Тема. Законы распределения случайных величин

Нормальное распределение

 

Пример 1. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, равным 375 г, и средним квадратическим отклонением 25 г. Определить вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет заключен в пределах от 300 до 400г.

 

Решение.

Дано: М(Х)=а=375 г., г., с=300г., d=400г.

Найдем искомую вероятность.

где функции Лапласа Ф(1) = 0, 6827, Ф(3) = 0, 9973.

Пример 2. Ошибка измерения прибора подчиняется нормальному распределению. С вероятностью 0, 92 ошибка измерения не превосходит 4. Найти среднее квадратическое отклонение ошибки прибора. Систематическая ошибка отсутствует.

Решение.

Дано: ,

Воспользовавшись второй теоремой о нормальной случайной величине, найдем величину .

 

Из таблицы Лапласа, зная , найдем t=1, 75.

Тогда или

Ответ: .

 

Равномерное распределение

 

Пример 3.Цена деления шкалы прибора 0, 5 вольт. При измерениях показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при считывании показаний будет сделана ошибка, не превышающая 0, 01 вольт.

Решение.

Дано: Случайная величина Х -- истинное показание прибора имен равномерное распределение с параметрами а=0, в=0, 5. Тогда . Искомая вероятность – это вероятность показания х либо на , либо на .

 

Задания для самостоятельной работы

 

1) Размер детали подчиняется нормальному закону распределения со средней арифметической 15 мм и дисперсией 0, 25. Определить ожидаемый процент брака, если допустимые размеры находятся в пределах от 14 мм до 17 мм. Найти выражение интегральной и дифференциальной функции.

2) Изготовленные цехом детали по размерам диаметра распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 4, 5 см, и средним квадратическим отклонением 0, 5 см. Определить вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отклонится от математического ожидания не более, чем на 1 см.

3) Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно 15, среднее квадратическое отклонение равно 5. Определить вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х-М(Х) будет меньше 10.

4) Ошибка измерения – нормально распределенная случайная величина с дисперсией, равной 100. Систематическая ошибка отсутствует. Найти вероятность того, что ошибка измерения окажется в интервале (3; 6).

5) Ошибка взвешивания – случайная нормально распределенная величина с дисперсией 400. Весы заранее настроены на обвес 50 г. Найти вероятность того, что ошибка взвешивания находится в пределах от 30 до 70 г.

6) Автобус некоторого маршрута идет с интервалом в десять минут. Пассажир в какой-то момент подходит к остановке. Время, в течении которого пассажир ожидает автобус, представляет случайную величину, имеющую равномерное распределение. Определить дифференциальную функцию распределения этой случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсию.

7) По данным задачи 6 определить вероятность того, что пассажир подошедший к остановке, будет ждать автобус менее 4 минут.

8) Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0, 2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка:

а) меньшая 0, 04;

б) большая 0, 05.

9) Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 сек.

 

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

Математическая статистика

Тема. Выборочный метод

Пример 1. Для выявления доли (удельного веса) простаивающих станков было взято на выборку 100 станков. Простаивающих станков оказалось 20. с надежностью 0, 99 оценить доверительный интервал, в котором окажется доля простаивающих станков во всей совокупности станков.

Найдем долю простаивающих станков в выборочной совокупности

 

Определим предельную ошибку выборки

 

 

Доверительные интервалы доли простаивающих станков во всей совокупности станков будут , подставляем

 

 

 

Чаще интервалы для доли вычисляются в процентах, тогда

 

Т.е. с надежностью 0, 99 доля простаивающих станков во всей совокупности будет заключена в пределах доверительного интервала от 0, 97% до 30, 3% всех станков.

 

Пример 2. Имеются данные о производительности труда 100 ткачих фабрики, на которой работают 1000 ткачих.

 

Выработано ткани, м	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44
Число ткачих

 

Определить: 1) доверительный интервал, в котором с надежностью 0, 9973 заключена средняя выработка одной ткачихи фабрики;

2) доверительный интервал, в котором с надежность 0, 9545 заключена доля ткачих, имеющих выработку 36 метров и более;

3) вероятность того, что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средней выработки обследованных ткачих не более чем на 0, 8 м по абсолютной величине.

Решение: Вычислим характеристики выборочной совокупности:

выборочную среднюю -

выборочную дисперсию -

Все необходимые расчеты приведены в таблице:

Выработка ткани, м
20-24				-9, 4	88, 36	795, 24
24-28				-5, 4	29, 16	349, 92
28-32				-1, 4	1, 96	70, 56
32-34				2, 6	6, 76	182, 52
36-40				6, 6	43, 56	435, 60
40-44				10, 6	112, 36	674, 16
	-			-	-

Из таблицы имеем: м; м²

=5, 008м,

1) При надежности , коэффициент надежности (таблица 2).

Для повторного отбора

=

Доверительный интервал для генеральной средней

При повторном отборе

м

Для бесповторного отбора

м

С надежностью 0, 9973 можно утверждать, что средняя выработка одной ткачихи фабрики (генеральная средняя) будет изменяться при повторном отборе от 29, 898 м и до 32, 902 м, а при бесповторном отборе от 29, 975 м до 32, 825 м.

2) Выборочная дисперсия по доле

При , коэффициент надежности (таблица 2).

 

Предельные ошибки:

для повторного отбора = =

для бесповторного отбора

Доверительный интервал для доли:

для повторного отбора

или

для бесповторного отбора

или

С надежностью 0, 9545 можно утверждать, что доля ткачих фабрики (генеральная доля), имеющих выработку 36 метров и более будет изменяться от 8, 7% до 23, 3% при повторном отборе и от 9, 04% до 22, 96% для бесповторного отбора.

3) Для определения вероятности (надежности), что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средней выработки обследованных ткачих не более чем на 0, 8 м по абсолютной величине, используем формулу теоремы Чебышева-Ляпунова .

Значение найдем по формуле предельной ошибки выборки для

бесповторного отбора .

Тогда имеем

По таблице №2 значение функции находим

Окончательно запишем

С вероятностью 0, 9070 можно утверждать, что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средних обследованных ткачих не более чем на 0, 08 м.

Задания для самостоятельной работы

 

1. В магазинах торга выборочным методом был подсчитан средний стаж работы 100 сотрудников. Оказалось, что он равен в среднем 10 годам при среднем квадратичном отклонении 3 года. Определить надежность, с которой можно утверждать, что отклонение полученной выборочной средней от генеральной средней не превысит 1 года

 

2. Обследуется содержание белка в привезенной на элеватор пшенице. В лабораторию взят для исследования 1 кг (1000 гр) зерен. Доля белка в этих зернах 0, 17. С надежностью 0, 9545 найти доверительный интервал, в котором заключена доля белка во всей пшенице.

 

3. Сколько рабочих –сдельщиков можно включить в выборку для определения средней выработки одного рабочего, чтобы предельная ошибка не превышала 2, 5 ден. ед. с вероятностью 0, 9973 при среднем квадратичном отклонении 15 д.е.

 

4. Был проведен выборочный опрос 25 студентов о распределении бюджета времени. Обследование показало, что в среднем ежедневные затраты времени на самостоятельную работу составляют 4 часа при среднем квадратичном отклонении 0, 5 часа. Определить с вероятностью 0, 9973 среднюю и предельную ошибки, а также доверительный интервал, в котором заключена генеральная средняя.

 

5. Для выявления удельного веса неработающих станков отобрано 100 станков. Неработающих оказалось 20. С надежностью 0, 95 оценить доверительный интервал, в котором окажется доля неработающих станков во всей совокупности.

 

6. Сколько рабочих – сдельщиков можно включить в выборку для определения средней выборки одного рабочего – сдельщика, чтобы предельная ошибка не превышала 2, 5 ден. ед., при среднем квадратическом отклонении 15 ден. ед.,..а надежность 0, 9973

 

7. В магазинах коопторга выборочным методом был подсчитан средний стаж работы 100 продавцов. Оказалось, что он равен в среднем 10 годам при среднем квадратическом отклонении 3 года. С какой надежностью можно утверждать, что отклонение полученной выборочной средней от генеральной средней не превысит одного года.

 

8. Даны результаты обследования 100 взрослых мужчин по росту:

Рост, см	164 - 166	166 - 168	168 - 170	170 - 172	172 - 174	174 - 176
Число мужчин

Определить:

1)доверительный интервал, в котором с надежностью 0, 9973 заключен средний рост всех мужчин;

2)доверительный интервал, в котором с надежностью 0, 9545 заключена доля мужчин, имеющих рост 170см и более

 

9. Результаты выборочного наблюдения за обработкой рабочими одной детали даны в таблице:

Время обработки, мин.	4.0 – 4.4	4.5 – 4.9	5.0 – 5.4	5.5 – 5.9	6.0 – 6.4	6.5- 6.9
Число работающих

С вероятностью 0, 9545 оценить:

1)среднее время обработки одной детали рабочими всего цеха, в котором работают 2000 рабочих;

2)долю рабочих всего цеха, обрабатывающих детали менее чем за 6 минут.

10. Даны результаты выборочного (бесповторного) обследования заработной платы 100 рабочих предприятия, на котором занято 1000 рабочих:

Зарплата, тыс.руб.	2, 1 – 2, 3	2, 3 – 2, 5	2, 5 – 2, 7	2, 7 – 2, 9	2, 9 – 3, 1	3, 1 – 3, 3	3, 3 – 3, 5
Число рабочих

Определить: 1)доверительный интервал, в котором с надежностью 0, 9545 заключена средняя заработная плата всех рабочих предприятия;

2)с вероятностью 0, 9973 предельной доли рабочих, имеющих заработную плату менее 2, 9 тыс. руб.

11. В результате обследования стажа работы сотрудников предприятия получены следующие данные:

Стаж работы, год	2-6	6-10	10-14	14-18	18-22	22-26	26-30
Число работников	I				II

Определить: 1) доверительный интервал, в котором с надежностью 0, 9973 заключен средний стаж работы сотрудников всего предприятия, на котором занято 1000 человек;

2)доверительный интервал, в котором с надежностью 0, 9545 заключена доля сотрудников предприятия, имеющих стаж работы 10 лет и более.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: