Дифференциальное исчисление функции многих переменных

Пример 1. Найти частные производные функции двух переменных z=2x² + sin y.

Рассматривая y как постоянный параметр, а следовательно и siny=const, и производная от нее равна нулю, получим

 

При вычислении производной по y переменную x считаем постоянной, в результате получим

 

Пример 2. Найти частные производные функции трех переменных z(x, y, t)=x² y + t cos y + sin (t²+3).

При вычислении производной по x будем считать, что переменные y и t постоянны. Тогда производные от двух последних слагаемых равны нулю, а в первом параметр y выступает как постоянный множитель. В результате получим

Полагая переменные x и t постоянными, найдем производную по переменной y.

При вычислении производной учитывалось, что в первых двух слагаемых x²и t выступают в качестве постоянных множителей.

Аналогично вычислим производную по переменной t.

Пример 3. Найти частные производные функции двух переменных z(x, y)=e^x/y.

Полагая поочередно y=const, x=const, найдем частные производные

 

Задания для самостоятельной работы

 

Пример. Найти частные производные функций многих переменных z=f(x₁, x₂, x₃, … x_n):

Полный дифференциал

Пример 1. Найти полный дифференциал функции двух переменных

z(x, y)=tg(x/y).

Найдем сначала частные производные по переменным x и y.

Согласно формуле для полного дифференциала запишем

Пример 2. Найти полный дифференциал функции трех переменных

z(x, y, t)=xsin yt+ysin xt+tsin xy.

Найдем все частные производные:

Тогда, соответственно, для dz получим

Задания для самостоятельной работы

Пример. Найти полный дифференциал функций многих переменных z=f(x₁, x₂, x₃, … x_n):

Частные производные сложных функций

Пример 1. Найти производную сложной функции z=e^x+e^y, где x=sin t, y= cos t.

Вычислим все необходимые производные

Для производной сложной функции получим

Подставив вместо переменных x и y их выражения через t, окончательно запишем

 

Пример 2. Найти производную сложной функции z=xּ lny, где x= p/q, y = p-q.

Вычислим частные производные

Подставив в формулу для вычисления производных, и заменив x и y через p и q получим

 

Задания для самостоятельной работы

Производные высших порядков

 

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

 

 

Дифференциальные уравнения

 

Примеры решения дифференциальных уравнений.

1) Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Решение

Данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Сделаем преобразования:

Записали уравнение так, чтобы при дифференциале dy был множитель, зависящий только от y, а при дифференциале dx был множитель, зависящий только от x.

Далее проинтегрируем обе части полученного равенства

или .

Окончательно получим общее решение дифференциального уравнения:

Найдём частное решение, используя начальное условие .

Найдём значение постоянной интегрирования С

.

Запишем частное решение дифференциального уравнения при данных начальных условиях:

2) Найти общее решение дифференциального уравнения

tg = и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.

Решение

Данное уравнение является линейным, так как содержит искомую функцию y и её производную в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку y=uv, где u и v - некоторые неизвестные функции аргумента x, тогда (uv u^'_*v+u v^', и данное уравнение принимает вид: u^'v+uv^'- uv tg = или v (u^'-u tg )+uv^'= (1)

Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части последнего равенства(1), обращалось в нуль, т.е. чтобы имело место равенство u^'-utgx=0 (2).

Тогда уравнение (1) примет вид: uv^'= (3).

Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его:

- = 0 Þ = Þ =

= Þ Þ =

=-ln Þ u=

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной (с=0). Подставив в (3) найденное выражение для u получим: v^'=2 v^'=2 =

Интегрируя, получаем v= . Тогда есть общее решение данного дифференциального уравнения.

Определим численное значение С при указанных начальных условиях. Имеем: 2= Следовательно, C=2.

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.

 

Задания для самостоятельной работы

 

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное его решение, удовлетворяющее начальному условию при

1) (1)=0

2)

3) -( ) =0 (0)=1

4). (1)=2

5) (1)=1

6) (1)=2

7) (1)=0

8) (0)=1

9) (2)=-2

 

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

Последовательности и ряды

Примеры рядов.

1) Гармонический ряд - расходится;

2) Обобщенно гармонический ряд - сходится при s > 1, расходится при s < 1.

3) Ряд - сходится при a > 1, расходится при a < 1.

4) Ряд сходится.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: