Удар по телу, имеющему ось вращения. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара

Пусть на тело, ось вращения которого в точке А имеет сферический шарнир либо подпятник, а в точке В – цилиндрический шарнир, действует ударный импульс . При этом в точках А и В должны возникнуть дополнительные опорные реакции, имеющие характер ударных сил. Определим эти реакции, полагая известными величины инерционных характеристик тела и ударного импульса.

Пусть ударный импульс приложен в точке М тела. Совместим плоскость с плоскостью, походящей через точку С - центр масс тела (см. рис. 5.5).

 

Спроецируем выражение (5.11) теоремы об изменении количества движения на оси выбранной координатной системы:

(5.16)

При записи учтено, что скорость центра масс параллельна оси и равна .

Для получения соответствующих проекций выражения (5.14) теоремы об изменении кинетического момента, запишем сначала соответствующие проекции момента ударного импульса как

где - координаты точки приложения ударного импульса. Учитывая, что , формулы (5.14) примут вид:

(5.17)

Из последнего уравнения (5.17) определяется приращение угловой скорости вращения; после этого оставшиеся уравнения (5.17) и (5.16) позволяют рассчитать проекции ударных импульсов, действующих на опоры.

Что бы сформулировать условия отсутствия ударных реакций, положим в формулах (5.16) и (5.17) проекции ударных импульсов равными нулю. Тогда

(5.18)

Из второго и третьего уравнений вытекает первое условие отсутствия ударных реакций - ударный импульс должен быть перпендикулярен плоскости, проходящей через центр масс и ось вращения.

Для большей ясности последующих рассуждений, перенесем начало координатной системы в точку О. Заметим, что хотя структура формул (5.18) при этом не изменяется, величина . В таком случае четвертое и пятое уравнения в (5.18) могут выполняться только при ; этот вывод позволяет сформулировать второе условие отсутствия ударных реакций - ось вращения должна быть главной осью инерции тела для точки О.

Из первого и последнего уравнений (5.18) находим величину

. (5.19)

Таким образом получаем последнее, третье, условие – расстояние от точки приложения ударного импульса до оси вращения должно удовлетворять (5.19).

Косой центральный удар двух шаров

Для двух шаров, изображенных на рис.5.6, известны массы и , скорости их движения и , а так же их направления (углы и с линией общей нормали) до удара, найти величины и направления соответствующих скоростей после удара.

Из определения центрального удара , так как центры масс шаров (и, следовательно, центр масс механической системы) лежат на линии общей нормали. Тогда по (5.13) и , т.е. при центральном ударе угловые скорости шаров не изменяются.

Воспользуемся теоремой об изменении количества движения (5.11). В отсутствии импульсов внешних сил имеем . Вычислим проекцию этой скорости на ось как

.

Теперь для каждого из шаров составим выражение для коэффициента восстановления при ударе как отношение проекций на ось относительных скоростей до и после удара:

.

Полученные выражения позволяют вычислить проекции на ось скоростей центров шаров после удара как

Условие сохранения проекций на ось скоростей центов шаров позволяет записать соотношения

и , где и - значения углов и после удара.

Учтем, что а . Перепишем проекции на ось скоростей центров шаров после удара

;

.

Теперь для вычисления соответствующих углов получим выражения

.

Для нахождения численных значений скоростей центров шаров после удара можно воспользоваться записанными формулами

; .

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какое взаимодействие принято называть ударом? Как изменяются положение и скорость точек соударяющихся тел? Как учитывается действие сил, незначительно изменяющихся в процессе удара?

2. Что такое коэффициент восстановления при ударе? Какой удар называют абсолютно упругим (неупругим)? Какие величины следует измерить для вычисления коэффициента восстановления при падении шарика на горизонтальную неподвижную поверхность?

3. Какой удар называется косым? Как найти скорость и угол отскока шарика от гладкой неподвижной поверхности, если скорость до удара, угол падения и коэффициент восстановления известны?

4. Как вычислить величину кинетической энергии, перешедшей в другие виды энергии вследствие удара?

5. Сформулируйте теоремы об изменении количества движения и кинетического момента механической системы для процесса удара.

6. Решите следующие задачи из [2]: 44.2; 44.6; 44.9; 44.17; 44.25.

 

⇐ Предыдущая12345678910

Поделиться: