ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ДИНАМИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ДИНАМИКА

 

Утверждено советом университета

В качестве учебного пособия

Санкт-Петербург

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Динамика материальной точки

1.1. Введение в динамику материальной точки. Законы Ньютона. Уравнение Даламбера.

1.2. Движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета. Прямая и обратная задачи динамики

1.3. Численное моделирование процесса движения материальной точки методом Эйлера

1.4. Движение материальной точки в неинерциальной системе отсчета

1.5. Колебания материальной точки

1.6. Вопросы и задачи для самоконтроля

2. Общие теоремы динамики механической системы

2.1. Введение в динамику механической системы

2.2. Теорема о движении центра масс механической системы

2.3. Теорема об изменении количества движения механической системы

2.4. Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси

2.5. Теорема об изменении кинетического момента относительно центра масс механической системы. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

2.6. Теорема об изменении кинетической энергии

2.7. Вопросы и задачи для самоконтроля

3. Метод кинетостатики.

3.1. Метод кинетостатики (принцип Даламбера)

3.2. Динамические реакции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

3.3. Статическая и динамическая балансировка ротора

3.4. Вопросы и задачи для самоконтроля

4. Элементарная теория гироскопов

4.1. Допущения элементарной теории. Свойства гироскопа

4.2. Прецессия оси гироскопа

4.3. Гироскопический момент

4.4. Вопросы и задачи для самоконтроля

5. Элементарная теория удара

5.1. Основные допущения

5.2. Коэффициент восстановления при ударе

5.3. Удар материальной точки о неподвижную гладкую поверхность

5.4. Потеря кинетической энергии при ударе материальной точки о неподвижную поверхность

5.5. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента механической системы при ударе

5.6 Удар по телу, имеющему ось вращения. Условие отсутствия ударных реакций. Центр удара

5.7. Косой центральный удар двух шаров

5.8. Вопросы и задачи для самоконтроля

6. Теория моментов инерции твердого тела

6.1. Понятия о полярных, осевых и центробежных моментах инерции. Тензор инерции, главные и центральные оси инерции

6.2. Вычисление моментов инерции

6.3. Моменты инерции относительно параллельных осей. Момент инерции относительно оси, проходящей через начало координат

6.4. Вопросы и задачи для самоконтроля

7. Список литературы

 

 

Динамика материальной точки

Введение

1.1.1. Основные положения. В динамике изучается механическое движение материальных (обладающих массой) тел под действием сил, т.е. перемещения таких тел в пространстве с течением времени.

В некоторых задачах динамики материального тела размеры и форма не имеют значения: в этих случаях моделью тела служит материальная точка.

В классической механике масса тела полагается величиной постоянной (не зависит от кинематических характеристик движения); пространство считается трехмерным, евклидовым, его свойства не зависят от движущихся в нем материальных объектов; время протекает одинаково во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Выбор системы отсчета в каждом случае подсказывается соображениями удобства.

Для систем отсчета, в которых справедливы первый и второй закон Ньютона (инерциальные системы отсчета), часто пользуются условным термином «неподвижная система отсчета».

Принятое в статике представление сил в виде векторов сохраняется и в динамике, но в динамических задачах эти векторы, как правило, переменны во времени и по модулю и (или) по направлению. В одних задачах переменная сила, действующая на материальную точку, является заданной функцией времени; в других задачах изменение силы определяется изменением иных параметров (например, положения материальной точки, ее скорости или ускорения).

 

1.1.2. Структура сил. Зависимость силы от подлинно управляющих аргументов (времени, координат, скорости, и т.д.) называется ее структурой (иногда используется термин «закон силы»). Знание структуры силы – непременное полноты постановки любой конкретной задачи механики, так как без этого невозможно составить уравнения (математическую модель) процесса движения.

Структура силы устанавливается путем непосредственного обобщения результатов опыта (по наблюдаемому движению). Примером может служить вывод Ньютоном закона всемирного тяготения из экспериментально установленных Кеплером кинематических законов движения планет.

Остановимся на некоторых, наиболее часто встречающихся структурах сил.

Постоянная сила – сила тяжести при движении тела вблизи поверхности Земли; архимедова сила для тела, полностью погруженного в однородную жидкость, и т.п.
Сила, известным образом изменяющаяся во времени: сила, втягивающая (выталкивающая) намагниченный сердечник в катушку, по обмотке которой течет переменный электрический ток; силы, действующие на опорные подшипники, в которых не вполне уравновешенный ротор вращается с заданной угловой скоростью и т.п. В последнем случае при постоянной угловой скорости ротора вертикальная (горизонтальная) проекции главного вектора сил реакций подшипников может быть представлена формулой

, (1.1)

где - масса ротора; - величина ее эксцентриситета;

- угловая скорость вращения; - начальная фаза.

Сила, зависящая от положения точки в пространстве (позиционная сила): сила взаимодействия с пружиной; архимедова сила при частичном погружении в жидкость тела, моделируемого материальной точкой; гравитационная сила притяжения к другим материальным точкам и т.п. Так, для понтонов со шпангоутами прямоугольной и треугольной форм, изображенных на рис.1.1, архимедовы силы поддержания следующим образом зависят от их осадки (крен и дифферент отсутствуют):

 

; (1.2.a)

, (1.2.б)

здесь - удельный вес воды; - длина понтона; - его ширина; - угол килеватости.

Сила, зависящая от скорости: сила трения Кулона (хотя ее модуль остается неизменным, направление силы противоположно скорости тела; таким образом, для проекции силы трения на касательную к траектории справедлива формула:

); сила сопротивления движению в жидкости, обусловленная ее вязкостью – такая сила противоположна по направлению скорости точки, а модуль силы зависит (иногда линейно) от значения скорости и т.п.

Сила, линейно зависящая от ускорения. В гидромеханике установлено, что при поступательном прямолинейном неравномерном движении тела в жидкости дополнительно к его вязкому сопротивлению возникает сила сопротивления, пропорциональная ускорению :

. (1.3)

Коэффициент , имеющий размерность массы, называется «присоединенной массой» жидкости (он зависит от размеров и формы тела; методика его расчета, а так же коэффициента силы вязкого сопротивления излагается в курсе гидромеханики).

Сила, зависящая от нескольких управляющих аргументов: сила полного сопротивления жидкости (аргументы – скорость и ускорение), сила сопротивления воздуха при движении сквозь атмосферу (аргументы – скорость и высота подъема) и.т.п.

Ряд задач механики посвящен управлению различными объектами, при этом сигнал, подающийся на исполнительные органы, формируется нужным образом. С целью управления искусственно организуются силы, зависящие от любых параметров, поддающихся замеру либо вычислению. Так, при отклонении судна от заданного курса, авторулевой формирует сигнал, управляющий приводом руля, по данным об этом угле и скорости его изменения.

 

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какие модели используются в классической механике для пространства, времени, объектов и их взаимодействия?

2. Что такое структура силы? Приведите примеры наиболее часто встречающихся структур сил.

3. Сформулируйте законы классической механики. В каких системах отсчета они справедливы? Какая система отсчета называется инерциальной?

4. Запишите проекции основного закона классической механики на оси декартовой координатной системы (на оси естественной координатной системы, на оси цилиндрической координатной системы).

5. Достаточно ли знания структуры силы, действующей на точку известной массы, чтобы найти закон ее движения?

6. Можно ли судить о структуре силы, действующей на точку заданной массы, если известны ее траектория и закон движения по ней?

7. Чем отличаются дифференциальные уравнения движения материальной точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета?

8. Запишите условие покоя материальной точки в неинерциальной системе отсчета.

9. Почему частоту свободных колебаний иногда называют собственной частотой?

10. Как выглядит график зависимости координаты (отклонение от положения статического равновесия) от времени при наличии сухого трения? Какую прогрессию образуют амплитуды этих колебаний? Чем обусловлено наличие зоны нечувствительности?

11. Какие типы движения могут иметь место, если кроме восстанавливающей силы на материальную точку действует сила линейно – вязкого сопротивления?

12. Расскажите о явлениях биений и резонансе.

13. Как влияет линейно – вязкое сопротивление на амплитуду вибрации?

14. Что такое кинематическое возбуждение колебаний? В чем отличие амплитудно – частотных характеристик при кинематическом и силовом возбуждениях?

15. Решите следующие задачи из [2]: 26.5; 26.13; 27.5; 27.9; 27.33; 27.18; 27.21; 32.26; 32.62; 32.81; 33.2; 33.14.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какими свойствами обладают внутренние силы механической системы?

2. Как найти положение центра масс механической системы?

3. Сформулируйте теорему о движении центра масс механической системы и ее следствия.

4. Как вычислить количество движения механической системы? Сформулируйте теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной (интегральной) форме и ее следствия.

5. Как вычислить кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра (относительно центра масс)? 6. Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра (центра масс) в дифференциальной (интегральной) форме и ее следствия.

7. Запишите дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоского движения твердого тела. Обратите внимание на одинаковость структур формул для поступательного и вращательного движений.

8. Как вычисляется и что характеризует осевой момент инерции масс твердого тела?

9. Как вычислить кинетическую энергию механической системы? Как вычислить работу переменной силы? Какова связь мощности и работы силы? Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной (интегральной) форме, если действующие силы разделить на внешние и внутренние (на задаваемые и реакции связей).

10. Решите следующие задачи из [2]: 35.4; 35.21; 36.9; 36.13; 37.6; 37.14; 37.33; 37.44; 37.53; 38.24; 38.31; 39.19; 39.15.

 

Метод кинетостатики.

3.1. Метод кинетостатики (принцип Даламбера).

Пусть движение произвольной точки массой механической системы вызвано равнодействующей задаваемых сил и равнодействующей реакций связей. Тогда для -ой точки основное уравнение динамики имеет вид

; .

Перепишем его в форме

, (3.1)

где есть сила инерции.

Таким образом, для динамической задачи мы получили уравнение, которое можно трактовать как уравнение равновесия.

Поступая аналогично с другими точками системы и суммируя уравнения (3.1) по индексу , получим

.

Обозначив главные векторы активных сил, реакций связей и сил инерции соответственно через и , будем иметь

. (3.2.)

Умножив векторно на силы, входящие в (3.1), и суммируя их по , найдем главные моменты активных сил, реакций связей и сил инерции

. (3.3)

Уравнения (3.2) и (3.3) представляют принцип Даламбера: в каждый момент времени главный вектор сил инерции уравновешивает главные векторы активных сил и реакций связей; точно так же главный момент сил инерции относительно некоторого центра уравновешивает главные моменты активных сил и реакций связей.

Если действующие на -ую точку силы привести к равнодействующей внешних сил и равнодействующей внутренних сил , то, с учетом свойств внутренних сил, уравнения (3.2) и (3.3) примут вид

; , (3.4)

где - главный вектор внешних сил.

Принцип Даламбера дает удобный прием решения задач динамики несвободных систем. Путем приложения к точкам механической системы фиктивных сил инерции задача динамики легко сводится к соответствующей задаче статики. Уравнения (3.2) и (3.3) либо (3.4) называют уравнениями кинетостатики. Для использования этих уравнений необходимо правильно вычислять главный вектор и главный момент сил инерции механической системы, в частности, твердого тела.

Так при поступательном движении тела

при вращении тела вокруг неподвижной оси

при плоском движении тела

где С – центр масс твердого тела.

ПРИМЕР 3.1 (задача 41.7 из [2]). Для экспериментального определения замедления троллейбуса применяется жидкостный акселерометр, состоящий из изогнутой трубки, наполненной маслом и расположенный в вертикальной плоскости. Определить величину замедления троллейбуса при торможении, если при этом уровень жидкости в конце трубки, расположенном в направлении движения, повышается до величины , а в противоположном конце понижается до . Положение акселерометра указано на рисунке 3.1; при этом

=25 мм, =75 мм.

РЕШЕНИЕ. Выделим в каждом колене элементарную массу . Жидкость можно полагать находящейся в равновесии, если к действующим силам веса добавить силы инерции (внутренние силы взаимодействия частиц не нанесены, так как их главный вектор равен нулю). Приравняем проекции на продольные оси первого и второго участков трубки главных векторов соответствующих сил (давление столба жидкости в нижней точке первого участка трубки должно быть равно давлению столба жидкости в нижней точке второго участка). Тогда

.

Вынесем постоянные величины за знаки суммирования. Введем массу единицы объема . Тогда масса жидкости в левой части трубки будет , главный вектор сил инерции , а сила веса жидкости ; выражения для соответствующих величин правого участка трубки аналогичны. Подставив полученные выражения в уравнение, сократим все слагаемые на массу единицы объема. Сгруппируем слагаемые, содержащие ускорение в левой части равенства, не содержащие ускорения – в правой. Окончательно получим

.

ПРИМЕР 3.2. Для механической системы из примера 2.8 найти силы натяжения нитей и .

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся решением примера 2.8 для получения величины ускорения первого груза

; здесь амплитуда и начальная фаза полагаются вычисленными величинами (по начальным условиям движения). Для получения ускорений других тел механической системы продифференцируем по времени уравнения кинематических связей, т.е.

или ;

или ;

или .

Для того, чтобы механическая система находилась в равновесии, к действующим на ее тела силам (см. рис.3.2) следует добавить соответствующие силы инерции и моменты сил инерции:

 

Теперь запишем уравнение равновесия первого груза:

.

Из него находим силу натяжения первой нити .

Теперь запишем уравнение равновесия для соосных блоков:

.

Из него находим силу натяжения второй нити

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Сформулируйте метод кинетостатики.

2. Как найти динамические реакции, возникающие на оси вращающегося ротора?

3. Что называют статической балансировкой ротора и как она выполняется?

4. Что называют динамической балансировкой ротора и как она выполняется?

5. Сформулируйте условия, при которых динамические реакции в подшипниках вращающегося ротора будут отсутствовать.

6. Решите следующие задачи из [2]: 41.17; 41.19; 41.23; 42.4; 42.13.

 

Прецессия оси гироскопа

Если на ось быстро вращающегося гироскопа подействовать постоянной силой (см. рис.4.1.в), то согласно (4.3) конец вектора приобретает скорость в направлении момента , т.е. ось гироскопа начнет двигаться перпендикулярно линии действия приложенной силы (возникает прецессия гироскопа). Угловая скорость прецессии может быть найдена, если приравнять следующие выражения для :

и . (4.4)

Таким образом, получим

, (4.5)

где - угол нутации, т.е. угол между векторами и (см. рис.4.1.а). На рис. 4.1.в угол нутации равен .

ПРИМЕР 4.1. На какое расстояние ОС= следует сместить центр тяжести гирокомпаса, чтобы ось его вращения всегда указывала на географический полюс Земли?

РЕШЕНИЕ. Поскольку Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью , необходимо, чтобы ось гирокомпаса совершала прецессию с (конечно, если при раскручивании гирокомпаса его ось направить на географический полюс Земли). Из рис.4.1.а следует, что момент силы веса . Подставим полученное выражение в (4.4) и найдем интересующее нас расстояние

.

Заметим, что в рассмотренном случае угловая скорость прецессии не зависит от угла нутации , который сохраняет свое значение с начала движения гирокомпаса.

 

Гироскопический момент

Перейдем к рассмотрению обратной задачи динамики гироскопа.

Пусть гироскоп с двумя степенями свободы (см. рис.4.1.б) вращается с угловой скоростью вокруг собственной оси симметрии АВ, а ось, в свою очередь, вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Момент внешних сил, под действием которого прецессирует гироскоп, создается силами, приложенными к оси гироскопа со стороны подшипников А и В. По третьему закону Ньютона на подшипники со стороны оси гироскопа действуют равные и противоположно направленные силы и . Главный момент этих сил относительно неподвижной точки О называется гироскопическим моментом. Он может быть вычислен на основании (4.3) и (4.4):

. (4.6)

Отсюда следует правило Грюэ – Жуковского: при сообщении оси быстро вращающегося гироскопа принудительной прецессии его ось стремиться кратчайшим путем установиться таким образом, чтобы направления векторов и совпадали.

ПРИМЕР 4.2. Определить усилия гироскопической природы, действующие на опоры ротора турбины, при циркуляции катера (см. рис.4.2). Осевой момент инерции ротора турбины , угловая скорость его вращения , расстояние между опорами АВ= , радиус циркуляции и скорость движения катера известны.

РЕШЕНИЕ. Подставляя в (4.6) значение гироскопического момента (здесь - модуль сил ) и , находим: .

 

Заметим, что найденные реакции могут существенно превышать реакции от силы веса турбины. Действуя через подшипники на корпус катера, они могут вызвать его дифферент. Подобный эффект наблюдается и у винтовых самолетов на виражах.

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Сформулируйте основное допущение элементарной теории гироскопов.

2. Запишите теорему об изменении кинетического момента в трактовке Резаля.

3. Как найти угловую скорость прецессии оси гироскопа, если известен момент внешних сил, на него действующих (осевой момент инерции гироскопа и скорость его вращения вокруг собственной оси заданы)?

4. Что такое гироскопический момент и как его вычислить, если известны осевой момент инерции гироскопа, а так же угловые скорости прецессии и собственного вращения.

5. Решите следующие задачи из [2]: 40.1; 40.4; 40.8; 40.12.

 

 

Элементарная теория удара

Основные допущения

При контакте двух тел в точке соприкосновения возникают равные противоположно направленные силы действия и противодействия. Закон изменения этих сил приведен на рис.5.1. Импульс силы за время ее действия определяется как

. (5.1)

Поскольку при ударе время действия силы несоизмеримо меньше промежутков времени, для которых обычно рассматривается движение, величину полагают равной нулю. В таком случае рассмотрение результата действия силы за промежуток времени заменяется рассмотрением приложения мгновенного импульса конечной величины (5.1). Мгновенное действие силы, при котором ее импульс имеет конечную величину, называется ударом, а соответствующая сила – ударной силой.

Найдем, как изменяется скорость и положение материальной точки при действии ударной силы (мгновенного импульса). Для этого запишем в интегральной форме теорему об изменении ее количества движения

или , (5.2)

где - масса точки, а и - ее скорость в конце и в начале удара, соответственно. Так как импульс имеет конечную величину, то при ударе скорость точки мгновенно изменяется на конечную величину.

Перепишем (5.2) в виде . Разделив переменные и взяв интегралы от обеих частей равенства, получим (используя теорему о среднем из курса интегрального исчисления)

, (5.3)

где и - радиусы – векторы точки в начальный и конечный момент времени, а - среднее значение импульса на промежутке [0; ]. Анализ (5.3) показывает, что при действии ударной силы перемещение точки отсутствует (при перемещение точки ).

Если на точку действует ударная сила и обычная медленно меняющаяся во времени сила , то их суммарный импульс за время будет

, где последний интеграл записан по теореме о среднем. Очевидно, что при последнее слагаемое так же стремиться к нулю и .

На этом основании при исследовании процессов, происходящих при ударе, медленно изменяющиеся ограниченные по модулю силы не учитываются.

Все сказанное справедливо для любых сил, изменение которых происходит по закону, изображенному на рис.5.1 (например, при взрыве).

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какое взаимодействие принято называть ударом? Как изменяются положение и скорость точек соударяющихся тел? Как учитывается действие сил, незначительно изменяющихся в процессе удара?

2. Что такое коэффициент восстановления при ударе? Какой удар называют абсолютно упругим (неупругим)? Какие величины следует измерить для вычисления коэффициента восстановления при падении шарика на горизонтальную неподвижную поверхность?

3. Какой удар называется косым? Как найти скорость и угол отскока шарика от гладкой неподвижной поверхности, если скорость до удара, угол падения и коэффициент восстановления известны?

4. Как вычислить величину кинетической энергии, перешедшей в другие виды энергии вследствие удара?

5. Сформулируйте теоремы об изменении количества движения и кинетического момента механической системы для процесса удара.

6. Решите следующие задачи из [2]: 44.2; 44.6; 44.9; 44.17; 44.25.

 

Вычисление моментов инерции

6.2.1. Получение аналитических выражений для моментов инерциипо формулам (6.1)-(6.3). В качестве примера рассмотрим вычисление момента инерции однородного цилиндра массы , радиуса и высоты относительно оси вращения (рис.6.1).

Мысленно выделим цилиндрическую трубку радиуса и толщиной . За элемент массы возьмем массу этой трубки. Тогда объем трубки будет , а масса , где - плотность материала цилиндра. Объем всего цилиндра , а масса .

 

Умножим элемент на квадрат расстояния до оси и возьмем соответствующий интеграл

.

Удачный выбор элемента позволил избежать записи тройного интеграла по объему; в общем случае это сделать не удается.

6.2.2. Использование типовых элементов, для каждого из которых в справочной литературе приведены формулы для вычисления объема, координат центра тяжести, а так же моментов инерции относительно осей, проходящих через его центр масс, оказывается очень удобным, когда рассматриваемое тело может быть представлено состоящим из таких элементов. В этом случае при вычислении соответствующих моментов инерции можно заменить интегрирование суммированием. Заметим, что как и при нахождении центра тяжести, отверстия трактуются как типовые элементы отрицательной массы.

Ниже приводится таблица для некоторых типовых элементов.

 

 

Таблица 6.1

тело	Моменты инерции

 

6.2.3. Экспериментальное определение осевых моментов инерции применяется в случаях, когда форма тела оказывается достаточно сложной (шатун, зубчатое колесо, ротор электродвигателя, корпус модели судна и т.п.). В [10] достаточно подробно обсуждены методы, использование которых позволяет получить осевые моменты инерции таких тел (метод качаний, метод крутильных колебаний, метод падающего груза, использование бифилярного подвеса).

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Запишите формулы для вычисления полярного, осевых и центробежных моментов инерции твердого тела.

2. Какой из моментов инерции является мерой инерции твердого тела при его вращении вокруг оси?

3. Что такое радиус инерции твердого тела и что он характеризует? Как выглядит тензор инерции в общем случае (если оси координат – главные оси инерции)?

4. Сформулируйте теорему Гюйгенса – Штейнера о вычислении осевого момента относительно параллельной оси.

5. Как вычислить момент инерции твердого тела относительно оси, если она проходит через начало координат (углы между нею и осями координат, а так же все элементы тензора инерции твердого тела заданы)?

6. Как вычислить моменты инерции твердого тела, если его можно мысленно разделить на типовые элементы?

7. Какие экспериментальные методы определения осевых моментов инерции вам известны? Каков алгоритм действий в каждом из них?

8. Решите следующие задачи из [2]: 34.7; 34.10; 34.11; 34.18; 34.31.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р.Меркин., Курс теоретической механики, Т.2, Наука, Москва, 1971г.

2. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике. Лань, Москва, 2002 г.

3. Тарг С.М.Краткий курс теоретической механики. Высшая школа, Москва, 1986 г.

4. Яблонский А.А. Курс теоретической механики, Часть 2, Высшая школа, Москва, 1977 г.

5. Чувиковский В.С. Численные методы расчетов в строительной механике корабля., Л., Судостроение, 1976 г.

6. Мелконян А.Л., Рощанский В.И., Черныш А.А. Теоретическая механика. Часть 1. Кинематика. Учебное пособие, Издательство ЛКИ, Ленинград, 1989 г.

7. Мелконян А.Л., Рощанский В.И., Черныш А.А. Теоретическая механика. Часть 3. Динамика. Учебное пособие, Издательство СПбГМТУ, Санкт-Петербург, 1996 г.

8. Мелконян А.Л. Численное моделирование процесса движения материальной точки. Методические указания. Издательство СПбГМТУ, Санкт-Петербург, 2005 г.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: