Вынужденные колебания при гармоническом внешнем воздействии. Резонанс колебаний

В том случае, когда на колебательную систему оказывается периодическое внешнее воздействие, подчиняющееся гармоническому закону, колебания описываются уравнением вида:

, (7.3.1)

где, также как и для случая затухающих свободных колебаний, - коэффициент затухания, - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания, - частота вынуждающего воздействия на систему.

Выражение для коэффициента зависит от вида колебательной системы и внешнего воздействия. Например, для пружинного маятника , где - амплитуда вынуждающей силы(рис 7.3.1). Для вынужденных колебаний в колебательном контуре: , где - амплитуда переменного напряжения, подаваемого на колебательный контур, - индуктивность (рис 7.3.2).

Общее решение такого неоднородного дифференциального уравнения (7.3.1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (7.1.1) и частного решения неоднородного уравнения. Эти два слагаемых соответствуют свободным затухающим колебаниям и незатухающим

колебаниям с частотой вынуждающей силы. По истечении некоторого промежутка времени решение уравнения (7.3.1) будет совпадать с частным решением.

Описываемый им режим движения называетсяустановившимся режимом вынужденных колебаний. Соответству­ющее выражение имеет вид

. (7.3.2)

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы:

. (7.3.3)

Величина

(7.3.4)

характеризует отставание по фазе вынужденного колебания от обусловившего это колебание внешнего воздействия. Следует отметить, что установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающего воздействия W, а не с собственной частотой. При W=0 выражение (7.3.3) дает статическое отклонение

. (7.3.5)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающего воздействия (рис. 7.3.3) приводит к тому, что при некоторой определенной для данной колебательной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к некоторому значению называют явлением резонанса (резонансом). Резонансную частоту находят, приравнивая нулю производную , откуда

, (7.3.6)

. (7.3.7)

Для механических колебаний при резонансной частоте внешнего воздействия, определяемой по формуле (7.3.6), достигается максимум амплитуды смещения колеблющейся величины , для электромагнитных колебаний в контуре - максимум амплитуды заряда q(t). Максимум амплитуды производной (соответственно, скорости или тока) достигается при . Максимум амплитуды второй производной (соответственно, ускорения или напряжения на катушке индуктивности) достигается при . Максимум средней мощности внешнего воздействия (для механических колебаний максимум мощности внешней силы ) достигается при . Если затухание невелико, то положения всех перечисленных максимумов почти не отличаются друг от друга. При малом затухании:

, . (7.3.8)

В данном случае, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса a_рез превышает отклонение системы от положения равновесия a(0)под действием постоянного воздействия той же величины, что и амплитуда вынуждающего воздействия. Это утверждение справедливо только при малом затухании. Зависимость называется резонансной кривой (см. рис.7.3.3.).

В установившемся режиме вынужденных колебаний энергия колебательной системы остается неизменной. Система непрерывно поглощает от источника внешнего воздействия энергию, которая восполняет потери, связанные с наличием затухания (сила трения при механических колебаниях, выделение теплоты на активном сопротивлении при колебаниях в контуре).

Найдем среднюю энергию, поглощаемую в единицу времени. Вычисления проведем для пружинного маятника при наличии силы трения и периодически изменяющейся внешней силы. При смещении груза на dx внешняя сила совершит работу Fdx.

Работа, совершенная в единицу времени, будет равна . Среднее значение поглощаемой в единицу времени энергии равно:

. (7.3.9)

Здесь усреднение производится по одному периоду колебаний . Подставляя в интеграл (7.3.9) выражение для силы, и производную от смещения из выражения (7.3.2), получаем

, (7.3.10)

где величина j определяется выражением (7.3.4). После интегрирования находим:

. (7.3.11)

Преобразование с учетом (7.3.4) приводит к выражению:

. (7.3.12)

Учитывая, что , получаем:

. (7.3.13)

Как видно, поглощаемая в единицу времени энергия зависит от частоты W. Так как имеет резонансный пик – максимум, то имеет резонансный пик – минимум (см. рис. 7.3.4) Поэтому измерения зависимости поглощенной энергии от частоты позволяют обнаружить резонансные явления и установить собственные частоты осциллирующих систем.

 

 

43.ВЕКТОРЫ.

Векторы

Обозначения:

Длина вектора, модуль (абсолютная величина):

 

Сумма векторов:

(правило треугольника) (рис. 1.22);

(правило параллелограмма) (рис. 1.23);

(правило многоугольника);

(правило параллелепипеда, - диагональ).

Разность векторов:

Формула вычитания векторов: (рис. 1.24).

Признак коллинеарности векторов:

Законы векторной алгебры

 

Для любых векторов и любых чисел справедливы равенства

Координатные формулы

 

Пусть - взаимно ортогональные единичные векторы, имеющие направления координатных осей; - координаты вектора ; - координаты вектора ; или Тогда:

Если - начало вектора, - его конец, то

44.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω ₀.

Если свободные колебания происходят на частоте ω ₀, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят начастоте ω внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δ t для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω ₀. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону

y = ym cos ω t.

где y_m – амплитуда колебаний, ω – круговая частота.

Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, преобразующего движение по окружности в поступательно-возвратное движение (рис. 2.5.1).

Рисунок 2.5.1. Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону y = ym cos ω t. l – длина недеформированной пружины, k – жесткость пружины

Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый – на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δ l равно:

Δ l = x – y = x – ym cos ω t.

Второй закон Ньютона для тела массой m принимает вид:

ma = –k(x – y) = –kx + kym cos ω t.

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое – внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде

(**)

где – собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина A определяется выражением:

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту ω ₀ свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону

x (t) = xmcos (ω t + θ ).

Амплитуда вынужденных колебаний x_m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω ₀ и ω и от амплитуды < m> m> y_m внешней силы.

На очень низких частотах, когда ω < < ω ₀, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этомx (t) = y (t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы приω < < ω ₀ стремится к нулю.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω ₀, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды x_m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2).

При резонансе амплитуда x_m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду y_m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

Модель. Вынужденные колебания

У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Рисунок 2.5.2. Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 – колебательная системабез трения; при резонансе амплитуда xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4. На низких частотах (ω < < ω 0) xm ≈ ym. На высоких частотах (ω > > ω 0) xm → 0

Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями. В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Рисунок 2.5.3. Функциональная схема автоколебательной системы

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменена пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

45.ЦЕНТР МАСС, ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С- центр инерции, или центр масс, - которая обладает рядом интересных и важных свойств. Центр масс является точкой приложения вектора импульса системы , так как вектор любого импульса является полярным вектором. Положение точки С относительно начала О данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором, определяемым следующей формулой:

 

(4.8)

где - масса и радиус-вектор каждой частицы системы, M - масса всей

системы (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Определение центра масс системы частиц

Следует заметить, что центр масс системы совпадает с ее центром тяжести. Правда, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным.

Найдем скорость центра масс в данной системе отсчета. Продифференцировав (4.8) по времени, получим

 

(4.9)

Если скорость центра инерции равна нулю, то говорят, что система как целое покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя отдельной частицы. Скорость же приобретает смысл скорости движения системы как целого.

Из формулы (4.9) с учетом (4.3) следует, что

 

(4.10)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Получим уравнение движения центра масс. Понятие центра масс позволяет придать уравнению (4.4) иную форму, которая часто оказывается более удобной. Для этого достаточно (4.10)подставить в (4.4), и учесть, что масса системы как таковой есть величина постоянная. Тогда получим

 

,

(4.11)

где - результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Это и есть уравнение движения центра масс системы - одно из важнейших уравнений механики. В соответствии с этим уравнением, при движении любой системы частиц ее центр инерции движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на систему. При этом ускорение центра инерции совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Далее, из уравнения (4.11) следует, что если то а значит, . В инерциальной системе отсчета такой случай реализуется для замкнутой системы. Кроме того, если , то, согласно (4.10); и импульс системы .

Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то это означает, что ее импульс сохраняется в процессе движения. Разумеется, справедливо и обратное утверждение.

Уравнение (4.11). по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы. Напомним, что в неинерциальных системах отсчета результирующая всех внешних сил включает в себя как силы взаимодействия с окружающими телами, так и силы инерции.

 

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

Центр тяжести – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил (Е. М. Никитин, § 42). Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
x_c = (∑ G_ix_i) / ∑ G_i;
(1)y_c = (∑ G_iy_i) / ∑ G_i;
z_c = (∑ G_iz_i) / ∑ G_i.

Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес G_i каждого отрезка l_i можно представить в виде произведения
G_i = l_id,
где d – постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.

После подстановки в формулы (1) вместо G_i их значений l_id постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий, примут вид:
x_c = (∑ l_ix_i) / ∑ l_i;
(2)y_c = (∑ l_iy_i) / ∑ l_i;
z_c = (∑ l_iz_i) / ∑ l_i.

Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174), то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:
G_i = F_ip,
где F_i – площади каждой поверхности, а p – вес единицы площади фигуры.

После подстановки этого значения G_i в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:
x_c = (∑ F_ix_i) / ∑ F_i;
(3)y_c = (∑ F_iy_i) / ∑ F_i;
z_c = (∑ F_iz_i) / ∑ F_i.

Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части
G_i = V_iγ,
где V_i – объем каждой части, а γ – вес единицы объема тела.

После подстановки значений G_i в формулы (1) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов:
x_c = (∑ V_ix_i) / ∑ V_i;
(4)y_c = (∑ V_iy_i) / ∑ V_i;
z_c = (∑ V_iz_i) / ∑ V_i.

46.МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

ОСЕВОЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

§ m_i — масса i-й точки,

§ r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

§ — масса малого элемента объёма тела ,

§ — плотность,

§ — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Основная статья: Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласнотеореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен

,

где — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называютсяглавными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

[править]Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

где — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки.

Единица измерения СИ — м⁴. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см⁴.

Из него выражается момент сопротивления сечения:

.

47.ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: