Вычисление моментов инерции относительно оси.

Прямой расчет момента инерции тела относительно оси сводится к вычислению интеграла

(2.44)

 

где - расстояние элементарной массы до оси вращения. При этом, естественно, необходимо учитывать симметрию системы.

Вычислим, к примеру, момент инерции шара (в сферических координатах рис. 2.15) относительно произвольной оси, проходящей через его центр (в данном случае относительно оси Oz):

(2.45)

 

- масса шара, - его объем.

(2.46)

 

поэтому

(2.47)

 

(2.48)

 

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками относительно центра шара, очевидно, равен m*R^2. Для сплошного шара интегрируем по радиусу от 0 до R. Получаем (3/5)m*R^2. Далее если интересует момент инерции относительно диаметра, то используем формулу: 2I = Ix + Iy + Iz. Окончательно получаем: 2/5*m*R^2. I=(3/5)m*R^2- момент инерции шара относительно центра
Ix = Iy = Iz (симметрия);
2I = Ix + Iy +Iz, следовательно
3Ix=2I
Ix=2I/3

 

51.МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТОНКОГО ДИСКА

Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m		[1]	Это частный случай предыдущего объекта приr1=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами)
Тонкий твердый диск радиуса r и массы m			Это частный случай предыдущего объекта приh=0.

 

52.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Ко́ мпле́ ксные^[1] чи́ сла (устар. Мнимые числа^[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица^[3].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена .

Стандартная модель

Комплексное число можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел . Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

§

§

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а мнимая единица — На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

мнимой единице —

Замечания

Ошибочно определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению , так как число также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо , не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

в то время как правильная запись приводит к иному ответу:

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: