Предельная полезность и предельная норма замещения

Основным понятием теории потребления являетсяфункция полезности U(x, у). Эта функция выражает меру полезности на­бора (х, у), где х – количество товара X, а у – количество товара Y. Чувствительность набора (х, у) к незначительному изменению х при фиксированном у называетсяпредельной полезностью х и опре­деляется как частная производная U'_х. Аналогично предельная полезность у определяется как U'_у. Чаще всего линии уровня функции полезности (их еще называют кривыми безразличия) являются графиками убывающих функций. Поэтому мы будем считать, что для точек А(х₀, у₀) и В(х₀ + Dх, у₀ + Dу), расположенных на одной линии уровня приращения, Dх> 0, а Dу < 0. (рис. 2.5.1).

В этом случае гово­рят, что Dх единиц первого товара замещается на (–Dу) единиц второго товара (имеется в виду переход из В в А).

Предельной нормой замещения х на у в точке А называется предел отношения (–Dу) /Dх, когда точка В стремится к А, оставаясь на одной с А линии уровня функции U(x, у). Предельная норма замещения обозначается MRS_ху или MRS_ху(А), если необходимо явно указать ее зависимость от точки А.

Предельная норма замещения одного товара дру­гим равна отношению их предельных полезностей.

(2.5.3)

Пример 2.5.3 . Найти предельную норму замещения х на у для функции полезности U(x, y) = ln х + ln y в точках: а) (3; 12), б) (2; 1).

Решение. а) По формуле (2.5.3) получаем

поэтому MRS_ху(3; 12) = 4.

б). Аналогично находим MRS_ху(2; 1) = 0, 5.

2.5.4. Эластичность функции нескольких переменных

В 2.3 было введено понятие эластичности функции одной переменной. Аналогично вводится понятие эластичности фун­кции нескольких переменных. Пусть, например, z =f(x, у) – функция двух переменных.

Е_zx –коэффициент эластичности z по х показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении х на один процент. Е_zу – коэффициент эластичности z по у показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении y на один процент.

Из определения вытекают следующие формулы:

(2.5.4)

Пример 2.5.4. Найти коэффициенты эластичности по х и по у функции z= x^y в точке (2; 3).

Согласно формулам (2.5.4) имеем

Е_zx(х, у) = x(lnz)'_x = x(ylnx)'_x= у,

E_zy(x, y) = y(lnz)'_y = y(ylnx)'_y =уlnх.

Следовательно, Е_zx(2, 3) =3, Е_zy(2; 3) = 3ln 2.

Формулы (2.5.4) полностью аналогичны формулам, которые использовались при выводе свойств 1–3 эластичности в 2.3.6. По­этому первые три свойства эластичности справедливы и в случае функции нескольких переменных. Третье и четвертое свойства также сохраняются, но формы их записи становятся сложнее. Ос­тановимся подробнее на этих свойствах.

Свойство 4'. Для функций z =f(x, у), х = j(t) и у = y(t) эластичность z no t в точке t₀ находится по формуле

Е_zt = Е_zxЕ_xt + Е_zyЕ_yt, (2.5.5)

где Е_zx, Е_zy – эластичности z по х и у в точке (j(t₀), y(t₀)), а Е_xt, Е_yt – эластичности х и у по t в точке t₀.

Для любой пары функций у₁=f₁(х₁, х₂), y₂=f₂(x₁, x₂) имеем 4 коэффициента эластичности, которые запишем в матрицу размера 2× 2:

Элементы этой матрицы, расположенные вне главной диагонали, называютсяперекрестными коэффициентами эластичности.

Свойство 5' . Пусть х₁=g₁(y₁, y₂), x₂=g₂(y₁, y₂) – пара обратных функций для функций у₁=f₁(х₁, х₂), y₂=f₂(x₁, x₂). Тогда матрица коэффициентов эластичности Е_xy является об­ратной к матрице Е_yx.

Коэффициенты эластичности используются при анализе функ­ций спроса при любом числе различных товаров. В качестве при­мера рассмотрим случай с двумя товарами. Пусть х_i – количе­ство i-го товара, р_i – его цена (i= 1, 2). Для пары дополняющих товаров (например, чай и сахар) или заменяющих товаров (напри­мер, масло и маргарин) естественно считать, что спрос на каж­дый товар зависит от обеих цен р₁ и р₂:

х₁=D₁(p₁, p₂), x₂=D₂(p₁, p₂) (2.5.6)

Предположим, что не только цены определяют спрос, но и, напро­тив, спрос определяет цены. Иными словами, будем считать, что систему (2.5.6) можно разрешить относительно р₁ и р₂ следую­щем виде:

p₁=p₁(х₁, х₂), p₂=p₂(x₁, x₂). (2.5.7)

Системы (2.5.6) и (2.5.7) определяют две пары взаимно обратных функций. Согласно свойству 5' матрица коэффициентов эластич­ности цен по спросу может быть найдена как обратная матрица коэффициентов эластич­ности спроса по цене.

Пример 2.5.5. Пусть х₁=10p₁^-1.2 p₂^0.8, x₂=12p₁^-0.9p₂^-0.7. (x₁ – маргарин, x₂ – масло). Коэффициенты эластичности составят матрицу

Спрос на маргарин неэластичный, на масло – эластичный, перекрестные коэффициенты эластичности показывают, что маргарин заменяет масло – повышение цены на масло на 1% ведет к повышению спроса на маргарин на 0.8%. Чтобы получить коэффициенты эластичности цены по спросу Е_ху, достаточно найти обратную матрицу Е_уx^-1.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: