Движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета

1.2.1. Законы динамики точки. Первый закон: существуют системы отсчета, в которых изолированная материальная точка движется равномерно и прямолинейно (в частном случае – покоится). Такие системы называются инерциальными системами отсчета. Система отсчета, двигающаяся поступательно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной (это вытекает из равенства нулю ускорений изолированной материальной точки в обеих системах).

Второй закон: ускорение в инерциальной системе отсчета, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой, пропорционально этой силе и направлено так же, как и сила.

Часто этот закон называют основным, так как он вскрывает причинно – следственную связь процесса движения материальной точки. Математическим выражением этого закона является основное уравнение динамики точки:

, (1.4.а)

где - равнодействующая сил, приложенных к точке, - ее ускорение, - масса точки.

Если уравнение (1.4.а) используется для несвободной материальной точки, то в состав приложенных сил следует включить не только задаваемые (активные) силы, но и реакции связей.

Существует альтернативная форма записи основного уравнения динамики точки, называемая принципом Даламбера. Она имеет вид уравнения равновесия:

, (1.4.б)

где называется силой инерции материальной точки. В действительности такая сила действует не на рассматриваемую точку, а на материальные объекты, которые вызывают движение точки с ускорением .

Третий закон: если две материальные точки находятся в силовом взаимодействии, то они действуют друг на друга с одинаковыми по величине силами, направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны. Если одну из этих сил назвать действием, то другую естественно назвать противодействием.

Следует обратить внимание, что закон действия и противодействия справедлив в любой системе отсчета, в то время, как первые два закона – только в инерциальных системах.

 

1.2.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. В соответствии с кинематическими соотношениями

и можно записать основной закон динамики в виде , (1.5.а)

или в виде . (1.5.б)

Векторные уравнения (1.5) позволяют получить скалярные дифференциальные уравнения движения точки в различных координатных системах, для этого следует спроецировать обе части уравнения на оси выбранной системы.

Так, для декартовой координатной системы :

; (1.6)

где и - соответствующие проекции ускорения и силы.

В естественной координатной системе

; ; , (1.7)

где - касательная, главная нормаль и бинормаль к траектории точки; - радиус кривизны этой траектории (на рис.1.2 изображен естественный трехгранник [6] траектории в точке М и его оси, векторы скорости и ускорения точки).

Воспользовавшись формулами из [6] для вычисления проекций ускорения на оси криволинейной координатной системы имеем:

; (1.8)

где ;

.

Если ввести в рассмотрение величину (кинетическая энергия материальной точки), то уравнения (1.8) можно записать так:

; (1.9)
где . (1.10)

Уравнения (1.9) называются уравнениями движения материальной точки в форме Лагранжа, а величины - обобщенными силами.

Если свободная материальная точка движется в плоскости, то е положение может быть определено двумя координатами; в этом случае формулы (1.6) – (1.8) будут включать в себя по два уравнения.

Если точка движется по прямой, то ее положение может быть определено одной координатой, а движение описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка (либо двумя уравнениями первого порядка).

Сказанное справедливо и для несвободной точки при ее движении по заданной поверхности или по заданной кривой.

 

1.2.3. Две основные задачи динамики точки. В механике принято различать две задачи динамики точки:

1) даны силы, действующие на материальную точку, требуется найти ее движение (прямая задача);

2) дано движение материальной точки, требуется найти равнодействующую сил, на нее действующих (обратная задача).

Остановимся сначала на решении прямой задачи для свободной материальной точки.

В этом случае следует выбрать координатную систему, нанести на чертеж точку с действующими на нее силами и записать дифференциальные уравнения движения в выбранной координатной системе. Полученную систему из трех (в общем случае – совместных) дифференциальных уравнений второго порядка следует дважды проинтегрировать. При этом необходимо ввести шесть постоянных интегрирования. Они могут быть определены, если известны, например, положение и скорость точки в начальный момент времени. В таком случае, если говорить языком математики, решается задача Коши (начальная задача, эволюционная задача).

Выбор начального момента времени определяется соображениями удобства решения; при этом начальные условия отражают влияние на движение точки сил, действовавших до избранного начального момента времени. Поэтому в зависимости от начальных условий под действием одной и той же совокупности сил точка может совершать различные движения.

Определение постоянных интегрирования может быть выполнено и в том случае, если для двух моментов времени известны положения точки. В такой постановке прямая задача динамики точки решается как краевая. Заметим, что краевая задача, в отличии от начальной, может иметь неоднозначное решение.

В случае движения точки по поверхности (положение задается двумя обобщенными координатами) число постоянных интегрирования сокращается до четырех; при движении вдоль заданной линии – до двух.

ПРИМЕР 1.1. Подводный аппарат (ПА), получив небольшую отрицательную плавучесть , начинает погружаться по вертикали. Зная массу ПА и присоединенную массу жидкости при его движении по вертикали , найти зависимость глубины погружения от времени. Силу вязкого сопротивления воды при малых скоростях движения полагать пропорциональной первой степени скорости (коэффициент пропорциональности ).

РЕШЕНИЕ. На ПА при его поступательном движении по вертикали действуют вес , архимедова сила поддержания и сила сопротивления (см. рис. 1.3).

Запишем дифференциальное уравнение движения ПА по вертикали:

Разделим переменные и выполним интегрирование левой и правой частей равенства:

, тогда

.

Для определения постоянной интегрирования используем второе из начальных условий: при ,

.

С учетом этого найдем .

Отсюда следует, что

.

Заметим, что с увеличением времени скорость погружения стремиться к значению .

Учитывая, что , разделим переменные в полученном для уравнении и выполним интегрирование:

.

Постоянную интегрирования найдем из первого начального условия

.

Окончательное выражение для примет вид

.

Полученная зависимость изображена на рис.1.4. Уравнение прямой к которой приближается с ростом времени найденное решение

.

ПРИМЕР 1.2. Судно движется по прямой с постоянной скоростью . В некоторый момент времени двигатель судна был остановлен. Определить время , за которое скорость движения уменьшилась до величины , а так же путь , который пройдет судно за это время. Известно, что масса судна (вместе с присоединенной массой жидкости) , а сила вязкого сопротивления воды , где - заданный эмпирический коэффициент, а .

РЕШЕНИЕ. На рисунке 1.5 изображено судно с действующей на него силой сопротивления воды.

 

Составим дифференциальное уравнение движения судна вдоль оси :

.

Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от левой и правой частей уравнения:

, тогда

.

Для определения пройденного пути перейдем в исходном дифференциальном уравнении к переменной . Для этого воспользуемся заменой .

Тогда исходное уравнение можно записать как

.

Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от обеих частей уравнения:

. Тогда .

При решении прямой задачи динамики для несвободной материальной точки часть действующих на нее сил, а именно все реакции связей, заранее не известны. Если их необходимо определить, то в процессе решения задачи следует воспользоваться уравнениями связей. Дифференциальные уравнения при этом записываются в той координатной системе, которая наиболее удобна.

Так, для математического маятника (рис.1.6) использование естественной координатной системы и угла отклонения в качестве обобщенной координаты позволяет получить систему дифференциальных уравнений, в которой неизвестная сила натяжения нити входит только во второе уравнение системы

;

.

Отмеченная особенность позволяет сначала решить первое уравнение и определить закон движения маятника, а затем воспользоваться вторым уравнением для определения силы натяжения нити.

В качестве примеров разберем в общем виде постановку и ход решения двух задач в прямоугольной декартовой координатной системе .

Задача 1. На материальную точку массой , лежащую на гладкой неподвижной поверхности, заданной уравнением , действует заданная сила . Найти уравнение движения точки, а так же реакцию поверхности.

Решение. Обозначим неизвестную нормальную силу реакции поверхности (вследствие гладкости последней сила трения отсутствует). Тогда уравнения (1.6) примут вид

; (1.11)

Составим выражения для направляющих косинусов углов внешней нормали к поверхности (и силы , соответственно) с осями координат:

,

где

.

Таким образом:

, (1.12)

Обозначив и подставив выражения для из (1.12) в (1.11), получим:

; (1.13)

Дифференциальные уравнения (1.13) называют дифференциальными уравнениями Лагранжа первого рода для движения несвободной материальной точки.

Дифференциальные уравнения (1.13) и уравнение поверхности позволяют найти четыре неизвестные функции времени – координаты точки и неопределенный множитель Лагранжа . Постоянные интегрирования определяются из начальных условий. По найденному неопределенному множителю Лагранжа легко определить силу реакции поверхности , которая при движении точки по поверхности, в общем случае, изменяется во времени.

Заметим, что если поверхность не гладкая, то кроме нормальной составляющей силы реакции возникает сила трения скольжения , где - коэффициент трения. Сила трения скольжения всегда направлена против скорости (которая, в свою очередь, совпадает с касательной к траектории движения); для учета этой особенности проекции силы на оси координат можно представить в виде

,

В новой постановке задача существенно усложняется, но принципиально разрешима, так как наряду с добавлением неизвестной силы добавляется и уравнение, связывающее эту силу с нормальной составляющей силы реакции.

Задача 2. На материальную точку массой , расположенную на гладкой неподвижной кривой, образованной пересечением двух поверхностей и , действует заданная сила . Найти уравнение движения точки, а так же реакцию взаимодействия с кривой.

Решение. Поверхности создадут для движущейся точки нормальные реакции и соответственно; поэтому полная реакция кривой будет .

Отличие хода решения настоящей задачи от предыдущей состоит в том, что для каждой из поверхностей следует ввести свой неопределенный множитель Лагранжа.

Если при решении этой задачи использовать оси естественной координатной системы , то дифференциальные уравнения движения точки по гладкой кривой примут вид

; ; . (1.14)

Из первого дифференциального уравнения системы (1.14) можно найти закон движения точки и, следовательно, скорость . После этого из двух оставшихся уравнений можно определить проекции силы на главную нормаль и бинормаль.

Если в рамках обратной задачи для свободной материальной точки требуется определить величину и направление силы, вызывающей это движение, то решение получить достаточно просто: следует дважды продифференцировать по времени законы изменения выбранных координат, и найденные таким образом проекции ускорения на соответствующие оси домножить на массу точки. Полученные выражения и представляют собой проекции силы на оси выбранной координатной системы. После этого нахождение модуля силы и ее направляющих косинусов трудностей не вызывает.

ПРИМЕР 1.3. Судно массой , двигаясь с постоянной по модулю скоростью , совершает циркуляцию радиуса (см. рис.1.7.а). Зная метацентрическую высоту , кратчайшее

 

расстояние от центра тяжести до линии действия равнодействующей сил бокового давления (рис.1.7.б) и присоединенную массу жидкости при боковом движении судна, определить угол крена судна. Развалом бортов и углом дифферента пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Введем связанную с судном естественную координатную систему так, как показано на рис.1.7. Постоянство при циркуляции угла крена и осадки позволяет записать уравнения равновесия:

;

,

где - архимедова сила поддержания; - вес судна; - угол крена.

Решив систему уравнений относительно угла крена, получим

.

Величину неизвестной силы можно определить, если спроецировать основное уравнение динамики точки на ось :

.

После подстановки выражения для силы в формулу для угла крена имеем

.

Заметим, что если центр тяжести судна расположен ниже линии действия силы , то крен судна будет на противоположный борт.

Если на материальную точку наложены связи, то, используя их уравнения, из найденной равнодействующей может быть выделена равнодействующая реакций связей. В таком случае дополнительно следует решать задачу о разложении известной силы на ее составляющие.

В свою очередь полную силу реакции точки при ее движении обычно представляют суммой из двух составляющих. Составляющая, уравновешивающая постоянные заданные силы, называется статической реакцией. Другая составляющая полной силы реакции, зависящая только от движения точки под действием заданных сил, называется динамической реакцией (в (1.4.б) она уравновешивает силу инерции движущейся точки). Таким образом, если задан (известен) конкретный закон движения материальной точки, то легко определяется значение силы в каждый момент времени. Однако ответить однозначно на вопрос о структуре действующей силы при данной упрощенной постановке задачи оказывается невозможно.

Приведем пример. Допустим, что движение точки происходит вдоль оси по закону , где и - заданные величины. Находим изменение силы во времени:

, .

Возможно, что приведенное выражение представляет собой истинную структуру силы. С учетом того, что , выражение для силы можно переписать в виде

.

Если ; то для силы можно записать выражение .

Легко образуются и иные варианты. Критерием истинности полученной структуры силы будет сохранение описания движения при любых начальных условиях.

Задачи исследовательского характера требуют, как правило, расширенной постановки обратной задачи: дано в обобщенном виде (при любых начальных условиях) движение материальной точки заданной массы, требуется определить структуру силы, действующей на эту точку.

Покажем, как может быть выполнено решение такой задачи в случае прямолинейного движения материальной точки. В отличии от упрощенной постановки обратной задачи, когда было достаточно знать какой-либо один из случаев движения, в задаче о выявлении структуры силы нужно иметь ряд частных законов (записей) движения, полученных при различных начальных условиях. Указанные законы движения следует обобщить так, чтобы была образована зависимость координаты не только от времени, но и от начальных условий (обобщенный закон движения), т.е.

. (1.15)

Дифференцируя приведенное выражение по времени, последовательно находим скорость и ускорение точки в зависимости от времени и начальных условий:

, . (1.16)

Следовательно, для силы можно записать

. (1.17)

Теперь нужно из (1.15) и (1.16) выразить и через , а результат подставить в правую часть (1.17); это и даст искомое описание структуры силы в виде

.

Для однозначности решения необходимо, чтобы и были однозначно выражены через . Понятно, что изложенный способ, в принципе, может быть распространен на случай криволинейного движения точки.

ПРИМЕР 1.4. Результаты ряда наблюдений позволили получить общий закон движения материальной точки вдоль прямой в виде

.

Найти структуру силы, вызывающей такое движение.

РЕШЕНИЕ. Продифференцируем полученное выражение по времени. Тогда .

Выразим и через :

Еще раз дифференцируя выражение для скорости по времени и умножая результат на массу , образуем для силы выражение

.

Поскольку в данном случае сила зависит от скорости, заметим, что это описание единственным образом следует из обобщенного закона движения.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: