Понятие величины и множества

Операции над множествами

Сумма множеств. Допустим, что нужно составить группу студентов, знающих английский или французский язык. Ясно, что в эту группу войдут те, кто знает английский язык, и те, кто знает французский язык. Конечно, в нее войдут и студенты, знающие оба языка.

Определение. Суммой двух множеств А и В называется мно­жество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые при­надлежат или множеству А, или множеству В (или обоим мно­жествам).

Обозначается сумма множеств двумя способами:

С = A È В или С = А + В.

Пример 2.1.1. Пусть А={1, 2, 5, 8}, В={2, 4, 8, 10}. Тогда АÈ В={1, 2, 4, 5, 8, 10}.

Пример 2.1.2. Пусть А={1, 4, 7, 9}. Какие элементы входят в сумму А È А?

Из определения следует, что в А È А входят те же самые числа, т, е. А È А =A.

Предлагаем читателю самостоятельно решить следующие за­дачи:

а) хÎ А È В, следует ли отсюда, что хÎ А?

б) хÎ А, В — произвольное множество, следует ли отсюдачто хÎ А È B?

Операция сложения множеств обладает следующими свой­ствами:

1) А È В=В È А, или А+В=В+А (коммутативный закон);

2) А È (ВÈ C)=(AÈ В) È C, или А+(В+С)=(А+В)+С (ассо­циативный закон);

3) А È А=А, или А+А=А.

Эти свойства легко проверить исходя из определения суммы множеств.

Произведение множеств. Пусть А — множество букв, входящих в слово число, В — мно­жество букв, входящих в слово восемь. Поставим вопрос, какие буквы входят и в то и в другое слово? Это буквы о, с. Множество { о, с } состоит из тех букв, которые входят и в А, и в В. Множество, полученное таким образом из множеств А и В, называется пере­сечением множеств, или их произведением.

Определение. Произведением двух множеств А и В на­зывается множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В.

Обозначается произведение множеств следующим образом:

С=АÇ В, или С=АВ.

Пример 2.1.3. Пусть А={1, 2, 5, 8}, В={2, 4, 8, 10}, тогда АÇ В ={2, 8}.

Пример 2.1.4. Пусть А={1, 3, 8, 10}, В={2, 7}. Тогда АÇ В =Æ , так как нет элементов, которые принадлежат одновременно множеству А и множеству В.

Задача. хÎ А, следует ли отсюда, что хÎ АÇ В +

Операция умножения множеств обладает следующими свой­ствами, которые легко доказать исходя из определения произведе­ния множеств:

1) AÇ B=BÇ A, или АВ=ВА (коммутативный закон);

2) АÇ (ВÇ С)=(АÇ В) Ç С, или А(ВС)=(АВ)С (ассоциативный закон);

3) АÇ А=А, или АА=А;

4) АÇ (ВÈ С)=(АÇ В)È (АÇ С), или А(В+С)= АВ + АС (дистрибутивный закон).

Подмножества. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент А является элементом В. Это записывается следующим образом: АÌ В.

Пример 2.1.5. Дано В={1, 2, 3, 4, 5}, А={1, 3, 4}. Очевидно, что А – подмножество множества В, так как каждый элемент А является элементом В.

Как вытекает из опреде­ления, само множество всегда является своим подмножеством, т. е. ВÌ В.

Имеем очевидное соотношение NÌ ZÌ R. (Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, которое, в свою очередь, является подмножеством множества действительных чисел).

Разбиение множества. Разбиением множества М называется система его непустых подмножеств, обладающая следующими свойствами:

- сумма всех подмножеств этой системы равна множеству М;

- никакие два различных подмножества не содержат общих элементов.

Подмножества, составляющие разбиение множества М, обычно называют классами.

Пример 2.1.6. Множество студентов одного курса разбиваются на группы. При этом выполняются оба условия.

Пример 2.1.7. Множество натуральных чисел N можно разбить на два множества – четных и нечетных чисел.

Итак, при действиях с множествами можно менять порядок слагаемых и сомножителей, раскрывать скобки так же, как и при действиях с числами. Однако операции над мно­жествами имеют также такие свойства, которых нет у операций над числами, например АÈ А=А и другие. Кроме того, у операций с числами есть свои, присущие им свойства. Об этом нужно помнить, производя операции над множествами. Делая то или иное преобразование, всегда следует обращать внимание на то, какие свойства операций с множествами при этом используются.

Пример 2.1.8. Упростить выражение (АÈ В)Ç (АÈ С), или (А+В)(А+С).

Раскрывая скобки и учитывая, что АА=А, имеем (А+В)(А+С)=А+АВ+АС+ВС. Но АВÌ А, поэтому А+АВ=А. Аналогично А+АС=А. Окончательно получаем (А+В)(А+С)= А + ВС.

Пример 2.1.9. Даны три множества А, В, С. Известно, что А+В=А+С. Можно ли отсюда сделать вывод, что В=С?

В области чисел из равенства а+b=а+с следует равенство b=с. Для множеств это не так. Приведем пример. Пусть А={1, 2, 3, 4}, В={1, 2, 5, 6}, С={3, 5, 6}. При этом АÈ В=АÈ С={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Итак, А+В=А+С и в то же время В¹ С.

Дополнение к множеству. Рассмотрим некоторую систему множеств А, В, С,... Множество I называется универсальным для этой системы, если каждое множество системы является под­множеством I, т. е. АÌ I, ВÌ I, СÌ I,...

Пример 2.1.10. А ={2, 7, 11}, В={10, 8, 3, 5}, С — множество чет­ных чисел {2, 4, 6, 8,..., 2п,...}. За универсальное множество для данной системы из трех множеств можно принять множество всех натуральных чисел I =N.

Дополнением множества А называется множество, состоящее из тех и только тех элементов универсаль­ного множества, которые не входят в А, и обозначается Ā .

Пусть I — множество натуральных чисел, А— множество четных чисел. Тогда Ā — множество нечетных чисел.

Свойства дополнения:

1) АÈ I=I, АÇ I=A;

2) AÈ Ā =I, AÇ Ā =Æ;

3) = A (дополнение к множеству Ā равно A);

4) AÈ В= Ā Ç В, и AÇ B= Ā È В.

2.1.3. Понятие функциональной зависимости. Способы задания и исследования функций

Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что в окружающем нас мире величины (например, цена какого-либо то­вара и величина спроса на этот товар, прибыль фирмы и объем производства этой фирмы, инфляция и безработица и т.п.) сущест­вуют не изолированно друг от друга, а напротив, они связаны меж­ду собой определенным образом. Понятие функции или функцио­нальной зависимости – одно из основных математических понятий, при помощи которых моделируются взаимосвязи между различны­ми величинами, количественные и качественные отношения между различными экономическими характеристиками и показателями.

Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных понятий, поэтому оно не определяется, а поясняется. Говорят, что задана функция, если дан закон, согласно которому каждому значению х из некоторого числового множества А ставится в соответствие одно вполне определённое значение у из некоторо­го числового множества В.

Функциональная зависимость между величинами х и у символи­чески обозначается так: у =f(x); говорят, что х – аргумент (незави­симая переменная), а у – функция (зависимая переменная).

Совокупность всех значений аргумента, каждому из которых со­ответствует вполне определенное значение функции, называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых у, называетсяобластью из­менения функции.

Функцию можно задавать различными способами. Наиболее рас­пространенные и важные среди них – задание функции формулой, таблицей и графиком. При задании функции в ЭВМ часто исполь­зуется также алгоритмический способ.

В качестве примера рассмотрим взаимосвязь между ценой про­дукта, которую мы обозначим через р и величиной спроса на этот продукт, которую мы обозначим через q. Эта связь может быть, к примеру, представлена следующей таблицей:

р, руб.
q, тыс. шт.

отражающей отрицательную взаимосвязь величин (убывание величины спроса с возрастанием цены).

График функции

Эта же взаимосвязь величин может быть представлена в виде графика на рис. 2.1.1.

p

0 6 9 12 15 18 q

Рис. 2.1.1

Графиком функции называется геометрическое место (множество) точек на координатной плоскости, имеющих ко­ординаты (x, f(x)), у которых абсциссами служат рассматриваемые значения независимой переменной х, а ординатами – соответствую­щие значения функции y=f(x).

Для того чтобы построить график функции, имея ее табличное представление, например график функции спроса, достаточно отло­жить значения величин, приведенных в таблице на соответствую­щих координатных осях, восстановить перпендикуляры к осям из точек, соответствующих определенному значению цены или спроса, и нанести точки пересечения перпендикуляров.

Функциональная зависимость между величинами х и у может быть задана также в виде формулы у =f(х). В данном случае (рис. 2.1.1) зависимость между ценой и величиной спроса выражается формулой: р = 500 – 50q/3 (или q = 30 – 0, 06p). Подставляя в последнюю формулу значения цены, представленные в верхней строке таблицы, мы легко убедимся в том, что в результате получаются соответствующие це­нам величины спроса, представленные в нижней строке таблицы. Таким образом, зная формулу функции, несложно получить таб­личное и графическое представление этой функции.

Свойства функций

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из ко­торых (для построения и исследования графиков) относятся: чет­ность, нули, периодичность, монотонность, ограниченность функ­ции, наличие у функций асимптот и обратной функции. Рассмот­рим вкратце эти свойства функций.

Четные и нечетные функции. Функция y=f(x) называется чет­ной, если для любых двух различных значений аргумента из облас­ти ее определения выполняется равенство f(-x)=f(х). Например, у=х²ⁿ, (n – натуральное); у=ç xç – четные функции. Сумма, разность, произведение и частное четных функций есть функция четная.

Функция называется нечетной, если для любого значения аргу­мента из области определения функции выполняется равенство f(–х) = –f(x). К нечетным функциям относятся, например, у=х²ⁿ⁺¹, где п – любое натуральное число, у=x/(x²+4) и т.д.

Не всякая функция является либо четной, либо нечетной. На­пример, функции у = х²+3х, у = (х + 1)² и т.д. называются амор­фными.

Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а произведение и частное нечетных функций – функция четная.

График четной функции симметричен относительно оси ОY, а нечетной – относительно центра О.

Нули функции. Нулями функции f(x) называют те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль: f(х)=0. Гра­фически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Например, нулями функции у= (х–1)(х+2)будут корни уравнения у = 0, т.е. х = 1 и х = –2.

Периодические функции. Функция у=f(х) называется периоди­ческой, если существует число T такое, что для каждого значения аргумента х из области ее задания имеет место равенство f(x+ Т) = f(x). Число T называют периодом этой функции. Примеры перио­дических функций: y=sin(x); y=cos(x);

(для них Т=2p); y=tg(x); y=ctg(x) (для них Т=p).

Монотонные функции. Функция y=f(x) называется возрастаю­щей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если х₁< x₂ то f(x₁) < f(x₂).

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если x₁ < x₂, то f(x₁) > f(x₂).

Как возрастающие, так и убывающие функции называются мо­нотонными функциями.

Асимптоты. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной фун­кции при стремлении аргумента к бесконечности или к некоторому числу а (случай вертикальной асимптоты). Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Ограниченные функции. Функция f(х) называется ограничен­ной сверху (снизу), если существует такое число М, что для всех х из области определения f(x) < М (f(х) > М).

Функция называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для всех х из области определения |f(х)| < М.

Обратная функция и ее график. Дана функция y=f(x). Выра­зим х как некоторую функцию от у: х=j(у), т.е. представим у как аргумент; х – как функцию. Тогда функция х=j(у) называется об­ратной по отношению к функции у=f(x), если при подстановке её вместо аргумента f получаем тождественное равенство: y=f(j(y)). Равенство функций называется тождественным, если оно спра­ведливо при всех значениях аргумента из области определения.

Примеры:

1. Дана функция у = x/3 + 1. Разрешим ее относительно x.Функция х=3у – 3 будет обратной по отношению к функ­ции у.

2. Дана функция у = x² (при х £ 0). х= –Ö у – обратная функция.

Отметим, что область определения и область изменения функ­ции у=f(х) и функции, обратной к ней, меняются ролями. Всегда ли существует обратная функция? В этом случае имеет место следую­щая важная теорема.

Обратная функция существует при а £ х £ b, если функция f(х) монотонно возрастает или монотонно убывает в интервале [а, b].

Сложная функция. Функция, заданная в виде у=f(g(x)), назы­вается сложной или суперпозицией функций g и f. Сложную функцию часто записывают в виде у=f(u), где и = g(x). При этом аргумент х называют независимой переменной, а и – про­межуточным аргументом.

Неявная функция. Функция, заданная в виде уравнения F(x, y) = 0, не разрешенном относительно у, называется неявной функцией х.

Определения.

Бесконечно малые величины – это очень важный класс переменных величин, играющий первостепен­ную роль в высшей математике. Переменная величина называется бесконечно малой в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично приближается (стремится) к нулю. Например, при рассмотрении последовательности 1, 1/2, 1/3, ... общий ее член а_п= 1/п в процессе увеличения номера п =1, 2, 3, ... является бесконечно малой дискретной величиной. Это выражается такими словами: для любого заданного постоянного e > 0 в ходе развития процесса должен найтись момент (т.е. такой номер N), начиная с которого (т.е. при п > N) всегда будет |а_п| < e. При этом нет надобности всегда такой момент фактически точно указывать: доста­точно иметь уверенность, что он когда-либо наступит. Таким образом, бесконечно малая величина в начале своего изменения может быть вовсе не малой: существенно лишь, что она в ходе развития процесса становится как угодно малой (конечно, подразумевается, по абсолют­ной величине).

Переменная величина х назы­вается бесконечно большой в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично возрастает по абсолютной величине; тогда пишут |x|®¥. Бесконечно большая величина может быть положительной (х ®¥ , иногда пишут x® +¥ ), отрицательной (х® –¥ ), но может также и менять знак: например, величина x_п=(–2)^п при воз­растании номера n принимает значения –2, 4, –8, 16, .... т. е. является бесконечно большой.

Отметим некоторые простые свойства бесконечно малых и бесконечно больших.

· Вели­чина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой, а величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

· Сумма или разность двух бесконечно малых есть также величина бесконечно малая.

· Сумма бесконечно большой величины и величины ограниченной является величиной бесконечно большой.

· Сумма двух бесконечно больших одинакового знака есть также бесконечно большая. В отличие от этого сумма двух бесконечно больших противоположного знака может и не быть бес­конечно большой, бесконечности могут «скомпенсироваться».

· Произведение двух бесконечно малых (больших) есть величина бесконечно малая (большая). Более того, произведение бесконечно малой на величину ограниченную есть величина бесконечно малая, соответственно, произведение бесконечно большой на величину, большую по абсолютному значению некоторой положительной постоян­ной, есть величина бесконечно большая.

· В то же время частное от деления двух бесконечно больших, подобно частному от деления двух бесконечно малых, есть неопределенность. Это записывается так

Примеры раскрытия подобных неопределенностей приведены в 2.2.3.

Говорят, что переменная величина х в некотором процессе стремится к конечному пределу а, если величина а постоян­ная и х в этом процессе безгранично приближается к а. Тогда пишут

х®а или lim x=a

(lim – от латинского «limes», что значит «предел»).

Таким образом, конечным пределом переменной величины, если он имеется, служит величина постоянная.

Согласно данному определению бесконечно малые величины – это величины, стремящиеся к нулю, т.е. имеющие пределом нуль. Бес­конечно же большие величины конечного предела не имеют.

Сказать «х безгранично приближается к а» – это все равно, что сказать «разность между х и а безгранично приближается к нулю», т.е. х–а есть величина бесконечно малая.

Рассмотрим функцию . Выбирая достаточно близкое к 3, 5 можно добиться, чтобы значение у сколь угодно мало отличалось от 8, 25 или говорят, что стремится к 8, 25 при стремлении к 3, 5.

Число А называют пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется , что при . Это пишется так

Причем а может быть как (постоянная), так и 0 (бесконечно малая) или (бесконечно большая). Аналогично А может быть , 0, .

Если х < а и х®а, то употребляют запись х®а-0 (х стремится к а слева); если х > а и х®а – запись х®а+0 (х стремится к а справа). Числа f(a-0)= и f(a+0)= называются соответственно левым и правым пределом функции f(х) в точке а.

Свойства пределов.

Если существуют и , то

1) ;

2) ;

3) (при ).

4) (заменой х на можно добиться, чтобы аргумент стремился к 0)

или

Примеры.

Найти пределы функции:

2.2.1..

Так как , то числитель дроби стремиться к числу , а знаменатель – к числу . Следовательно, .

2.2.2.

Здесь числитель и знаменатель при стремятся к нулю (неопределенность вида 0/0). Нужно преобразовывать. Например, разложим на множители числитель и знаменатель. Получим . При дробь стремится к числу . Итак, .

Замечание: Пусть – числа, – может быть: число,

а). ;

б). (бесконечно малое);

в). (бесконечно большое);

г). или получим неопределенности, которые необходимо раскрыть для нахождения предела.

2.2.3. .

Здесь имеет место неопределённость вида . Умножим и разделим данное выражение на :

2.2.4. .

Это – неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т.е. на : .

2.2.5.

При и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Получаем неопределённость вида . Умножение на сопряженные дает опять неопределённость. Воспользуемся правилом Лопиталя.

Правило Лопиталя.

, где производные функций (См. раздел «2.3. Производные»).

, а . Таким образом получим

При нахождении пределов функций часто используются замечательные пределы:

Первый замечательный предел ;

Второй замечательный предел ;

(См. свойство пределов 4).

Используя замечательные пределы можно вывести следующие равенства:

; ; ; .

2.2.6. .

Преобразуем дробь , а . Воспользуемся первым замечательным пределом:

2.2.7. .

Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:

.

Таким образом, при данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности. Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим

.

Так как при , то .

Учитывая, что , находим .

2.2.8. .

Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на х:

и рассмотрим пределы в нуле числителя и знаменателя получившейся дроби:

;

.

В итоге получим .

 

 

Тема 2.3. Производная

Определение.

Производная функции – одно из фундаментальных понятий математического анализа, позволяющее решать широкий круг задач из различных областей научного знания. Такие, например, широко используемые понятия, как скорость и ускорение, на языке математики представляются с помощью производных.

В экономической теории и практике производная является темпом изменения анализируемой величины. Так, если рассматривается зависимость дохода от возможных объемов инвестирования, то производная покажет прирост доходов при изменении объемов инвестиций на единицу. В других задачах позволяет ответить на вопрос:

· В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин?

· Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию?

· В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников?

Кроме того, аппарат производных используется для нахождения наилучших или оптимальных значений того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный объем выпуска, минимальные издержки и т.д.

Пусть и – значения аргумента, а и –соответствующие значения функции . Разность называется приращением аргумента, а разность – приращением функции на отрезке .

Производной от функции по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

, или (производная обозначается также ).

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, т.е. . Производная есть скорость изменения функции в точке х. Предельные величины в экономике (предельные затраты, предельная выручка, предельная прибыль, предельная полезность) – это производные соответствующих функций.

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Формулы дифференцирования основных функций:

1. . ( )	11.
2. .	12.
3.	13.
4.	14.
5.	15.
6.	16.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.

Высшие производные.

Пусть f '(x) – производная функции f(x). Функция f '(x) называется также первой производной. Производная от f'(х) называется второй производной функции f(x) и обозначается f" (x). Вообще, n-й производной от функции f(x) называется производная от ее (п – 1)-й производной: f⁽ⁿ⁾(х) =(f^(n-1)(х))'. Говорят также, f⁽ⁿ⁾(х) – это производная порядка п от функции f(x).

Дифференциал.

Дифференциалом функции f(x) в точке (обозначается dy или df( )) называется выражение dy =f '( )Dх, где Dх небольшое приращение аргумента. Таким образом, dy представляет собой краткосрочный прогноз приращения функции f(x) в точке в предположении, что скорость изменения функции неизменна и составляет f '( ).Дифференциал используется для приближенных вычислений функции.

Примеры.

Найти производную функции:

Пример1.3.1. : .

Пример 2.3.2. : .

Функция представляет собой частное двух функций. Её производная по правилу дифференцирования частного равна:

Выражение есть произведение двух функций и . Применяя правило дифференцирования произведения, имеем:

Производная . Функция есть сложная функция, поэтому её производная равна:

.

Аналогично .

Собирая все результаты, получим:

Пример 2.3.3. : .

Функция представляет собой произведение двух функций: и .

В свою очередь, каждая из этих функций есть сложная функция т.е.

В итоге получим:

Пример 2.3.4. : .

Данная функция сложная.

Пример 2.3.5.Вычислить приближенное значение функции в точке .

Если приращение аргумента достаточно мало по абсолютной величине, то приращение функции приближенно равно дифференциалу функции . Поэтому справедлива формула:

. (2.3.1)

Находим производную функции и вычисляем её значение в точке .

Используя формулу (2.3.1), получим: .

Пример 2.3.6. Найти вторую производную функции : .

Чтобы найти вторую производную необходимо найти первую производную, а от получившегося выражения найти ещё одну производную.

Эластичность и ее свойства.

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

123456Следующая ⇒

Поделиться: