Задачи для контрольной работы. Вариант 2. Базы Потребители Запасы (аi) В1 В1 В1 В1 В1 А1

Вариант 1.

Базы	Потребители	Запасы (аi)
В1	В2	В3	В4	В5
А1
А2
А3
Потребности (bj)

 

Вариант 2.

Базы	Потребители	Запасы (аi)
В1	В1	В1	В1	В1
А1
А2
А3
Потребности (bj)

 

Вариант 3.

Базы	Потребители	Запасы (аi)
В1	В1	В1	В1	В1
А1
А2
А3
Потребности (bj)

Вариант 4.

Базы	Потребители	Запасы (аi)
В1	В1	В1	В1	В1
А1
А2
А3
Потребности (bj)

 

Вариант 5.

Базы	Потребители	Запасы (аi)
В1	В1	В1	В1	В1
А1
А2
А3
Потребности (bj)

Вариант 6.

Базы	Потребители	Запасы (аi)
В1	В1	В1	В1	В1
А1
А2
А3
Потребности (bj)

 

Вариант 7.

Базы	Потребители	Запасы (аi)
В1	В1	В1	В1	В1
А1
А2
А3
Потребности (bj)

 

Вариант 8.

Базы	Потребители	Запасы (аi)
В1	В1	В1	В1	В1
А1
А2
А3
Потребности (bj)

Вариант 9.

Базы	Потребители	Запасы (аi)
В1	В1	В1	В1	В1
А1
А2
А3
Потребности (bj)

 

Вариант 10.

Базы	Потребители	Запасы (аi)
В1	В1	В1	В1	В1
А1
А2
А3
Потребности (bj)

 

Игры с “природой”

Задача 3. Торговое предприятие разработало несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получаемая от их возможных сочетаний величина прибыли представлена в виде матрицы выигрышей в следующей таблице (смысл величины будет объяснен позже):

= 0, 6

План продажи	Состояние конъюнктуры рынка и спроса

Определить оптимальный план продажи товаров.

Решение. Задачи такого типа относятся к играм с “природой”. Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с “природой”. Под “природой” понимается совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений. Иногда при этом имеются некоторые вероятностные характеристики состояний “природы”.

Игра с “природой” отличается от матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока, безразличием “природы” к выигрышу. “Природа” может даже помогать игроку. Такие игры в основном бывают двух типов: когда вероятности состояний “природы” неизвестны и когда они известны.

Для решения игры с “природой” был предложен ряд критериев, ни один из которых не является универсальным, поскольку каждый из них основывается на своих допущениях. Для выбора наилучшего решения следует использовать тот критерий, который в большей степени отвечает субъективному понятию риска конкретного игрока. Другой подход заключается в применении по очереди всех критериев, причем каждый критерий дает свою рекомендацию относительно того, какое решение игрока является наилучшим. Если одна из стратегий (решений) игрока фигурирует в качестве лучшей чаще других, она в результате признается оптимальной.

1 случай. Вероятности состояний “природы” неизвестны.

Максиминный критерий Вальда. С точки зрения этого критерия, игра с “природой” ведётся как игра с разумным, агрессивным противником, который всегда реализует самое невыгодное для игрока состояние. Это крайне пессимистический критерий. Здесь нужно рассчитывать на самый наихудший вариант, и поэтому при любой стратегии игрока ожидается, что выигрыш будет наименьшим. Поэтому из этих наименьших выигрышей по каждой стратегии выбирается наибольшее значение, которое гарантирует игроку хотя бы наименьший возможный выигрыш:

, (1)

где а_ij – элемент матрицы выигрышей.

Сначала из каждой строки матрицы выбираем минимальный элемент, а затем среди полученных значений выбираем максимальное. Таким образом, получаем:

W = = 150,

что соответствует стратегии . Таким образом, согласно критерию Вальда, наилучшей является стратегия , гарантирующая выигрыш, равный 150.

Критерий минимального риска Сэвиджа. Это также крайне пессимистический критерий, однако, в отличие от критерия Вальда, ориентируется не на выигрыш, а на риск проигрыша:

, (2)

где r_ij – элемент матрицы рисков.

Матрица рисков имеет ту же размерность, что и матрица выигрышей, и формируется по столбцам матрицы выигрышей. Элементы её го столбца получаются из матрицы выигрышей по формуле:

r_ij = ,

где = - максимальный элемент го столбца матрицы выигрышей.

Таким образом, в данной задаче получаем:

и матрица рисков имеет вид:

.

Теперь применяем формулу (2):

Как видим, минимум дают сразу две стратегии - и , которые и являются наилучшими с точки зрения критерия Сэвиджа.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Согласно этому критерию оптимальной считается стратегия, определяемая из соотношения:

, (3)

где – коэффициент пессимизма, который принимает значения в диапазоне: .

В случае, когда , получается критерий Вальда, т.е. крайний пессимизм. При возникает ситуация крайнего оптимизма, когда в матрице выигрышей по формуле (3) отыскивается самый большой элемент. Обычно принимают , и конкретное значение коэффициента задается из субъективных соображений. Здесь в условиях задачи указано = 0, 6. Применим формулу (3):

=240.

Согласно критерию Гурвица, оптимальной следует считать стратегию . Как видим, эта стратегия появляется в качестве оптимальной второй раз.

Критерий максимума математического ожидания выигрыша. Поскольку вероятности состояний природы нам неизвестны, принимаем все состояния равновероятными, т.е. .

Отсюда средний выигрыш от применения i –й стратегии находим по формуле:

, . (4)

Для нашего случая:

М₁ = ¼ ( 150 + 150 + 150 + 150) = 150;

М₂ = ¼ ( 100 + 300 + 300 + 300) = 250;

М₃ = ¼ ( 50 + 250 + 450 + 450 ) = 300;

М₄ = ¼ ( 0 + 200 + 400 + 600 ) = 300.

Среди этих средних выигрышей выбираем максимальный:

= М₃ = М₄ = 300.

Имеем две оптимальные стратегии - и _.

Критерий минимального среднего риска. Решение по этому критерию эквивалентно решению по предыдущему критерию, однако анализу подвергается матрица рисков:

. (5)

Из этих средних значений рисков выбираем наименьшее.

Применив формулу (5), получим:

R₁ = ¼ ( 0 + 150 + 300 + 450 ) = 225; R₂ = ¼ ( 50 + 0 + 150 + 300 ) = 125;

R₃ = ¼ ( 100 + 50 + 0 + 150 ) = 75; R₄ = ¼ ( 150 + 100 + 50 + 0 ) = 75.

Отсюда = R₃ = R₄ = 75. Здесь также имеем две оптимальные стратегии - и _.

Таким образом, по совокупности критериев наилучшей следует принять стратегию . Это и есть решение задания.

2 случай. Вероятности состояний “природы” известны.

Вновь рассмотрим приведенное выше задание, но с известными вероятностями состояний “природы”, указанными в последней строке таблицы:

План продажи	Состояние конъюнктуры рынка и спроса
	0, 3	0, 2	0, 4	0, 1

 

Выполнение задания в этих вариантах имеет следующие особенности:

1. Применение критериев Вальда, Гурвица и Сэвиджа не отличается от прежнего случая.

2. Формулы (4), (5) примут следующий вид:

(или ), (6)

(или ). (7)

Таким образом, для рассматриваемых исходных условий задачи 2-го случая имеем:

М₁ = 150 × 0, 3 + 150 × 0, 2 + 150 × 0, 4 + 150 × 0, 1 = 150,

М₂ = 100 × 0, 3 + 300 × 0, 2 + 300 × 0, 4 + 300 × 0, 1 = 240,

М₃ = 50 × 0, 3 + 250 × 0, 2 + 450 × 0, 4 + 450 × 0, 1 = 290,

М₄ = 0 × 0, 3 + 200 × 0, 2 + 400 × 0, 4 + 600 × 0, 1 = 260.

По критерию максимума математического ожидания выигрыша находим:

,

что соответствует наилучшей стратегии А₃.

Определим средние риски для разных планов продаж:

R₁ = 0 × 0, 3 + 150 × 0, 2 + 300 × 0, 4 + 450 × 0, 1 = 195,

R₂ = 50 × 0, 3 + 0 × 0, 2 + 150 × 0, 4 + 300 × 0, 1 = 105,

R₃ = 100 × 0, 3 + 50 × 0, 2 + 0 × 0, 4 + 150 × 0, 1 = 55,

R₄ =150 × 0, 3 + 100 × 0, 2 + 50 × 0, 4 + 0 × 0, 1 = 85.

Отсюда

,

что также соответствует наилучшей стратегии А₃.

По совокупности критериев в данном случае оптимальной следует принять стратегию А₃.

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: