Глава 2. Определённый интеграл.

Глава 2. Определённый интеграл.

2.1. Понятие определённого интеграла. Свойства.

2.2. Формула Ньютона-Лейбница.

2.3. Замена переменной.

2.4. Интегрирование по частям.

2.5. Вычисление площади плоской фигуры.

2.6. Вычисление объём тела вращения.

2.7. Контрольные вопросы по теме «Определённый интеграл».

 

Глава 3. Дифференциальные уравнения.

3.1. Уравнения с разделяющимися переменными.

3.2. Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

3.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

3.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

3.5. Контрольные вопросы по теме «Дифференциальные уравнения».

 

Глава 4. Контрольная работа.

4.1. Методические указания к решению задач.

4.2. Задачи для контрольной работы.

4.3. Таблица распределения задач по вариантам.

4.4. Правила выполнения и оформления контрольной работы.

 

Литература

 

 

Введение.

Изучение высшей математики имеет исключительно важное значение для всего процесса обучения в высшем учебном заведении. Значение высшей математики необходимо для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин. Математические методы широко используются для решения самых разнообразных задач науки, производства и экономики. Значение этих методов существенно возрастают в связи с массовой информатизацией и компьютеризацией общества и всех отраслей промышленности.

Цель преподавания математики в вузе – ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и её приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

Часть 1 содержит краткое изложение разделов математики: «Элементы линейной и векторной алгебры», «Аналитическая геометрия», «Введение в математический анализ», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Функции нескольких переменных».

Часть 2 содержит следующие разделы: «Неопределённый интеграл», «Определённый интеграл», «Дифференциальные уравнения».

Математика – это наука о пространственных формах и количественных отношениях в самом общем виде, - прошла большой путь развития одновременно с развитием цивилизации и стала неотъемлемой частью культуры человечества и показателем интеллектуального уровня общества. Помимо собственных потребностей развития математика обслуживает потребности многих других наук – естественных, технических, экономических, гуманитарных. С развитием вычислительной техники область использования математики расширяется. В наше время трудно представить себе хорошего специалиста в различных областях, не знающего основных математических методов и математического языка. Поэтому математика включена в учебные планы почти всех специальностей и её изучению отводится немало времени.

Для успешного изучения математики необходимы программа, учебники и учебные пособия, справочная литература, таблицы, инженерный микрокалькулятор и, конечно, волевые усилия. Необходимо посещать все очные занятия в период сессий и стремиться самостоятельно, выполнять контрольные работы, пользуясь руководствами к решению задач, методическими указаниями и конспектами практических занятий.

Предлагаемые «Методические указания» должны помочь студенту-заочнику рационально организовать свой труд по изучению математики и выполнению контрольных работ. Обратите пристальное внимание, на таблицу распределения задач по вариантам и в соответствии с ней выполняйте работы.

Желаем Вам успеха.

 

 

Глава 1. Неопределённый интеграл.

Определение. Таблица интегралов.

Одной из задач предыдущей части курса было нахождение производной функции f(x) - новой функции f `(x). Сформулируем обратную задачу – найти функцию F(x), производная которой - заданная функция f(x).

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на отрезке [a, b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F`(x) = f(x).

Первообразная определяется с точностью до произвольной постоянной: [F(x) + C]` = f(x). Если F(x) – первообразная функции f(x), то функциями вида F(x) + C исчерпываются все первообразные функции f(x).

Если функция F(х) – первообразная функции f(x), то выражение F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

ò f(x)dx = F(x) + C (1.1),

где ^. f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, ò – знак интеграла.

Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, геометрически – семейство кривых, каждая из которых получается сдвигом одной из кривых вдоль оси Оу.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой функции существует первообразная (и неопределенный интеграл). (Теорема существования).

Нахождение первообразной функции f(x) называется интегрированием ее.

Отметим, что если производная элементарной функции также элементарная функция, то первообразная элементарной функции может оказаться и неэлементарной функцией.

Из определения первообразной следует:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F`(x) = f(x), то и (ò f(x)dx)` = f(x) (1.2).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d(ò f(x)dx) = f(x)dx (1.3).

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

ò F(x) dx = F(x) + C (1.4.).

Несложно показать, что справедливы и следующие свойства:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен сумме интегралов от них:

ò [f₁(x) + f₂(x)]dx = ò f₁(x)dx + ò f₂(x)dx (1.5).

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а = const, то ò af(x)dx = aò f(x)dx (1.6).

6. Если ò f(x)dx = F(x) + C и u = j(x), то ò f(u)du = F(u) + C (1.7).

 

Используя таблицу производных и соотношения (1.2) – (1.7) несложно получить таблицу интегралов от простейших функций.

при a ¹ –1 (1.8)	(1.15)
(1.9)	(1.16)
(1.10)	(1.16`)
(1.11)	(1.17)
(1.12)	(1.17`)
(1.13)	(1.18)
(1.14)	(1.18`)

Приведем еще две формулы, справедливость которых можно проверить дифференцированием.

(1.19) (1.20)

Интегрирование в случаях, когда удается сразу воспользоваться табличными интегралами, называют непосредственным. Чаще подынтегральную функцию приходится преобразовывать, чтобы свести исходный интеграл к одному или нескольким табличным. Один из эффективных приемов – метод подстановки: в интеграле вида ò f(x)dx делают замену переменной, положив x = j(t) ( j(t) – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию). Тогда dx = j`(t)dt и ò f(x)dx = ò f(j(t))j`(t)dt. (1.21)

Подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х (возвращение к исходной переменной). Функцию j(t) следует выбирать так, чтобы вычисление интеграла в правой части было максимально простым. Поясним на примере: . Положим х = аt, откуда dx = аdt, t=x/a.. Исходный интеграл примет вид =

= = [см (1.17)] = = Т.о.

(1.17`).

 

Иногда удобнее применять замену переменной вида t = y(x). Вычислим [cosx = t; sinxdx = –dt] =

= .

 

 

Интегрирование по частям.

Если u и v дифференцируемые функции от х, то d(uv) = vdu + udv откуда, интегрируя, получим

uv = ò vdu + ò udv и ò udv = uv – ò vdu (1.22).

 

Это соотношение называют формулой интегрирования по частям.

Подынтегральное выражение " разбивают на части" - u и dv, подбирая их так, чтобы ò vdu был табличным или более простым, чем исходный.

Пример: ò хе^хdx =? Положим u = x и e^xdx = dv, тогда du = dx и v = e^x откуда ò хе^хdx = хе^х – ò е^хdx = хе^х – е^х + C.

Отметим, что при нахождении v по dv произвольную постоянную без потери общности полагают равной нулю.

О «неберущихся» интегралах

 

Выше говорилось, что если и выполняются условия существования первообразной, то не всегда она может быть найдена как конечная комбинация элементарных функций. Соответствующий интеграл можно рассматривать как новую неэлементарную функцию. Такие функции часто носят название специальных, многие из них хорошо изучены (и табулированы). Например, та из первообразных , которая обращается в нуль при х = 0 называется функцией Гаусса и обозначается Ф(х), т.е. Ф(х) = если Ф(0) = 0.

 

1.7. Контрольные вопросы по теме «Неопределённый интеграл».

1) Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое.

2) Что называется неопределённым интегралом? Каков его геометрический смысл и основные свойства?

3) Постройте кривые семейства , проходящие через точки М₁(2, 1), М₂(2, 2), М₃(2, 3).

4) Каковы основные методы интегрирования функций?

5) Выведите формулу интегрирования по частям.

6) Укажите некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

7) Что называется дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью)?

8) Назовите четыре типа правильных рациональных дробей.

9) Как найти интегралы от простейших рациональных дробей 1-го и 2-го типа?

10) Как найти интегралы от простейших рациональных дробей 3-го и 4-го типа?

11) Как найти интегралы вида , если: а) хотя бы один из показателей m или n – нечётное положительное число; б) оба показателя m и n – чётные положительные числа?

12) Как найти интегралы вида , где m – целое положительное число?

13) Как найти интегралы вида , где R – рациональная функция?

14) Как найти интегралы вида , где R – рациональная функция, а m_i, n_i – целые числа?

15) Как найти интегралы вида ?

16) Как найти интегралы вида ?

17) Как найти интегралы вида ?

18) Приведите примеры «неберущихся» интегралов.

19) Какая функция называется функцией Гаусса, как она определяется?

 

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

 

Замена переменной.

Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g ^-1 - обратная функция к g, т.е. t = g ^-1(x).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

Сделаем замену:

Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = − 1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

 

Интегрирование по частям.

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

где означает разность значений произведения функций uv при x = b и

x = a.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

Запишем интеграл в виде

Используем интегрирование по частям: .

В нашем случае пусть будет

Следовательно, интеграл равен

Литература.

 

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика- М; Дрофа: 2004, т.1-288 с.

2. Шипачёв В.С. Курс высшей математики- М; Проспект: 2004, 600 с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (в двух частях) – М, Высшая школа: 1986, 1996, 1997.

Т.1 (1986 г.)-304 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления (в двух томах) – М; Наука: 1985. т.1 – 432 с.

5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике – М; Айрис Пресс: 2007, 576 с.

 

Глава 2. Определённый интеграл.

2.1. Понятие определённого интеграла. Свойства.

2.2. Формула Ньютона-Лейбница.

2.3. Замена переменной.

2.4. Интегрирование по частям.

2.5. Вычисление площади плоской фигуры.

2.6. Вычисление объём тела вращения.

2.7. Контрольные вопросы по теме «Определённый интеграл».

 

1234567Следующая ⇒

Поделиться: