Функции в экономическом моделировании

а) Функция потребления и линия бюджетного ограничения.

В теории потребительского спроса на два блага х и у (к примеру, исследуемое х и все остальные у) предпочтения потребителя описы­ваются кривой безразличия U(x, y) = U, a бюджетное ограничение (расходы потребителя не более его дохода) в случае, когда потребитель тра­тит весь свой доход на рассматриваемые блага: хр_х+ ур_у = I, где I – доход потребителя, а р_х и р_y – цены благ х и у соответственно. Для того, чтобы построить графики этих неявно заданных функций у(х)в системе координат, где по оси абсцисс отложена величина блага х, а по оси ординат – у, нужно выразить в явном виде величину у как функцию х для обеих зависимостей. Сделаем это для простейшей функции полезности U(x, y)=xy. Для уровня полезности (благосостояния) U₀ и дохода I получаем следующие функции:

Графиком первой из этих функций (кривой безразличия) является гипербола, а графиком второй (бюджетного ограничения) – прямая линия, имеющая отрицательный наклон, равный по абсолютной величине относительной цене блага х и точку пересечения с осью ординат I/р_y, соответствующую количеству блага у, которое можно приобрести по цене р_y, если потратить на него весь доход I (построить график самостоятельно).

б) Кривые спроса и предложения. Другим примером функций в экономике служат функции спроса и предложения Q(q), выражающие связь цены блага q и величины спроса или предложения блага Q при постоянных вкусах потребителей, ценах на другие блага и других параметрах. Пример графика линейной функции спроса приводился в самом начале главы. Аналогично строится и график функции предложения, но в отличие от функции спроса он отражает положительную связь переменных (D(q) – спрос, S(q) – предложение, рис. 2.1.6).

Q

q

Рис. 2.1.6

 

в) Зависимости величины спроса от дохода.

В модели потребительского спроса используются также функ­ции Торнквиста, моделирующие связь между величиной доходаIи величиной спроса потребителей х на:

а) малоценныетовары

б) товары первой необходимости

в) товары второй необходимости

г) предметы роскоши Соответствующие им графи­ки приведены на рис. 2.1.7.

Рис. 2.1.7

г) Функции зависимости издержек и дохода от объема производ­ства.

Рассмотрим функции издержек C(q) и дохода фирмы R(q) = qp(q) в зависимости от объема произ­водства q. Поведение функции дохода определяется функцией спроса p(q), рассмотренной выше. Поэтому рассмотрим более подробно по­ведение функции издержек. В типичном случае издержки фирмы велики при небольшом объеме производства q и вначале растут быстрее, чем доход. С увеличением объема производства скорость роста издержек уменьшается, и в какой-то момент они сравнивают­ся с доходом, и фирма начинает получать прибыль. При увеличении объема производства прибыль увеличивается, достигая максимума при оптимальном значении q. При дальнейшем увеличении объема производства издержки снова начинают расти быстрее дохода (исчерпаны эффективные ресурсы, нужны дополнительные помеще­ния, сырье, квалифициро­ванная рабочая сила) и прибыль фирмы умень­шается, достигая отрица­тельных значений при до­статочно больших объемах производства. Им, например, могут соответствовать функции R(q) = aq – bq², C(q)=cq – dq² + eq³. Постройте графики функций дохода, издержек и прибыли.

 

 

Тема 2.2. Пределы

Определения.

Бесконечно малые величины – это очень важный класс переменных величин, играющий первостепен­ную роль в высшей математике. Переменная величина называется бесконечно малой в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично приближается (стремится) к нулю. Например, при рассмотрении последовательности 1, 1/2, 1/3, ... общий ее член а_п= 1/п в процессе увеличения номера п =1, 2, 3, ... является бесконечно малой дискретной величиной. Это выражается такими словами: для любого заданного постоянного e > 0 в ходе развития процесса должен найтись момент (т.е. такой номер N), начиная с которого (т.е. при п > N) всегда будет |а_п| < e. При этом нет надобности всегда такой момент фактически точно указывать: доста­точно иметь уверенность, что он когда-либо наступит. Таким образом, бесконечно малая величина в начале своего изменения может быть вовсе не малой: существенно лишь, что она в ходе развития процесса становится как угодно малой (конечно, подразумевается, по абсолют­ной величине).

Переменная величина х назы­вается бесконечно большой в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично возрастает по абсолютной величине; тогда пишут |x|®¥. Бесконечно большая величина может быть положительной (х ®¥ , иногда пишут x® +¥ ), отрицательной (х® –¥ ), но может также и менять знак: например, величина x_п=(–2)^п при воз­растании номера n принимает значения –2, 4, –8, 16, .... т. е. является бесконечно большой.

Отметим некоторые простые свойства бесконечно малых и бесконечно больших.

· Вели­чина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой, а величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

· Сумма или разность двух бесконечно малых есть также величина бесконечно малая.

· Сумма бесконечно большой величины и величины ограниченной является величиной бесконечно большой.

· Сумма двух бесконечно больших одинакового знака есть также бесконечно большая. В отличие от этого сумма двух бесконечно больших противоположного знака может и не быть бес­конечно большой, бесконечности могут «скомпенсироваться».

· Произведение двух бесконечно малых (больших) есть величина бесконечно малая (большая). Более того, произведение бесконечно малой на величину ограниченную есть величина бесконечно малая, соответственно, произведение бесконечно большой на величину, большую по абсолютному значению некоторой положительной постоян­ной, есть величина бесконечно большая.

· В то же время частное от деления двух бесконечно больших, подобно частному от деления двух бесконечно малых, есть неопределенность. Это записывается так

Примеры раскрытия подобных неопределенностей приведены в 2.2.3.

Говорят, что переменная величина х в некотором процессе стремится к конечному пределу а, если величина а постоян­ная и х в этом процессе безгранично приближается к а. Тогда пишут

х®а или lim x=a

(lim – от латинского «limes», что значит «предел»).

Таким образом, конечным пределом переменной величины, если он имеется, служит величина постоянная.

Согласно данному определению бесконечно малые величины – это величины, стремящиеся к нулю, т.е. имеющие пределом нуль. Бес­конечно же большие величины конечного предела не имеют.

Сказать «х безгранично приближается к а» – это все равно, что сказать «разность между х и а безгранично приближается к нулю», т.е. х–а есть величина бесконечно малая.

Рассмотрим функцию . Выбирая достаточно близкое к 3, 5 можно добиться, чтобы значение у сколь угодно мало отличалось от 8, 25 или говорят, что стремится к 8, 25 при стремлении к 3, 5.

Число А называют пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется , что при . Это пишется так

Причем а может быть как (постоянная), так и 0 (бесконечно малая) или (бесконечно большая). Аналогично А может быть , 0, .

Если х < а и х®а, то употребляют запись х®а-0 (х стремится к а слева); если х > а и х®а – запись х®а+0 (х стремится к а справа). Числа f(a-0)= и f(a+0)= называются соответственно левым и правым пределом функции f(х) в точке а.

Свойства пределов.

Если существуют и , то

1) ;

2) ;

3) (при ).

4) (заменой х на можно добиться, чтобы аргумент стремился к 0)

или

Примеры.

Найти пределы функции:

2.2.1..

Так как , то числитель дроби стремиться к числу , а знаменатель – к числу . Следовательно, .

2.2.2.

Здесь числитель и знаменатель при стремятся к нулю (неопределенность вида 0/0). Нужно преобразовывать. Например, разложим на множители числитель и знаменатель. Получим . При дробь стремится к числу . Итак, .

Замечание: Пусть – числа, – может быть: число,

а). ;

б). (бесконечно малое);

в). (бесконечно большое);

г). или получим неопределенности, которые необходимо раскрыть для нахождения предела.

2.2.3. .

Здесь имеет место неопределённость вида . Умножим и разделим данное выражение на :

2.2.4. .

Это – неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т.е. на : .

2.2.5.

При и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Получаем неопределённость вида . Умножение на сопряженные дает опять неопределённость. Воспользуемся правилом Лопиталя.

Правило Лопиталя.

, где производные функций (См. раздел «2.3. Производные»).

, а . Таким образом получим

При нахождении пределов функций часто используются замечательные пределы:

Первый замечательный предел ;

Второй замечательный предел ;

(См. свойство пределов 4).

Используя замечательные пределы можно вывести следующие равенства:

; ; ; .

2.2.6. .

Преобразуем дробь , а . Воспользуемся первым замечательным пределом:

2.2.7. .

Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:

.

Таким образом, при данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности. Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим

.

Так как при , то .

Учитывая, что , находим .

2.2.8. .

Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на х:

и рассмотрим пределы в нуле числителя и знаменателя получившейся дроби:

;

.

В итоге получим .

 

 

Тема 2.3. Производная

Определение.

Производная функции – одно из фундаментальных понятий математического анализа, позволяющее решать широкий круг задач из различных областей научного знания. Такие, например, широко используемые понятия, как скорость и ускорение, на языке математики представляются с помощью производных.

В экономической теории и практике производная является темпом изменения анализируемой величины. Так, если рассматривается зависимость дохода от возможных объемов инвестирования, то производная покажет прирост доходов при изменении объемов инвестиций на единицу. В других задачах позволяет ответить на вопрос:

· В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин?

· Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию?

· В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников?

Кроме того, аппарат производных используется для нахождения наилучших или оптимальных значений того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный объем выпуска, минимальные издержки и т.д.

Пусть и – значения аргумента, а и –соответствующие значения функции . Разность называется приращением аргумента, а разность – приращением функции на отрезке .

Производной от функции по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

, или (производная обозначается также ).

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, т.е. . Производная есть скорость изменения функции в точке х. Предельные величины в экономике (предельные затраты, предельная выручка, предельная прибыль, предельная полезность) – это производные соответствующих функций.

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Формулы дифференцирования основных функций:

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: