ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ. ИЗМЕНЧИВОСТЬ

• Виды показателей вариации • Свойства и методы расчета

дисперсии • Дисперсия альтернативного признака

• Правило сложения дисперсий • Нормальное распределение

и его характеристики• Моменты распределения.

Показатели формы распределения

Виды показателей вариации

Показатели вариации характеризуют величину отклонений всех значений признака от среднего уровня, т.е. характеризуют однородность совокупностей. Если совокупность признака однородна, то средняя, рассчитанная по данной совокупности будет надежна, типична. Если отклонения значительные, то совокупность неоднородна, а рассчитанная средняя - случайна.

Пример 5.1

Один и тот же уровень потребления мяса и мясопродуктов можно получить с помощью распределения уровня потребления указанных продуктов населением или (табл. 10). Но, если в первом распределении 70% населения потребляют от 40 до 60 кг мясопродуктов, то во втором распределении – лишь 11%. Поэтому доверие к средней в первом распределении будет выше, чем во втором

Таблица 10

20 – 40 кг
40 – 60 кг
60 – 80 кг
80 – 100 кг
Итого:	100%	100%

Оценить степень доверия к средней, ее надежность позволяют показатели вариации, к которым относят: размах вариации (R), среднее линейное отклонение (d), дисперсию (σ ²), среднее квадратическое отклонение (σ ), коэффициент вариации (v).

R – размах вариации, показывает амплитуду колебаний признака от минимума до минимума, но не дает распределения признака между ними.

_.

d – среднее линейное отклонение характеризует среднее отклонение по модулю индивидуальных значений признака от среднего уровня.

.

σ ² – дисперсия, не имеет экономического смысла и, соответственно, единиц измерения. Используется для определения среднего квадратического отклонения

σ – среднее квадратическое отклонение, имеет ту же размерность, что и средняя величина.

.

Поскольку, в соответствии со свойством средней, сумма отклонений всех вариант от средней всегда равна нулю, для расчета средней используют либо среднее линейное отклонение (d), либо среднее квадратическое отклонение σ. В силу различий способов расчета σ > d.

Относительной мерой вариации служит коэффициент вариации

Для экономических расчетов средняя считается надежной, типичной, а исследуемая совокупность однородной, если коэффициент вариации не превышает 33, 3%. В случае превышения данной величины можно говорить о случайности средней характеристики и неоднородности исходных данных. Для повышения надежности рекомендуется исключить экстремальные значения, если они носят случайный характер и увеличить объем выборки.

 

Свойства и методы расчета дисперсии

Свойства дисперсии:

1. Величина дисперсии не изменится, если из всех значений вариант отнять какое–либо число А.

2. Если все значения вариант увеличить или уменьшить в А раз, то σ ² увеличится (уменьшится) в А² раз, а σ - в А раз.

.

3. Если все частоты увеличить (уменьшить) в А раз, то σ ² и σ не изменятся.

4. Дисперсия равна разности среднего квадрата и квадрата средней величины.

,

где – средний квадрат индивидуальных значений признака;

– квадрат средней величины.

Расчет дисперсии методом моментов

, где

,

.

Пример 5.2

Оценить надежность средней кг длягруппировки населения по мясопотреблению (табл.11).

Таблица 11

Объем потребления мяса
20–40 кг			–1	–10
40–60 кг
60–80 кг
80–100 кг
Итого:

Решение: ,

, ,

Вывод: средняя надежна и типична для данной группировки.

Дисперсия альтернативного признака

Единицы совокупности могут либо обладать альтернативным признаком, либо нет.

Приняты обозначения:

1 – наличие признака, 0 – отсутствие признака.

p – доля единиц, обладающих данным признаком, q – доля единиц, не обладающих данным признаком (или 100%)

.

Для альтернативного признака средняя величина равна доле единиц, обладающих данным признаком.

Дисперсию альтернативного признака рассчитывают следующим образом:

.

 

Правило сложения дисперсий

Если совокупность разбить на группы, то средние величины и дисперсию можно рассчитать как для всей совокупности, так и для каждой группы.

Различают среднюю из групповых, межгрупповую и общую дисперсии. Общая дисперсия отражает влияние всех возможных факторов. Внутригрупповая дисперсия отражает влияние всех факторов, кроме группировочного признака. Средняя из групповых аналогична внутригрупповым дисперсиям. Межгрупповая дисперсия характеризует влияние только группировочного признака.

В соответствии с правилом сложения дисперсии: общая дисперсия равна сумме средней из групповых и межгрупповой дисперсии.

,

где – средняя из групповых дисперсий,

– межгрупповая дисперсия

Средняя из групповых дисперсий определяется по формуле:

.

Межгрупповая дисперсия определяется по формуле:

.

Пример 5.3

Проверим правило сложения дисперсий на примере группировки рабочих по уровню квалификации (табл.12).

Решение

Рассчитаем групповые средние:

,

 

Таблица 12

Рабочие 5–ого разряда	Рабочие 6–ого разряда
№ п\п	Количество деталей		№ п\п	Количество деталей
-	-	-
-	-	-

Определим групповые дисперсии методом разности:

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Общая дисперсия равна

, что подтверждает правило сложения дисперсий.

Для оценки влияния группировочного признака (уровень квалификации) используют показатели, построенные на соотношении межгрупповой и общей дисперсии: эмпирический коэффициент детерминации ( ) и эмпирическое корреляционное отношение ( ).

Эмпирический коэффициент детерминации ( ) рассчитывается по формуле и показывает, какой процент общей вариации изучаемого признака определяется вариацией группировочного признака.

Для рассматриваемого примера , т.е. вариация выработки рабочих на 21, 7% определяется вариацией уровня их квалификации.

Эмпирическое корреляционное отношение ( ) характеризует тесноту связи между признаками и рассчитывается по формуле . Связь отсутствует, если , связь функциональная, если

Сила связи определяется в соответствии со шкалой Чеддока, которая представлена в таблице 12.

Таблица 12

Шкала Чеддока для определения силы связи

η	Сила связи
0, 1-0, 3	слабая
0, 3-0, 5	умеренная
0, 5-0, 7	заметная
0, 7-0, 9	высокая
0, 9-0, 99	очень высокая

В рассматриваемом примере связь выработки рабочих с уровнем квалификации умеренная, так как .

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: