Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
, где и – константы, а – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция может быть числом, отличным от нуля.

Как решить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами вида?

Алгоритм решения неоднородного ДУ следующий:

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Надо взять уравнение , откинуть правую часть: – и найти общее решение. Данная задача уже была подробно разобрана ранее. Общее решение однородного уравнения будем обозначать буквой .

2) Наиболее трудный этап. Необходимо найти какое-либо частное решениенеоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов.

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций.
Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

1.

2.
где P_n(x) и Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении.

В случае 2, если число α + β i совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

3) На третьем этапе надо составить общее решениенеоднородного уравнения. Это совсем легко: . Совершенно верно – следует их просто приплюсовать.

Если изначально в условии сформулирована задача Коши (найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям), то добавляется четвёртый этап:

4) Нахождение частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:
1)Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наше неоднородное дифф.уравнение и обнуляем правую часть:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения .

Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: . Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: , где – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). Смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: это различные действительные корни, отличные от нуля. Приходим к выводу, что, да, действительно – частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:

Найдём первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

(1) Выполняем подстановку и .
(2) Раскрываем скобки.
(3) После максимальных упрощений ставим знак равенства и приписываем нашу правую часть .

Далее работаем с последним равенством – необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:

Чтобы было еще проще рекомендуется предварительно сгруппировать подобные слагаемые:
, и только потом составлять систему.

Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения :

Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Пример. Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавляется дополнительный пункт.

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:


– получены кратные действительные корни, поэтому общее решение:

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение . Смотрим на правую часть неоднородного уравнения , и сразу появляется первая версия подбора: .

Далее смотрим на корни характеристического уравнения: – действительные кратные корни. Приходим к выводу, что «очевидное» частное решение необходимо домножить на , то есть, частное решение следует искать в виде:

Ищем неизвестный коэффициент .

Найдем первую и вторую производную:

Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения и максимально упростим выражение:

В самом конце после упрощений приписываем исходную правую часть .

Из последнего равенства следует:

Таким образом: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,

Сначала берём найденное общее решение и применяем к нему первое начальное условие :

Согласно начальному условию: – получаем первое уравнение.

Далее находим производную от общего решения:
и применяем к найденной производной второе начальное уравнение :

Согласно второму начальному условию: – получаем второе уравнение.

Составим и решим систему:

Подставим найденные значения констант , в общее решение

Ответ: частное решение:

Пример. Найти общее решение неоднородного уравнения

Решение:
1)Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:



– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде:
Выясним, чему равны коэффициенты .

Найдем производные:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

(После подстановки и максимальных упрощений приписываем правую часть: )

Из последнего равенства составим и решим систему:

(Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения почленно вычтено первое уравнение). Таким образом, подобранное частное решение: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

3.5. Контрольные вопросы по теме «Дифференциальные уравнения».

 

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется порядком дифференциального уравнения?

3. Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

4. Что называется частным решением дифференциального уравнения

5. Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?

6. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

7. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? уравнением Бернулли? Укажите способ их решения.

8. Какое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка?

9. Какое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка?

10. Какое уравнение называется характеристическим для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка?

11. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

12. Как найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

13. Какой вид имеет частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция? комбинация этих функций?

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: