Принцип Даламбера для механической системы.

Для которой точки системы запишем

(к = 1, 2, …, 4) (4.49)

Принцип. Если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной. Таким образом, принцип Даламбера математически задачи динамики сводит к задачам статики о равновесии, часто упрощая соответствующие расчеты.

Выражение (4.49.) суммируем по k = 1, 2, …, n и умножив его слева векторно на радиусы-векторы соответствующих точек, снова суммируем по k = 1, 2, …, n

, (4.50)

Здесь , на основании свойств внутренних. Введем обозначения ,

Тогда из равенства (4.32.) получим

, , (4.51)

где , – соответственно главный вектор и главный момент относительно центра О системы сил инерции.

 

На основании ранее рассмотренных теорем можно записать

, , (4.52)

Следовательно, главный вектор сил инерции механической системы равен произведению массы системы на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению; главный момент сил инерции механической системы относительно центра О или оси Z равен взятой со знаком минус производной по времени кинетического момента системы относительно того центра или той же оси.

Частные случаи.

1. Поступательное движение. В этом случае . Тогда все силы образуют систему направленных сил и имеют равнодействующую, проходящую через центр, точку масс, точку С.

2. Вращательное движение. Пусть твердое тело имеет плоскость симметрии и вращается вокруг оси Тогда

Таким образом, система сил инерции вращающегося тела, приводится к силе , определяемой формулой (4.52) и приложенной к точке О (рис.4.3.) и паре с моментом , определяемым формулой (4.53.)

Если тело вращается вокруг центральной оси , проходящей через центр масс С тела, то = 0, т.к. = 0. Следовательно, в этом случае система сил инерции тела приводится к паре с моментом

Рис. 4.3

3. Плоскопараллельное движение. Если тело имеет плоскость

симметрии и движется параллельно этой плоскости, то система сил инерции тела приводится к лежащим в плоскости симметрии силе , приложенной к центру масс тела С, и паре с моментом

Задача Д4

Вертикальный вал АК (рис.Д4.0 – Д4.9), вращающейся с постоянной угловой скоростью = 10 , закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2 (AB=BD=DE=EK=a) К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой m =10 кг, состоящий из частей 1 и 2 (размеры частей стержня показаны на рисунках, где b = 0, 1 м, а их массы пропорциональны длинам), и невесомый стержень длиной l = 4b точечной массой = 3 кг. На конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы даны в столбцах 5-8.

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять a =0, 6 м.

Указания. Задача Д-8 – на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела ( в данной задаче стержня) имеют равнодействующую , то численно , где - ускорение центра масс С тела, но линия действия силы в общем случае не проходит через точку С (см. Пример Д4).

	Таблица Д4

 

Номер условия	Подшипник в точке	Крепление в точке	, град	, град	, град	, град
Ломаного стержня	Невесомого стержня
Рис. 0-4	Рис.5-9
	B	D	K
	K	B	D
	K	E	B
	D	K	B
	K	D	E
	E	B	K
	E	D	K
	K	B	E
	D	E	K
	E	K	D

 

 

	Рис. Д4.0		Рис. Д4.1		Рис. Д4.2

 

 

 

	Рис. Д4.3		Рис. Д4.4		Рис. Д4.5

 

Рис. Д4.8

Рис. Д4.7

Рис. Д4.6

 

 

 

Рис. Д4.9

 

 

	Рис. Д4

 

 

 

	Рис. Д4

Пример Д4. Вертикальный вид длинной 3а(АВ = BD = DE = a), Закрепленный подпятником А и подшипником D (рис. Д4, а), вращается с постоянной угловой скоростью К валу жестко прикреплен в точке Е ломанный однородный стержень массой и длинной 10b, состоящий из двух частей 1 и 2, а в точке B прикреплен невесомый стержень длинной l = 5b с точечной массой на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Дано:

Определить: реакции подпятника А и подшипника D, пренебрегая весом вала.

Решение.

1. Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепленные к нему в точках B и E стержни (рис. Д4, б). Массы и веса частей 1 и 2 ломанного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны

(1)

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси так, чтобы стержни лежали в плоскости xy, и изобразим действующие на систему силы: активные силы – силы тяжести и реакции связей составляющие реакции подпятника и реакцию цилиндрического подшипника .

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломанного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения, а численно где - расстояние элементов от оси вращения. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения, а численно где - масса элемента. Так как все пропорционально то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 – прямоугольник (рис. Д4, б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение где - масса тела, - ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

(2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

(3)

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

(4)

Где - расстояния центров масс частей стержня от оси вращения, а - соответствующие расстояния груза:

(5)

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5), получим числовые значения и :

(6)

При этом линии действия равнодействующих и пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия действия проходит на расстоянии от вершины треугольника , где

3. Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой системы сил три уравнения равновесия. Получим

(7)

Где - плечи сил относительно точки А, равные (при подсчетах учтено, что )

(8)

Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из равенств (1), (5), (6), (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

Ответ:

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: