Частные производные высших порядков

Частные производные f_х'(x, y) и f_y'(x, y) называются частными производнымипервого порядка. Частные производные от них называются частными производнымивторого порядка (или вторыми частными производными) от функции f(x, y). Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производнымитретьего поряд­ка (или третьими частными производными) и т.д.

Если первая производная функции z = f(x, у) была взята, ска­жем, по х, то ее частные производные в точке (x₀, y₀) обозначаются так:

или

Аналогичные обозначения используются и для дру­гих частных производных.

Например, и т.д.

Частные производные второго поряд­ка и называются смешанными частными производ­ными.

Пример 2.5.7 . Найти все частные производные второго по­рядка от функции

z = х³ + у² + 5x²y.

Решение.

= 3х²+10ху, = 2у + 5х².

Следовательно, = 6х+10у, =2, = =10х.

В примере смешанные частные производные от функции z совпадают. Это не случайно, так как если производные и существуют в некоторой окрестности точки М и непре­рывны в самой точке М, то имеет место равенство

(М)= (М). (2.5.10)

2.5.7. Локальный экстремум функции двух переменных

Пусть функция f(x, у) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки М₀(x₀, y₀).

Точка М₀ называетсяточкой локаль­ного максимума (минимума ) функции f(x, у), если существу­ет такая окрестность точки М₀, в которой для любой точки М выполняется неравенство f(M) £ f(М₀) (f(M) ³ f(М₀)).

Точки локального максимума и локального минимума назы­ваютсяточками локального экстремума или простоточками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если функция f(x, у) имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума М₀, то f_х'(М₀)=f_y'(М₀)=0.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки М₀, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль. Как и в случае функции одной переменной, такие точки называютсястационарными.

Пример 2.5.8 . Найти стационарные точки функции z=x³–3x+y⁴ –2у².

Имеем = x² – 3 = 0, = 4у³ – 4у = 0.

Из первого уравнения находим х = ± 1. Из второго находим у = 0, ±1. Следовательно, имеется шесть стационарных точек: (1; 0), (1; 1), (1; –1), (–1; 0),

(–1; 1) и (–1; –1).

Но не каждая стационарная точка является точкой экстремума. Например, для функции f(x, у) = х²– у² частные производные первого порядка равны нулю в точке (0; 0), однако эта точка не является точкой локального экстремума.

Достаточные условия экстремума. Пусть функция f(x, у) имеет непрерывные частные производные вто­рого порядка в некоторой окрестности стационарной точки М₀ . Положим D= (М₀) (М₀) –( (М₀) ) ². Тогда:

1) если D > 0, то в точке М₀ функция имеет локальный экстремум, причем при (М₀)< 0 –локальный максимум, при (М₀) > 0 – локальный минимум;

2) если D < 0, то в точке М₀ нет экстремума.

Пример 2.5.9. Исследовать на локальный экстремум функцию

z = х³–3х –(х +1 + arctg y)².

Решение. Найдем стационарные точки, решив систему уравнений

= 3х²– 3 – 2(х +1 + arctg у) = 0,

= –2(х +1 + arctg у)/(1 + у²) = 0.

Из второго уравнения вытекает, что х + 1 + arctg у = 0. Тогда из первого следует, что 3х²– 3 = 0. Откуда х = ±1.

Так кaк |arctg y| < p/2 < 2, то (х+1+arctg у)¹ 0 в случае х = 1. Если же х = –1, то если х + 1 + arctg у = 0, то и у = 0. Итак, имеется только одна стационар­ная точка М(–1; 0). Находим частные производные второго по­рядка: (M) = –8;

(M) = –2; (М) = –2. Поскольку (M) < 0 и D = (– 8) ´ (–2) – (–2)²= 12 > 0, то точка М является точкой локального максимума. Интересно от­метить следующее: несмотря на то, что точка М является един­ственной стационарной точкой всюду дифференцируемой функции z, эта точка не является точкой глобального максимума. Действительно, z(M) = 2, однако существует точки, в которых значение z больше. Например, z(10; 0) = 849 > 2.

2.5.8. Экономические приме­ры, связанные с производственной деятельностью фирм.

Пусть z – количество продукции, выпущенной некоторой фир­мой; х, у – затраты ресурсов двух видов; z=Q(x, у)– дифферен­цируемая функция, устанавливающая связь х, у и z. Предполо­жим, что величины х, у, z заданы в натуральных единицах, и р_x, р_y, р_z – соответствующие этим единицам постоянные цены. Тогда выручка (валовой доход) будет R(x, у) =р_zQ(x, у), а функция при­были запишется следующим образом:

p(x, y)= R(x, у) – р_x x – р_y y. (2.5.11)

Пусть z* – оптимальный (с точки зрения прибыли) выпуск про­дукции; х*, у* – соответствующие затраты ресурсов. Тогда точка М(х*, у*) является точкой локального максимума функ­ции p(х, у). Согласно необходимому признаку локального экстремума, в точке М обра­щаются в нуль частные производные первого порядка: p¢ _x(М)= R¢ _x(М) – р_x = 0, p¢ _у(М) = R¢ _у(М) – р_у = 0,

или R¢ _x(М) = р_x, R¢ _у(М) = р_у.

Вывод: в точке локального максимума прибыли предель­ная выручка от каждого ресурса совпадает с его ценой. Этот вывод сохраняется и в более общем случае, когда цена р_z зависит от объема выручки: р_z=р_z(Q).

Рассмотрим теперь фирму-монополию, которая продает свою продукцию на двух независимых рынках. Пусть р_i, q_i – соответ­ственно цена и количество продукции, проданной монополией на i-м рынке (i =1, 2). Из независимости рынков вытекает, что цена р₁ не зависит от q₂, т.е. р₁ = р₁(q₁). Аналогично р₂=p₂(q₂). Пусть С(q) – дифференцируемая функция издержек. Тогда функция при­были имеет вид p= р₁q₁ + р₂q₂ –С(q₁+ q₂).

В точке локального максимума прибыли имеем

Отсюда получаем отношения цен:

(2.5.12)

Так как рынки по предложению независимы, то, исполь­зуя свойства эластичности функции одной переменной, имеем

Пример 2.5.10. На сколько процентов цена на втором из двух независимых рынков выше, чем на первом, если эластичность спроса на первом рынке (-2), а на втором – (-1, 5)?

Решение. Используя формулу (2.5.12), находим

Следовательно, на втором рынке цена на 50% больше.

Условный экстремум

Пусть функция f(х₁, ...., х_n) от п переменных определена в об­ласти D Ì Rⁿ и пусть X – некоторое подмножество в D.

Точка Р₀Î Х называется точкой условного локального максимума (минимума ) функции f, если для всех достаточно близких к ней точек РÎ Х выполняется неравенство f(P)£ f(Р₀) (f(P)³ f(Р₀)). (2.5.13)

Точки условного локального максимума и точки условного локального минимума называются точкамиусловного ло­кального экстремума или просто точкамиусловного экст­ремума.

Отличие условного экстремума от обычного состоит в том, что неравенство (2.5.13) должно выполняться не для всех вообще точек Р, достаточно близких к Р₀, а только для тех достаточно близких точек Р, которые принадлежат множеству X, – в этом и состоит условность экстремума.

Множество Х обычно задается с помощью некоторой системы уравнений и нера­венств. Ограничимся пока случаем уравнений. Итак, пусть Х задано системой

(2.5.14)

где g₁,..., g_s – некоторые функции п переменных.

Уравнения (2.5.14) называютсяобычно уравнениями связи, так как они связывают значения переменных х₁, ..., х_n. Если бы переменные не были связаны, то эта задача решалась бы путем исследования ее стационарных точек. Оказывается, что и при наличии связей задача также сводится к поиску стационар­ных точек. Однако в данном случае точкам условного экстрему­ма исходной функции f соответствуют стационарные точки дру­гой функции.

Необходимое условие условного экстрему­ма. Пусть функции f и g₁,..., g_s определены и имеют непре­рывные частные производные в окрестности точки Р₀. Тогда, если Р₀ – точка условного экст­ремума функции f при условиях (2.5.14), то найдутся числа l₁,..., l_s, для которых Р₀ – стационарнаяточка функции L(x₁,..., x_n) = f(x₁,..., x_n)+ l₁g₁(x₁,..., x_n)+...+ l_sg_s(x₁,..., x_n).

Функция L называетсяфункцией Лагранжа, а числа l₁,..., l_s – множителями Лагранжа.

Пример 2.5.11. Найти наибольшее значение функции f= х +у+ z при условии

9х²+4y²+z² =36. (2.5.15)

Решение. Запишем условие (2.5.15) в виде уравнения g(x, у, z) = 0, где

g(x, y, z)=36–9x²–4y² – z². Таким образом, функция Лагранжа будет

L(x, y, z)=x+y+z+l(36 –9x²– 4у² – z²).

Приравнивая нулю ее частные производные, получим систему уравнений, задающую стационарные точки:

1 – 18lх=0,

1 – 8lу=0,

1 – 2lz = 0.

Следовательно, координаты стационарных точек следующим об­разом выражаются через множитель Лагранжа: x=1/18l, y=1/8l, z=1/2l.Подставив эти выражения в уравнение связи (2.5.15), найдем зна­чения множителя Лагранжа l = ±7/72. Отсюда получим две ста­ционарные точки:

и .

Поскольку f(P₁) = 7 > f(P₂)= –7, то наибольшее зна­чение будет f(P₁)=7.

Пример 2.5.12. Пусть U – полезность набора товаров, со­стоящего из х единиц первого товара, у – второго и z единиц тре­тьего товара. Найти стоимость наиболее дешевого набора това­ров с заданным значением полезности U=10000, если цена перво­го товара – 4, второго – 25, третьего – 20, а функция полезности имеет вид U= xyz².

Решение. S = 4х + 25у + 20z – стоимость набора,

уравнение связи 10000 – xyz² =0.

Функция Лагранжа имеет вид

L = 4х + 25у + 20z + l(l0000 – хуz²).

Приравнивая нулю частные производные, получаем систему уравнений для ее стационарных точек

4 –lyz² = 0,

25 – lxz=0,

20 –2lxyz=0.

С учетом уравнения связи из этой системы находим

х = 2500l, у = 400l, z = 1000l.

Подставив данные выражения в уравнение xyz² = 10000, най­дем l = 0, 01. Отсюда Р* = (25; 4; 10). Поэтому стоимость самого дешевого набора S(P*) будет 4 ´ 25 + 25 ´ 4 + 20 ´ 10 = 400.

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: