![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси
2.4.1. Кинетический момент механической системы. Момент количества движения материальной точки относительно выбранного центра называется ее кинетическим моментом
здесь Кинетическим моментом
Проецируя (2.12) на оси неподвижной декартовой системы координат
Для механических систем с непрерывным распределением массы в выражениях (2.12) и (2.13) суммирование следует заменить интегрированием. Кинетический момент системы, вычисленный относительно неподвижного центра О (его проекция на ось, проходящую через точку О), является векторной мерой, характеризующей вращение механической системы относительно неподвижного центра (оси). В качестве примера вычислим кинетический момент тела при его вращении вокруг неподвижной точки и вокруг неподвижной оси. Выделим в твердом теле в окрестности точки, положение которой определяется радиусом – вектором Тогда кинетический момент
В декартовой координатной системе
В сжатом виде это выражение обычно записывают так:
Величины называются моментами инерции тела относительно осей Из шести моментов инерции составляют симметрическую матрицу
которую называют тензором инерции. С помощью тензора
В частном случае, когда тело вращается вокруг неподвижной оси
2.4.2. Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра. Рассмотрим механическую систему из Выражение (2.5) векторно домножим на
Первое слагаемое в правой части представляет собой главный момент
Окончательно получится следующий результат
являющийся математической записью теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра О: производная по времени от кинетического момента механической системы, вычисленного относительно неподвижного центра, равна главному моменту внешних сил относительно этого центра. Проецируя (2.19) на оси декартовой координатной системы
Из формулы (2.19) следует, что если главный момент внешних сил окажется равным нулю, то на рассматриваемом интервале времени кинетический момент механической системы не изменяется. Если окажется, что равна нулю проекция на какую-либо координатную ось главного момента внешних сил, то будет постоянной проекция на эту ось вектора кинетического момента механической системы. ПРИМЕР 2.4 (задача 37.58 из [2]). Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной скоростью Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный Определить угловую скорость РЕШЕНИЕ. Рассмотрим механическую систему, состоящую из поворотного крана и тележки. Внешними усилиями, действующими на нее, являются силы веса, силы реакций в опорных подшипниках А и В, момент Составим для рассматриваемой механической системы последнее выражение из (2.20):
Разделим переменные и выполним интегрирование. Тогда
Составим выражение для кинетического момента системы
2.4.3. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси
где ПРИМЕР 2.5 (задача 37.9 из [2]). Шарик А, находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня АВ длины Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости вращения: РЕШЕНИЕ. Рассмотрим твердое тело в виде оси СD и стержня АВ, масса
Разделим переменные и возьмем от обеих частей равенства определенные интегралы
Окончательно для искомого промежутка времени получим выражение
Для нахождения сделанного числа оборотов вернемся к исходному дифференциальному уравнению. Выполним замену переменных, умножив и разделив его левую часть на
Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от обеих частей равенства:
Окончательно для числа оборотов получим выражение
Заметим, что ход решения не отличается от выполненного в примере 1.2.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-17; Просмотров: 597; Нарушение авторского права страницы