Основные правила дифференцирования. Пусть С – постоянная, – функции, имеющие производные.

Пусть С – постоянная, – функции, имеющие производные.

Тогда:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ;

6) если , т.е. , где функции и имеют производные, то . (правило дифференцирования сложной функции).

Высшие производные.

Пусть f '(x) – производная функции f(x). Функция f '(x) называется также первой производной. Производная от f'(х) называется второй производной функции f(x) и обозначается f" (x). Вообще, n-й производной от функции f(x) называется производная от ее (п – 1)-й производной: f⁽ⁿ⁾(х) =(f^(n-1)(х))'. Говорят также, f⁽ⁿ⁾(х) – это производная порядка п от функции f(x).

Дифференциал.

Дифференциалом функции f(x) в точке (обозначается dy или df( )) называется выражение dy =f '( )Dх, где Dх небольшое приращение аргумента. Таким образом, dy представляет собой краткосрочный прогноз приращения функции f(x) в точке в предположении, что скорость изменения функции неизменна и составляет f '( ).Дифференциал используется для приближенных вычислений функции.

Примеры.

Найти производную функции:

Пример1.3.1. : .

Пример 2.3.2. : .

Функция представляет собой частное двух функций. Её производная по правилу дифференцирования частного равна:

Выражение есть произведение двух функций и . Применяя правило дифференцирования произведения, имеем:

Производная . Функция есть сложная функция, поэтому её производная равна:

.

Аналогично .

Собирая все результаты, получим:

Пример 2.3.3. : .

Функция представляет собой произведение двух функций: и .

В свою очередь, каждая из этих функций есть сложная функция т.е.

В итоге получим:

Пример 2.3.4. : .

Данная функция сложная.

Пример 2.3.5.Вычислить приближенное значение функции в точке .

Если приращение аргумента достаточно мало по абсолютной величине, то приращение функции приближенно равно дифференциалу функции . Поэтому справедлива формула:

. (2.3.1)

Находим производную функции и вычисляем её значение в точке .

Используя формулу (2.3.1), получим: .

Пример 2.3.6. Найти вторую производную функции : .

Чтобы найти вторую производную необходимо найти первую производную, а от получившегося выражения найти ещё одну производную.

Эластичность и ее свойства.

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

Эластичностью функции у = f(x) в точке х₀ называется следующий предел

Если из контекста ясно, в какой точке определяется эластичность, и какая переменная является независимой, то в обозначении эластичности могут опускаться отдельные символы. Эластичность Е_у – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Если, например, х увеличится на один процент, то у увеличивается (приближенно) на Е_у процентов.

Для вычисления эластичности используют несколько эквивалентных формул (если существует конечная производная функции у =f(x) в точке х₀):

Рассмотрим теперь ряд свойств эластичности.

1. Эластичность суммы у=у₁+…+у_п положительных функций у_i удовлетворяет соотношению Е_min £ Е_у £ Е_max, где Е_min(Е_max) – это минимальная (максимальная) эластичность функций у_i.

2. Эластичность произведения функций u=u(x) и v=v(x) равна сумме эластичностей функций u и v: Е_uv = Е_u +Е_v.

3. Эластичность частного функций u=u(x) и v=v(x) равна разности эластичностей функций u и v: Е_uv = Е_u – Е_v.

4. Для сложной функции у=f(g(t)) эластичность у по t удовлетворяет равенству Е_уt = Е_уx × Е_xt.

5. Эластичность обратной функции удовлетворяет соотношению Е_ху=Е_ух^-1.

Примеры:

у = х+С,

у=х^а,

Ценовая эластичность спроса. Пусть D=D(p) – спрос (в натуральных единицах) на некоторый товар при цене р. Так как при увеличении цены спрос уменьшается, то эластичность спроса Е_D < 0. Спрос называется эластичным, если Е_D < –1, и неэластичным, если Е_D > –1. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. В этом случае Е_D = 0. В другом крайнем случае, когда самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличивать покупки от нуля до предела своих возможностей, говорят, что спрос являетсясовершенно эластичным. Mожно считать, что для совершенно эластичного спроса Е_D = –¥ .

Если спрос со стороны отдельных покупателей или групп покупателей является эластичным (неэластичным), то и суммарный спрос также является эластичным (неэластичным). Этоутверждение следует из первого свойства эластичности.

Если продавцы обладают достаточными запасами товара, то D = D(p)– это не только количество спрашиваемого товара, но и одновременно количество проданного товара. В этом случае общая выручка всех продавцов R =pD. Находим эластичность выручки по цене:

 

Следовательно, при эластичном спросе Е_R < 0, а при неэластичном спросе Е_R > 0.

Вывод: Если спрос эластичен, то изменение ценывызывает изменение общей выручки в противоположном направлении. Если же спрос неэластичен, то изменение общейвыручки происходит в том же направлении, что и изменение цены.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: