантовое число n, согласно (223.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

n=1, 2, 3, ....

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным:

Le=h (l(l+1)), (223.4)

где l — орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения

l=0, 1, ..., (n-1), (223.5), т. е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентации.

Lеz=hml, (223.6), где ml — магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

ml=0, ±1, ±2, ..., ±l, (223.7) Наличие квантового числа ml должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом n на 2l+1 подуровней. Расщепление энергетических уровней в магнитном поле- эффекта Зеемана.

Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число ml характеризует ориентацию электронного облака в пространстве. l=0, называют s-состоянием, l=1 — р-состоянием, l=2 — d-состоянием, l=3 — f-состоянием и т.д.

3. Спектр. Квантовые числа n, l и ml позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода, полученный в теории Бора. Существуют правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света:

1) изменение орбитального квантового числа  l удовлетворяет условию  l=±1; (223.9)

2) изменение магнитного квантового числа  ml удовлетворяет условию  ml=0, ±1.

Переход электрона из основного состояния в возбужденное обусловлен увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона.

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: