Затухание свободных колебаний

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением:

, (7.1.1)

где - коэффициент затухания, - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания. Выражение коэффициента затухания через параметры системы зависит от вида колебательной системы. Например, для пружинного маятника где r - коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления. Для затухающих колебаний в колебательном контуре (рис.7.1.1): , где R - величина активного сопротивления контура.

Для решения уравнения (7.1.1) производится подстановка . Эта подстановка приводит к характеристическому уравнению:

, (7.1.2)

которое имеет два корня:

, . (7.1.3)

При не слишком большом затухании (при ) подкоренное выражение будет отрицательным. Если его представить в виде , где - вещественная положительная величина, называемая циклической частотой затухающих колебаний и равная , то корни уравнения (3) запишутся в виде:

и . (7.1.4)

Общим решением уравнения (7.1.1) будет функция:

(7.1.5)

которую можно представить в виде:

, (7.1.6)

Здесь и - произвольные постоянные.

В соответствии с (7.1.6) движение системы можно условно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону:

. (7.1.7)

Скорость затухания колебаний определяется коэффициентом затухания . В соответствии с выражением (7.1.7) коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в «e»=2.718 раз. Период затухающих колебаний определяется формулой:

. (7.1.8)

При незначительном затухании ( ) период колебаний практически равен . С ростом период увеличивается. Из соотношения (7.1.7) следует, что . Такое отношение амплитуд называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм - логарифмическим декрементом затухания:

. (7.1.9)

Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в «e» раз. Помимо рассмотренных величин для характеристики колебательной системы употребляется величина , называемая добротностью колебательной системы. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз. Большим значениям добротности соответствует малое затухание. Энергия колебательной системы убывает со временем. Это обусловлено наличием затухания. При малом затухании, когда энергия изменяется по закону:

, (7.1.10)

где - значение энергии в начальный момент.

Можно показать, что при слабом затухании добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент времени, к убыли этой энергии за один период колебаний.

С ростом g период колебаний увеличивается. При период обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При выведенная из положения равновесия система возвращается в него, не совершая колебаний.

Метод фазовых траекторий

В ряде случаев удобно изучать колебательные процессы в системе координат . Плоскость таких координат называется плоскостью состояний или фазовой плоскостью, а кривая, изображающая зависимость этих координат - фазовой кривой(фазовой траекторией). В механике такими координатами являются перемещение и скорость, а для электромагнитных колебаний в контуре – ток и напряжение.

Фазовая траектория затухающих колебаний описывается в параметрической форме системой из двух уравнений:

, (7.2.1)

где y - фазовый сдвиг между и x. При отсутствии затухания y=p/2. В этом случае фазовая кривая представляет собой эллипс, как и в случае сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с постоянными амплитудами, сдвинутых по фазе на четверть периода. При наличии затухания фазовая кривая получается незамкнутой. На рис. 7.2.1 приведена фазовая кривая для затухающих колебаний в колебательном контуре.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: