Тема. Cтатистическая проверка гипотез

Основные задачи.

1. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки объемов ).

Пример 1.: Из двух партий сахарной свеклы взяты выборки объемом кг и кг клубней. Сахаристость первой партии , второй . Установлено, что сахаристости в обеих партиях есть нормальные случайные величины с дисперсиями , .

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Можно ли считать, что разброс выборочных средних не случаен?

Решение: Находим

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид , то критическая область двусторонняя симметричная.

Критическую точку находим из равенства

Полученные результаты изображены на числовой оси

-2, 58 0 2, 58 6

Т.к. попадает в критическую область, нулевую гипотезу отвергаем.

Сахаристость свеклы в двух партиях отличается значимо.

2. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. .

Пример 2. Из двух нормально распределенных генеральных совокупностей и взяты выборки объемов , . Найдены исправленные выборочные дисперсии , . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу при конкурирующей .

Решение: Находим

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид , то критическая область двусторонняя симметричная.

Критическую точку находим из таблицы распределения Фишера-Снедекора

, ;

Так как , то нулевую гипотезу отвергаем, то есть выборочные дисперсии отличаются значимо (существенно).

3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности (сравнение со стандартом а).

А) Дисперсия генеральной совокупности известна.

Пример 3. Обследовано 46 случайно отобранных деталей. Средний вес составил г. Считая, что вес деталей распределен нормально, проверить нулевую гипотезу г при конкурирующей гипотезе . Генеральная дисперсия . Уровень значимости . Действительно ли средний вес деталей удовлетворяет стандарту г.

Решение: Так как критическая область двусторонняя симметричная. Находим критическую точку

По таблице функции Лапласа

Так как - нулевую гипотезу отвергаем. Средний вес деталей не удовлетворяет стандарту.

Б) Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Пример 4. Обследовано случайно отобранных деталей по весу. Средний вес детали составил г. Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение 4. считая, что вес деталей распределен нормально, проверить нулевую гипотезу г при конкурирующей г. Уровень значимости . Действительно ли средний вес деталей удовлетворяет стандарту г?

Решение: Вычислим наблюдаемое значение критерия.

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид критическая область двусторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы и по числу степеней свободы находим ,

. Отсюда следует: нулевая гипотеза отвергается, средний вес не соответствует стандарту.

Пример 5. По выборке объема найдены выборочная средняя и исправленное среднеквадратическое отклонение . Уровень значимости . Проверить нулевую гипотезу при конкурирующей .

Решение: Вычислим наблюдаемое значение критерия.

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид критическая область левосторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости , помещенному в нижней строке таблицы и по числу степеней свободы находим .

Следовательно, ,

Нулевую гипотезу принимаем.

Задания для самостоятельной работы

1. Для сравнения производительности труда рабочих двух цехов экономист исследовал среднюю выработку рабочих. Обследовано n₁= 40 рабочих в первом цехе и n₂= 38 во второй. Выборочные средние д.е., д.е. Генеральные дисперсии Д(х₁) = 2, 4 Д(х₂) = 2, 8 При уровне значимости α = 0, 1 проверить нулевую гипотезу Н₀: при конкурирующей гипотезе Н₁: Можно ли считать, что рабочие обоих цехов имеют одинаковую производительность?

2. Стандартный срок службы электроприбора а = 1000 часов. Проверка 50 приборов показала, что средний срок службы часов, при среднем квадратическом отклонении часов. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н₀: если конкурирующая гипотеза Н₁: . Удовлетворяет ли срок службы электроприбора стандарту а?

3. В лаборатории определяют содержание углерода в 30 пробах нелегированной стали. Получены следующие данные: , По стандарту количество углерода в пробе должно быть равно а = 0, 2. При уровне значимости проверить Н₀: при Н₁: Удовлетворяет ли среднее содержание углерода в пробе стандартному?

4. Из двух партий продукции, изготовленных по старой и новой технологиям, взяты выборки объемов n₁= 45 и n₂=40. Расход сырья на единицу продукции по старой технологии г., а по новой - г. Генеральные дисперсии равны D(x₁)=6, 5 D(x₂)=8, 0. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н₀: при конкурирующей гипотезе Н₁: > Можно ли считать, что расход сырья на изготовление единицы продукции по новой технологии уменьшился?

5. Для исследования колеблемости урожайности свеклы в зависимости от типа внесенных удобрений было засеяно по 10 опытных участков: n₁=10, n₂=10. Выборочные дисперсии соответственно равны , При уровне значимости проверить Н₀: D(x₁)=D(x₂) при Н₁: D(x₁)> D(x₂). Зависит ли колеблемость урожайности свеклы от типа внесенных удобрений?

6. Стандартный срок работы электролампы а=800 часов. В результате выборочной проверки 50 ламп установлено, что средний срок работы часов. Среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности равно 30 часов. При уровне значимости проверить Н_о: , если Н₁: Удовлетворяет ли срок работы электролампы стандарту а?