Приведение подобных слагаемых.

Команда Collect (Привести подобные слагаемые) объединяет члены, содержащие одинаковые степени выделенной переменной. Примеры использования команды Collect
приведены на рис, 5.9.

Рис. 5.9. Примеры приведения подобных слагаемых

Коэффициенты полинома.

Многие выражения или части выражения представляются в виде полиномов от
выделенной переменной; коэффициенты полинома могут быть найдены символьным процессором, причем коэффициенты могут быть сложными функциями других переменных. Примеры использования команды Polynomial Coefficients (Коэффициенты полинома) приведены на рис. 5.10.

Рис. 5.10. Примеры нахождения коэффициентов полинома

III. Порядок выполнения работы

В рабочем документе введите выражения вашего варианта и присвойте
им численные значения, как показано в примере рис. 5.1.

Недостаток символьного знака равенства состоит в том, что величины, которым
были ранее присвоены численные значения, сохраняют их и при символьном вычислении, то есть вместо символьного вычисления получается численное.
Достоинство символьного знака равенства состоит в том, что найденное решение
пересчитывается автоматически при изменении выражения или входящих в него

величин и участвует в последующих расчетах.

Решение уравнений

Mathcad дает возможность решить любое алгебраическое, а также многие дифференциальные и интегральные уравнения. Однако часто произвольно («c потолка»)
и взятые дифференциальные и интегральные уравнения и системы уравнений вообще не имеют решения, и Mathcad тут не в силах сотворить чудо.

Для примера возьмем квадратное уравнение и найдем его решение вначале символьно, затем численно.

Cимвольное решение

Для символьного решения уравнения надо выполнить следующую процедуру.

1. Наберите решаемое уравнение и, синим уголком курсора выделите переменную, относительно которой нужно решить уравнение.

2. В главном меню выберите команду Symbolics > Variable > Solve (Символьные вычисления > Переменная > Решить). Появится ответ (рис. 5.1.).

Недостаток использования меню Symbolics состоит в том, что найденное решение не пересчитывается автоматически при изменении выражения или входящих в него величин и не участвует в последующих расчетах.

Достоинством использования меню Symbolics является то, что ранее принятые численные значения величин не учитываются в символьных расчетах.

Объяснения:

X1 и x2 - реальные, скалярные концевые точки интервала, по которому ищется решение уравнения. Начальные значения (init) - значения функции.

F(x) - функция независимой переменной x, содержит исходные уравнения или системы уравнений, ОДУ. Чтобы создать эти уравнения производятся действия аналогичные приведенным на рис 5.1.

Примечания:

Функция root(F(x), x) определена без параметров. Второй параметр h относительно, которого решается уравнение (вместо x) может быть задан отдельно.

Mathcad не может изменить ход решения и вывести большее количество шагов в области изменения решения, но может изменить формат представления результата.

Рис. 5.11. Символьное решение уравнения

 

IV. Выполнение работы.

Выше приведен пример решения задачи методами root и Solve. Решение ищется, в виде аналитического результата, (смотри рис. 5.2.). В пакете Mathcad соответствующие блоки будут выглядеть выше приведенным образом.

Решение заданного уравнения символьно с помощью встроенной функции.

6. Набратьзаданное уравнение согласно варианту преподавателя в рабочем окне программы Mathcad, выполнив пункт 1 пояснений.

7. Оформить решение соответствующими текстовыми комментариями.

8. Отчет представить преподавателю, как в электронном виде, так и письменном скопировав решение в Word.

Численное решение уравнения с помощью встроенной функции root.

Набратьврабочем окне программы Mathcad заданный преподавателем вариант уравнения согласно пояснениям рис. 5.2.

9. Оформить решение соответствующими текстовыми комментариями.

10. Построить двумерный график заданного уравнения

11. Задаться начальными значениями.

12. Найти корни уравнения.

13. Построить двумерный график заданного уравнения

14. Отчет представить преподавателю, как в электронном виде, так и письменном скопировав решение в Word.

Рис.5.12. Символьное решение системы уравнений.

 

V. Ход работы.

17. Ознакомиться с данной инструкцией. Набрать выше приведенный фрагмент программы, ( как шаблон для дальнейших работ),

VI. Содержание отчета

Отчет к лабораторной работе должен включать следующие разделы:

· математическая постановка задачи;

· алгоритм задачи;

· блок-схему алгоритма;

· результат вычисления задачи в среде Mathcad в электронном виде;

· для задач, допускающих получение точного решения аналитическим методом, привести это решение в текстовом поле в среде Mathcad, и сравнить с полученным результатом.

· Привести абсолютную и относительную ошибки!

VII. Контрольные вопросы.

Как решается задача о нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции одной независимой переменной аналитически и в среде Mathcad?

Почему не всегда можно решить задачу аналитически (учитывая использование численных методов) для приближенного решения трансцендентных уравнений F(x) = 0?

Что такое функция “root” и как она работает?

В чем достоинства и недостатки метода “Solve”?

Как будет выглядеть программа реализации поиска минимума?

Если функция определена, но разрывная, в конечном числе точек отрезка [a, b], можно ли применить метод “solve”?

VIII. Задачи для самостоятельного решения.

Предлагается самостоятельно изменить параметр x? Чтобы посмотреть, как изменяется решение.

Измените коэффициенты входных переменных.

IX. Варианты заданий.

Найти решение функции y = f(x) на отрезке [a, b] средствами Mathcad. Сравнить результат с аналитическим значением (решением аналитическим методом), оценить абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Таблица вариантов

(таблица из лаб. Работы № 6, 7)

Назад

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Приближенное решение дифференциальных уравнений первого

порядка методом Эйлера с применением пакета MathCAD

 

(Работа выполняется в компьютерном Классе)

Минимальные системные требования:

80486 (66 МГЦ или быстрее) Pentium

или IBM совместимый компьютер. ОС Windows 98 или выше. По крайней мере, 55 мегабайтов дискового пространства для типичной (заданной по умолчанию) инсталляции.

Цель работы: ознакомление студентов с приближенными методами решения дифференциальных уравнений первого порядкаиприобретение навыков решения дифференциальных уравнений первого порядка в среде MathCAD.

Теоретическая часть.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y ^‘ = f(x, y) (1)

И даны начальные условия

y|_x=x0 = y₀ (2)

Определение точного решения уравнения (1) возможно лишь в отдельных
специальных случаях, поэтому в инженерной практике приходится прибегать
к приближенным методам отыскания решения этого уравнения. Одним из методов приближенного интегрирования дифференциального
уравнения первого порядка является метод Эйлера. Суть этого метода состоит в том, что решение уравнения
(1) ищется на отрезке [a, b] в виде таблицы приближенных значений искомой
функции y = f(x) при дискретных значениях аргумента х. Для этого:

I) Делим отрезок [а, в] на n равных частей точками

x₁, x₂, …, x_n-1, …

 

Полагая x₀ = a, x_n = b, получим n отрезков

[x₀, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], …, [x_n-1, x_n]

Длина отрезка деления h = x_i+1 – x_i - это шагвычислений.
Очевидно

h =

2. Строим формулу для определения приближенного значения функции y = f(x)
в точках деления x_i, т.е. в точках

x₀, x₁, x₂, …, x_n-1, x_nxx

Для этого рассмотрим i – тый отрезок деления [x_i, x_i+1], где i = 1, 2, 3, …, n-1

На этом отрезке заменим интегральную кривую y = y(x)отрезком касательной, проведенной к этой кривой в точке M_i(x_i, y_i). Уравнение касательной в точке x_i будет иметь вид:
у - y_i = y ^'(x - x_i)
или, учитывая равенство (I), получим
у - y_i = f(x_i, y_i)*(x - x_i);

Отсюда:

 

y = y_i + f(x_i, y_i)*(x - x_i) (3)

Поскольку точка N_i+1 лежит на касательной, то ее координаты (x_i+1, y_i+1) удовлетворяют уравнению (3), т.е.

y_i+1 = у_i + f(x_i, y_i)*(x_i+1 - x_i)

или, учитывая, что x_i+1 - x_i = h получим:

y_i+1 = у_i + f(x_i, y_i)*h 4)

Если искомая функция y(x) непрерывна, а h мало, то значение ординаты кривой КМ_i+1 мало отличается от ординаты касательной КN_i+1 и значение ординаты КN_i+1

y_i+1 = у_i + f(x_i, y_i)*h

где i = 1, 2, ..., (n-1)

можно принять за значение функции. Таким образом, по формуле (4), полагая i = 0, найдем y₁:

y₁ = у₀ + f(x₀, y₀)*h y_{1 =} у₀ + ₀

y₁ будет приближенным значением искомой функции в точке x₁. Затем, подставив (x₁, y₁) в формулу (4), найдем

y₂ = у₁ + f(x₁, y₁)*h или y_{2 =} у₁ + ₁

где ₁ = f(x₁, y₁)*h

и так далее, пока не определим y_n.
3. Если построить найденные точки М₁, M₂, ..., M_n и соединить их отрезками прямой, то получим ломаную - приближенное изображение интегральной кривой. Эта ломаная называется ломаной Эйлера

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что при условиях, обеспечивающих существование и единственность решения при неизменном промежутке [а, в] с ростом числа делений n (h 0), последовательность ломаных Эйлера равномерно приближается к интегральной кривой, проходящей через точку ( x₀, y₀), а формулы (4) теоретически могут дать любую точность. Однако применение формул (4) сопровождается интенсивным накапливанием погрешностей: считая y_i приближенным значением функции в точке x_i, мы допускаем ошибку не только за счет приближенного равенства ординат точек на касательной и кривой, но и за счет того, что прадыдущее значение y_i-1 найдено неточно. Поэтому практически трудно достичь высокой точности путем уменьшения шага вычислений. И если требуется большая точность, то пользуются либо модификацией метода Эйлера, либо другими методами.
Порядок выполнения работы:

I. Делим исходный отрезок [а, b] на n равных частей:

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_i < x_i+1 < ... < x_n = b

Находим шаг вычисления

h = (b - b_i)/n

2. Составляем таблицу:

 

3. Заполняем i-ый столбец (если в условии n =10, то номера будут 0; I; 2; 3; ..., 9);
Затем находим x_i = а + h * i и заполняем второй столбец. Третий столбец заполняется постепенно.
Значения y₀ берется из условия у|_x=x0 = y₀. Значения y₁ вычисляется по формуле y₁ = y₀ + ₀ где ₀ = f(x₀, y₀)*h.

При этом предварительно находим f(x₀, y₀), и ₀и заполняем соответствующие столбцы. Затем, зная y₁, Найдем y₂

₁ = f(x₁, y₁)*h y₂ = y₁ + ₁

Замечание. Столбцы 4-ый и 5-ый необходимы для подготовки вычисления f(x_i, y_i). Например, если f(x, y) = cos , то в 4 столбце будет производиться вычисление .

4. Заполнив таблицу, берем M₀(x₀, y₀), M₁(x₁, y₁), ..., M_n(x_n, y_n) и строим их на миллиметровой бумаге. Соединив их звеньями ломаной, получим ломаную кривую Эйлера.
ПРИМЕР (решение с использованием калькулятора):
Найти приближенное решение дифференциального уравнения

у ^' = x + у

удовлетворяющее начальному условию y|_x=0 =1, на отрезке [0, 1] c использованием микрокалькулятора, компьютера.
Берем n =10, делим отрезок [0, 1] на 10 частей. Шаг вычислений

h =(1-0)/10 = 0, 1. Составляем таблицу (см. приложение I.) стр. 7.
Заполняем первый столбец с номерами деления l: i = 0, 1, 2, ..., 10;
затем заполняем второй столбец значениями x₀ = a = 0 x₁ = x₀ +h*2, и т.д., получаем x₀ = 0, x₁ =0, 1, x₂ = 0, 2, ..., x₉ = 0, 9, x₁₀ = 1, 0.
Третий столбец заполняется значениями y_i постепенно, после соответствующих вычислений. Значение y₀, берется из начальных условий

y|_x=0 =1, значит y₀ = 1. Для нахождения y₁, согласно формуле(4), y₁ = y₀ + ₀, вычисляем f(x₀, y₀) в строке с номером 0:

f(x₀, y₀) = x₀ + y₀ = 0 + 1, 0 = 1

Затем находим ₀ = f(x₀, y₀)*h = 1* 0, 1 = 0, 1. Записываем полученные числа в соответствующие столбцы этой строки. Вычисляем значение y₁ = y₀ + ₀ = 1, 1 и записываем его дважды: в последний столбец строки с номером 0 и в третий столбец строки с номером 1 ( в следующую строку). Аналогично вычисляем y₁, y₂, y₃, …, y_n.

5. Строим на миллиметровой бумаге точки с координатами (x₀, y₀), …, (x_n, y_n). Перед построением точек координаты их следует округлить до двух знаков после запятой. Получаем точки М₀(0, 1); М₁(0, 1; 1, 1); М₂(0, 2; 1, 22); … соединяем точки звеньями ломаной. Получим ломаную кривую Эйлера. По найденным значениям, x_i, y_i строим, ломаную Эйлера

Содержание отчета.
Задание, Таблица, Построенная на миллиметровой бумаге ломаная Эйлера. Титульный лист – стандартный.
На первом листе уточнить, что работа выполнена с использованием компьютера в среде MathCAD.
Hа втором листе надо записать задание, расчеты, расчетную таблицу и приложить ломаную Эйлера выполненную на миллиметровой бумаге.
Контрольные вопрос ы:
1. Дать вывод формулы (4)
2. Почему применение формулы (4) сопровождается интенсивным накапливанием погрешностей.
Выполнение работы в среде Visual Basic.

Выполняется блок - схема алгоритма на отдельном листе и записывается код прог-раммы. Строится график, на миллиметровой бу-маге, как пример, рассмотрено решение дифференциального уравнения y ^' = x + y, при начальных условиях

y(0) = 1.

Численное дифференцирование аналити-
чески или таблично заданной функции у(х)
заключается в замене y(x) интерполяцион-
ным полиномом P(x), производные dⁿP(x)/dxⁿ = dⁿу(х)/dxⁿ, которого можно найти анали-
тически с помощью соответствующих формул. Для функций, заданных таблично со
случайной погрешностью, точность численного дифференцирования может быть
низкой.

Численное дифференцирование при равно-
мерно расположенных узлах с интерполяцией реализуется следующими формулами
(для 3, 4 и 5 узлов):

у'(х₀+ ph)₃ = * [(p - 0, 5) у_-1 - 2ру_о+(р+0, 5) y₁,

y'(х₀+ph)₄ = * (-

 

y'(х₀+ph)₅= *

В этих формулах р = (х — x_o)/h и x = x_o+ph.
Вычисление у'(x) по последней формуле реализовано программой 6-2, в которой ординаты

у_-2 у_-1 y₀, у₁ и у₂ обозначены как А, В, С,
D и Е.

Формулы численного дифференцирования
для узлов у(х) существенно проще приведен-
ных, так как в узлах Р принимает фикси-
рованные значения. Особенно простыми явля-
ются формулы для центрального узла (Р = 0)
(см. табл. 6-1). Эти формулы удобны для
численного дифференцирования таблично за-
данных функций в точке х = х_n. Частные производные функции ряда пере-
менных f(x₁, х₂, ..., х_n) вычисляются по при-
веденным выше формулам, если задавать
приращение одной из переменных и оставлять
неизменными (равными заданным значениям)
остальные переменные, код программы решения приведен ниже.

Программа 6-1.

10 PRINT 'ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ, ТАБЛИЧНО ЗАДАННОЙ'
20 РР1НТ 'N=3-5 ОРДИНАТАМИ ФУНКЦИИ ПРИ РАВНОМЕРНОМ'
30 PRIHT 'РАСПОЛОЖЕНИИ УЗЛОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ': PRINT' '
40 INPUT 'BВEДИTE Х0 = 'W: INPUT 'ВВЕДИТЕ ШАГ Н= ' H
50 INPUT 'ЗАДАЙТЕ ЧИСЛО OPДИHAT N = ' N
60 IF N = 3 GОТO 100

70 IF N = 4 GОТO 110

 

80 IF N = 5 GОТО 120

90 INPUT 'ПОВТОРИТЕ ВВОД N='Н: GОТО 60

100 INPUT 'ВВЕДИТЕ ОРДИНАТЫ Y-1, Y0, Y1'A, В, С: GОТО 130

110 INPUT 'ВВЕДИТЕ ОРДИНАТЫ Y-1, Y0, Y1, Y2' A, В, C, D, : GОТО 130

120 INPUT 'ВВЕДИТЕ ОРДИНАТЫ Y-l, Y-1, Y0, Y1, Y2' A, B, C, D, E
130 INPUT ' ВВЕДИТЕ X= ‘X: LETP=(X-W)/H
140 IF N=4 GОТО 180

150 IF N=5 GОТО 210

 

160 LETF=((P-.5)*A-2*Р*В+(Р+.5)*C)/Н

170 PRINT 'DY/DХ=' F: G0T0 130
180 LETF=(-(3*Р*Р-6*Р+2)*A/6+(3*Р*Р-4*Р-1)*В/2)
190 LETE=(-(3*Р*Р-2*Р-2)*С/2+(3*P*P-1)*D/6)
200 LETF=(F+E)/H: GОТО 170
210 LETF=(((2*P-3)*Р-1)*Р+1)*A/12
220 LETF=F-(((4*Р-3)*Р-8)*Р+4)*В/6
230 LETF=F+(2*P*P-5)*Р*С/2
240 LETF=F-(((4*Р+3)*Р-8')*Р-4)*D/6
250 LETF=F+(((2*P+3)*P-1)*P-1)*E/12
260 LETF=F/H: G0T0 170: EHD

И прилагается распечатка решения этой задачи с таблицей данных и гистограммой (графиком).

Формулы численного дифференцирования (производные в центральных узлах)

Таблица 6-1

 

 

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: