Методические указания к решению задач.

Решение типовых примеров.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл: .

Решение: сделаем замену t=arccosx. Тогда и .

 

Пример 2. Найти неопределенный интеграл: .

Решение: применим подстановку , тогда , откуда .

 

Пример 3. Найти интеграл .

Решение: преобразуем знаменатель дроби, стоящий под знаком интеграла следующим образом: . Тогда после замены , получаем:

; второй интеграл является табличным.

Для решения первого интеграла нужно воспользоваться заменой переменной: , тогда , откуда . Таким образом окончательный ответ или .

 

Пример 4. Найти интеграл:

Решение: применим формулу интегрирования по частям . Разбиваем подынтегральное выражение на части:

тогда .

Следовательно, .

 

Пример 5. Найти интеграл:

Решение: положим , тогда

Отсюда . Применяя в последнем интеграле подстановку , получаем , следовательно, , отсюда .

 

Пример 6. Найти интеграл

Решение: разложим знаменатель на множители: ,

тогда освобождаемся от знаменателя: .

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Из второго уравнения получаем

Отсюда .

Следовательно, .

Выделим полный квадрат в знаменателе подынтегрального выражения:

.

Произведем подстановку и

Ответ: .

 

Пример 7. Найти интеграл

Решение:

 

Пример 8. Найти интеграл

Решение:

Пример 9. Найти интеграл

Решение (используем универсальную тригонометрическую подстановку):

 

Пример 10. Найти интеграл

 

Пример 11. Вычислим площадь фигуры, ограниченной параболами

Решение: найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

отсюда

Вычисление площади осуществляется по формуле

, где - кривые, ограничивающие фигуру

В нашем случае

 

Пример 12. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой , прямой и ось Ох.

Решение: найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте из системы уравнений , откуда

Для этого решим уравнение

А также, найдем абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох:

 

Тогда, используя формулу для вычисления объёма тела вращения, получим: , где

 

Пример 13. Решить дифференциальное уравнение .

Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:




Ответ: общий интеграл:

 

Пример 14.Решить уравнение .

Решение: разделим обе части уравнения на :

, убеждаемся, что оно – линейное. Положим ,

тогда и уравнение преобразуется к виду или .

Так как искомая функция представима в виде произведения двух

вспомогательных функций u и v, то одну из них можно выбрать произ-

вольно. Выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения

. (1)

Тогда для отыскания функции u имеем уравнение

. (2)

Получаем два уравнения с разделяющимися переменными.

Решаем первое уравнение:

, , , , , .

Подставим в уравнение (2) и решим его:

, , , .

Следовательно, - общее решение данного уравнения.

 

Пример 15. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение: для нахождения общего решения данного однородного уравнения составляем характеристическое уравнение к² − 4к +3 = 0, имеющее корнями числа к₁ = 1, к₂ = 3.

Общим решением данного уравнения является функция .

Используя начальные условия, определяем значения постоянных С₁

и С₂ . Подставляя в общее решение заданные значения х = 0, у = 6 (первое

начальное условие), получим 6 = С₁ + С₂.

Дифференцируя общее решение уравнения, имеем и подставляя в полученное выражение х = 0, у = 10 (второе начальное условие), получаем второе уравнение с неизвестными С₁ и С₂:

10 = С₁ + 3С₂ .

Решая полученную систему уравнений

, находим С₁ = 4, С₂ = 2.

Подставляя значения С₁ = 4 и С₂ = 2 в общее решение уравнения,

получим искомое частное решение данного уравнения, удовлетворяющее

заданным начальным условиям: .

 

Пример 16.Решить уравнение .

Решение: находим общее решение однородного уравнения

. Его характеристическое уравнение имеет корни , . Тогда .

Найдем частное решение данного неоднородного уравнения. Его

правая часть есть функция . Так число 0 не является корнем

характеристического уравнения, есть многочлен второй степени, то

есть . Отсюда находим , и, подставляя , , в данное уравнение, получаем тождество

или .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих час-тях последнего равенства (только при этом условии оно будет тождеством)

получаем систему уравнений

, из которой находим А = − 3, В = − 3, С = − 4, 5.

Следовательно, и искомым общим решением дан-

ного неоднородного уравнения является .

 

Пример 17. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение: характеристическое уравнение имеет равные корни , поэтому .

Правая часть данного уравнения есть сумма показательной функции

и многочлена первой степени 2х – 4. Так числа − 2 и 0 не являются корнями характеристического уравнения, то .

Подставляя , , в данное уравнение, имеем:

.

Приравнивая коэффициенты подобных членов обеих частей этого

тождества, получаем систему уравнений

, откуда А = 1, В = 2, С = 0.

Следовательно, и общим решением данного уравнения

является функция .

Используя начальные условия, определим значения постоянных С₁

и С₂. Так как , то С₁+1=1, С₁=0.

Находим производную .

Тогда С₁ + С₂ – 2 + 2 = 1, С₁ + С₂ = 1, С₂ = 1.

Итак, − искомое частное решение.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: