Глава 2. Определённый интеграл. Что такое определённый интеграл и почему он есть площадь?

Понятие определённого интеграла. Свойства.

Что такое определённый интеграл и почему он есть площадь?
Пусть функция определена на промежутке (рис.1). Для определённости и простоты считаем, что функция положительна и непрерывна на данном отрезке. Поставим задачу найти площадькриволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и осью . Обращаю внимание на тот факт, что непрерывность функции на отрезке заведомо гарантирует существование конечной площади .

Разобьём отрезок на частей следующими точками:
:
рис.1

В результате получено частичных промежутков с длинами соответственно. В общем случае длины различны – какие-то отрезки короче, какие-то длиннее. Максимальную длину называют диаметром разбиения и обозначают буквой «лямбда»: .

Примечание : последняя запись читается, как «максимальное значение из множества (набора) »

В каждом из полученных промежутков опять же произвольно выбираем точки .

Примечание : («кси») – 14-ая буква греческого алфавита

Рассмотрим промежуток . Его длина, очевидно, равна (зелёная обоюдоострая линия). Значению аргумента соответствует значение функции , и произведение в точности равно площади соответствующего прямоугольника.

Аналогично устроен каждый отрезок. Составим сумму, которая равна площади коричневой ступенчатой фигуры:

Данная сумма называется интегральной суммой, и её часто записывают в свёрнутом виде:

Примечание : – это значок суммы, а переменная – своеобразный «счётчик», т.е. сначала , затем , потом , … и, наконец,

Что означает прилагательное «интегральной»? В широком смысле слова, интегрировать – это значит, что-то объединять. В данном случае интегральная сумма объединяет площади прямоугольников и с некоторой точностью приближает площадь криволинейной трапеции:

Теперь зададимся вопросом: как улучшить точность приближения? Действия очевидны – увеличиваем и увеличиваем значение . При этом количество отрезков растёт, а их длины – уменьшаются, в том числе неизбежно уменьшается и максимальная длина . Количество точек тоже возрастает и ступенчатая фигура всё больше и больше напоминает криволинейную трапецию.

И, если количество отрезков разбиения устремить к бесконечности , то интегральная сумма (площадь ступенчатой фигуры) будет стремиться к площади криволинейной трапеции: .

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральной суммы при диаметре разбиения, стремящемся к нулю:

В результате, площадь криволинейной трапеции:

Определение: конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа дробления отрезка , ни от выбора точек , называется определённым интегралом функции по промежутку и обозначается символом .

При этом функция называется интегрируемой в промежутке .

Свойства определённого интеграла:

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

1.

2. где k - константа;

3.

4.

5. Если для всех , то .

6.

7.

8. Если в интервале [a, b], то

 

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

 

Замена переменной.

Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g ^-1 - обратная функция к g, т.е. t = g ^-1(x).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

Сделаем замену:

Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = − 1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

 

Интегрирование по частям.

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

где означает разность значений произведения функций uv при x = b и

x = a.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

Запишем интеграл в виде

Используем интегрирование по частям: .

В нашем случае пусть будет

Следовательно, интеграл равен

Вычисление площади плоской фигуры.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: