Средние величины. Средняя арифметическая: свойства и методы расчета

Средняя является основной величиной в статистике, поскольку она характеризует центр распределения признака. Средние можно разделить на две группы:

- степенные (средняя арифметическая, геометрическая, гармоническая, квадратическая, кубическая);

- структурные (мода, медиана, квартиль, дециль, перцентиль).

Все виды степенных средних получаются на основе формулы:

, где x – значение признака, f – частота, вес, m – показатель степени.

Так, средняя арифметическая формируется при m=1:

.

Если ряд сгруппированный, то используется средняя арифметическая взвешенная.

Для не сгруппированного ряда используется средняя арифметическая простая: .

Среднее арифметическое обладает рядом свойств:

1. Средняя от постоянной величины равна ей самой: .

2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты: .

3. Изменение каждой варианты на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину: .

4. Изменение всех вариант в одно и то же число раз во столько же раз изменяет среднюю: .

5. Изменение всех весов (частот) в одно и то же число раз не изменяет значение средней: .

6. Алгебраическая сумма отклонений всех вариант от средней равна 0: .

7. Средняя суммы равна сумме средних: .

8. Сумма квадратов отклонений вариант от средней меньше, чем от любой другой величины: .

 

Методы расчета средней величины

При расчете средней величины в числителе собирается все значение признака, а в знаменателе – общее количество единиц, обладающих данным признаком. Необходимо контролировать, чтобы и в числителе и в знаменателе были показатели, имеющие экономический смысл, и чтобы полученная средняя не выходила за границы минимального и максимального значений признака.

, где ФЗП – фонд заработной платы, – среднесписочная численность, – средняя заработная плата.

, где Q – количество товаров, услуг, – годовая выручка.

, где Р – рентабельность, П – прибыль.

, где – все значение признака, – количество единиц признака.

Пример 4.3

30 предприятий выполнили план на 80%, 20 предприятий на 102%, 50 предприятий на 98%. Определить средний процент выполнения плана по всем предприятиям.

Решение:

.

Пример 4.4

Рассчитать среднедушевой доход по приведенным данным (табл. 5).

Таблица 5

Группировка работников по доходам	Количество человек,	Средний доход по группам , руб.
до 5000
5000 - 10000
10000 - 15000
15000 -20000
20000 и выше
Итого:

Решение: .

 

Метод моментов (метод условного нуля)

, , где m₁ – момент первого порядка, h – величина интервала, А – варианта, соответствующая максимальной частоте.

Пример 4.5

По данным таблицы 6 рассчитать среднедушевой доход методом моментов.

Решение: Для нашего примера h=5000; А=17500

.

Таблица 6

Среднедушевой доход	Количество человек, f
до 5000			– 3	– 30
5000 - 10000			– 2	– 40
10000 - 15000				– 25
15000 - 20000
20000 и выше
Итого		-	-

 

Другие виды степенных средних

Из общей формулы можно получить другие виды степенных средних.

При рассчитывается средняя гармоническая

взвешенная – для сгруппированного ряда;

простая – для не сгруппированного ряда.

Средняя гармоническая используется, когда неизвестны весовые коэффициенты (частоты или частости).

Пример 4.6

Определить среднюю цену реализации товара по данным трех торговых точек (табл.7):

Таблица 7

Торговая точка	Цена, руб.	Выручка, тыс. руб.

Решение: , где В – выручка, Ц – цена единицы продукции.

 

При рассчитывается средняя геометрическая

- используется в рядах динамики при расчете среднего темпа роста.

При рассчитывается средняя квадратическая

.

При рассчитывается средняя кубическая:

.

Средняя квадратическая и средняя кубическая используются для расчета моментов 2–ого и 3–его порядка.

Свойство мажорантности (ранжирование степенных средних): чем больше степень, тем больше средняя.

 

 

 

Структурные средние

К структурным средним относят моду, медиану, квартиль, дециль, перцентиль.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака, которое используют для оценки спроса на продукцию, то есть

мода это варианта, соответствующая максимальной частоте.

Если для определения моды для дискретного признака не требуется никаких расчетов, то для определения моды в интервальном ряду необходимо:

1.Определить модальный интервал по максимальной частоте.

2. Рассчитать значение моды по формуле:

,

где – модальный интервал;

– нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частоты модального интервала, предшествующего модальному и следующего за модальным соответственно.

Пример 4.7

Рассчитать значение моды по приведенной группировке (табл.8):

Таблица 8

Среднедушевой доход	Количество человек	Кумулята
до 5000
5000 – 10000
10000 – 15000
15000 – 20000
20000 и более

Для данного примера значение моды .

Графически определить моду можно в соответствии с рис. 3.

Рис. 3. Гистограмма и полигон.

Графическое определение моды на основании гистограммы

Медиана – значение признака, соответствующее середине ранжированного ряда. Используется для характеристики ряда распределения при сильной дифференциации признака.

Номер медианного представителя дискретного ряда определяется по формуле: , если число членов ряда распределения нечетное. Если ряд включает четное число членов, то в середине находятся две единицы наблюдения, и значение медианы рассчитывается как средняя арифметическая их значений.

Пример 4.8

Определить медианный размер обуви по данным табл.9.

Таблица 9

Размер обуви
Количество пар
Кумулята

Решение: пара соответствует 38 размеру обуви, так как 22 > 17.

Медиана интервального ряда определяется в два этапа:

1.Находится медианный интервал по полусумме частот и кумуляте. Кумулята медианного интервала впервые превышает полусумму частот.

2. Рассчитывается значение медианы по формуле

, где – нижняя граница медианного интервала; – величина медианного интервала; – кумулята интервала, предшествующего медианному; – частота медианного интервала.

Медиана показывает, до какого предела значения признака имеет 50% представителей.

Квартили, децили, перцентили рассчитываются по аналогии с медианой и характеризуют, соответственно, до какого предела значения признака имеет 25%, 10%, 1% представителей.

Для примера 4.7: .

Графически определить медиану можно в соответствии с рис. 4.

Рис. 4. Кумулята. Графическое определение медианы

на основании кумуляты

 

В примере 4.7 значения , и говорят о том, что среднедушевой доход работников составляет 13500 рублей, у 50% работников доход не превышает 14000 рублей, чаще всего встречаются работники с уровнем дохода 16250 рублей.

Контрольные вопросы к теме 4

1. Приведите пример условно-натуральной величины.

2. Перечислите все относительные величины.

3. Перечислите степенные средние в порядке возрастания их значения.

4. Какие Вы знаете структурные средние?

5. Приведите определение медианы.

6. Какое значение признака называется модальным?

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: