Допущения элементарной теории гироскопов. Свойства гироскопа

Гироскопом называется симметричное твердое тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии (собственное вращение). Эта ось может менять свою ориентацию в пространстве. Примерами таких тел могут служить волчок с неподвижной точкой О (рис.4.1.а), гироскоп с двумя (рис.4.1.б) и тремя (рис.4.1.в) степенями свободы.

Благодаря ряду специфических свойств гироскопические устройства широко применяются в технике. Эти свойства можно достаточно полно объяснить с помощью элементарной (приближенной) теории гироскопов.

Пусть однородное тело совершает быстрое вращение вокруг собственной оси симметрии с угловой скоростью , а эта ось, в свою очередь, вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси (см. рис. 4.1.а). Для абсолютной угловой скорости справедлива формула .

Свяжем с телом координатную систему Оxyz так, чтобы ось совпадала с осью собственного вращения; оси этой системы являются главными осями инерции тела.

Выражения для проекций кинетического момента тела на оси и имеют вид

, (4.1)

где - соответствующие осевые моменты инерции тела.

В общем случае направления векторов и не совпадают. Однако, если , то и можно приближенно записать

. (4.2)

Равенство (4.2) выражает основное допущение элементарной теории гироскопов: кинетический момент гироскопа направлен по собственной оси симметрии.

Для изучения движения гироскопа (точнее – его оси) воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента (2.18) в интерпретации Резаля: скорость конца вектора кинетического момента равна главному моменту внешних сил относительно неподвижной точки О, т.е.

. (4.3)

Соотношение (4.3) позволяет найти закон движения оси гироскопа по заданному моменту внешних сил либо по заданному движению гироскопа определить момент сил, вызывающий такое движение.

Рассмотрим основные свойства гироскопа с тремя степенями свободы, изображенного на рис.4.1.в. Если гироскоп уравновешен, то и согласно (4.3) . В таком случае ось гироскопа сохраняет неизменным свое направление в инерциальной координатной системе отсчета при любых движениях основания гироскопа. Отмеченное свойство оказывается полезным при конструировании гирогоризонталей и горовертикалей, а так же указателей направлений на условно неподвижные звезды.

Отметим, что если подобрать специальным образом , можно добиться сохранения гироскопом неизменности направления своей оси и в неинерциальной системе отсчета (например, в системе отсчета, связанной с Землей). Последнее свойство используется при конструировании гирокомпасов.

Другим важным свойством оказывается нечувствительность быстро вращающегося гироскопа к действию кратковременных сил. Причина - только во время действия таких сил (в действительности после кратковременного действия сил ось гироскопа совершает затухающие малые нутационные колебания, которыми в элементарной теории гироскопов пренебрегают).

Все эти свойства гироскопов широко используются в системах навигации.

 

Прецессия оси гироскопа

Если на ось быстро вращающегося гироскопа подействовать постоянной силой (см. рис.4.1.в), то согласно (4.3) конец вектора приобретает скорость в направлении момента , т.е. ось гироскопа начнет двигаться перпендикулярно линии действия приложенной силы (возникает прецессия гироскопа). Угловая скорость прецессии может быть найдена, если приравнять следующие выражения для :

и . (4.4)

Таким образом, получим

, (4.5)

где - угол нутации, т.е. угол между векторами и (см. рис.4.1.а). На рис. 4.1.в угол нутации равен .

ПРИМЕР 4.1. На какое расстояние ОС= следует сместить центр тяжести гирокомпаса, чтобы ось его вращения всегда указывала на географический полюс Земли?

РЕШЕНИЕ. Поскольку Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью , необходимо, чтобы ось гирокомпаса совершала прецессию с (конечно, если при раскручивании гирокомпаса его ось направить на географический полюс Земли). Из рис.4.1.а следует, что момент силы веса . Подставим полученное выражение в (4.4) и найдем интересующее нас расстояние

.

Заметим, что в рассмотренном случае угловая скорость прецессии не зависит от угла нутации , который сохраняет свое значение с начала движения гирокомпаса.

 

Гироскопический момент

Перейдем к рассмотрению обратной задачи динамики гироскопа.

Пусть гироскоп с двумя степенями свободы (см. рис.4.1.б) вращается с угловой скоростью вокруг собственной оси симметрии АВ, а ось, в свою очередь, вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Момент внешних сил, под действием которого прецессирует гироскоп, создается силами, приложенными к оси гироскопа со стороны подшипников А и В. По третьему закону Ньютона на подшипники со стороны оси гироскопа действуют равные и противоположно направленные силы и . Главный момент этих сил относительно неподвижной точки О называется гироскопическим моментом. Он может быть вычислен на основании (4.3) и (4.4):

. (4.6)

Отсюда следует правило Грюэ – Жуковского: при сообщении оси быстро вращающегося гироскопа принудительной прецессии его ось стремиться кратчайшим путем установиться таким образом, чтобы направления векторов и совпадали.

ПРИМЕР 4.2. Определить усилия гироскопической природы, действующие на опоры ротора турбины, при циркуляции катера (см. рис.4.2). Осевой момент инерции ротора турбины , угловая скорость его вращения , расстояние между опорами АВ= , радиус циркуляции и скорость движения катера известны.

РЕШЕНИЕ. Подставляя в (4.6) значение гироскопического момента (здесь - модуль сил ) и , находим: .

 

Заметим, что найденные реакции могут существенно превышать реакции от силы веса турбины. Действуя через подшипники на корпус катера, они могут вызвать его дифферент. Подобный эффект наблюдается и у винтовых самолетов на виражах.

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Сформулируйте основное допущение элементарной теории гироскопов.

2. Запишите теорему об изменении кинетического момента в трактовке Резаля.

3. Как найти угловую скорость прецессии оси гироскопа, если известен момент внешних сил, на него действующих (осевой момент инерции гироскопа и скорость его вращения вокруг собственной оси заданы)?

4. Что такое гироскопический момент и как его вычислить, если известны осевой момент инерции гироскопа, а так же угловые скорости прецессии и собственного вращения.

5. Решите следующие задачи из [2]: 40.1; 40.4; 40.8; 40.12.

 

 

Элементарная теория удара

Основные допущения

При контакте двух тел в точке соприкосновения возникают равные противоположно направленные силы действия и противодействия. Закон изменения этих сил приведен на рис.5.1. Импульс силы за время ее действия определяется как

. (5.1)

Поскольку при ударе время действия силы несоизмеримо меньше промежутков времени, для которых обычно рассматривается движение, величину полагают равной нулю. В таком случае рассмотрение результата действия силы за промежуток времени заменяется рассмотрением приложения мгновенного импульса конечной величины (5.1). Мгновенное действие силы, при котором ее импульс имеет конечную величину, называется ударом, а соответствующая сила – ударной силой.

Найдем, как изменяется скорость и положение материальной точки при действии ударной силы (мгновенного импульса). Для этого запишем в интегральной форме теорему об изменении ее количества движения

или , (5.2)

где - масса точки, а и - ее скорость в конце и в начале удара, соответственно. Так как импульс имеет конечную величину, то при ударе скорость точки мгновенно изменяется на конечную величину.

Перепишем (5.2) в виде . Разделив переменные и взяв интегралы от обеих частей равенства, получим (используя теорему о среднем из курса интегрального исчисления)

, (5.3)

где и - радиусы – векторы точки в начальный и конечный момент времени, а - среднее значение импульса на промежутке [0; ]. Анализ (5.3) показывает, что при действии ударной силы перемещение точки отсутствует (при перемещение точки ).

Если на точку действует ударная сила и обычная медленно меняющаяся во времени сила , то их суммарный импульс за время будет

, где последний интеграл записан по теореме о среднем. Очевидно, что при последнее слагаемое так же стремиться к нулю и .

На этом основании при исследовании процессов, происходящих при ударе, медленно изменяющиеся ограниченные по модулю силы не учитываются.

Все сказанное справедливо для любых сил, изменение которых происходит по закону, изображенному на рис.5.1 (например, при взрыве).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: