Локально-ситуационные модели сложных систем

 

Метод основан на гипотезе «монотонности пространства решений»: похожие входные ситуации приводят к похожим результатам системы.

Рассмотрим алгоритм на примере статического однофакторного объекта (один вход один выход), тогда модель строится в два этапа.

Пусть имеет место пассивный эксперимент. На первом этапе «начальный эксперимент» фиксируется N значений (x – вход, y – выход). На втором этапе, объем которого за ранее не определен, для каждой новой точки x*, y* в N определяется М ближайших точек (узлов) x*.

По данным узлам строится аппроксимированная зависимость обычно линейного вида. По данной зависимости определяется выход модели . Проверяется неравенство < d, где d – заданная точность модели. Если неравенство выполняется, то опыт признается удачным и точка (x*, y*) отбрасывается. Если неравенство не выполняется, то данная точка включается в базу данных N. Это происходит до тех пор, пока не будет подряд отброшено точек. задается заранее.

 

X1 X*=X5 X2 X3 X* X4

 

 

 

На втором этапе построение модели для каждой вновь вводимой точки (x*, y*) блок «набор решающих правил» выделяет в базе данных модели, строит аппроксимированную зависимость, вычисляет выход модели и принимает решения, нужно ли включать данную точку в базу данных модели. При исключении модели выход системы определяется по предъявленному входу на основе выбранных ближайших узлов и аппроксимированной зависимости. Построенная модель представляет собой базу экспертных значений.

Преимущество: может моделировать систему, простота компьютерной реализации.

 

4.5 Многокритериальный выбор альтернатив на основе теории нечетких множеств

Часто принимаемое решение характеризуется при помощи нескольких показателей качества.

Пусть имеется три альтернативы, и . Каждое альтернативное решение характеризуется показателями качества:

· - снижаем цену на товар;

· - без изменений;

· - повышение цены.

При этом рассматриваются следующие критерии:

· - повышение доли рынка;

· - прибыль;

· - отношение потребителей;

· - коэффициент абсолютной ликвидности.

Пусть для каждой альтернативы определены конкретные значения критериев качества.

, %
, млн. руб.
, %
, ед.	0, 1	0, 3	0, 2

 

Строится функции принадлежности, характеризующие нечеткие множества желаемых значений показателя качества (желаемая доля рынка).

 

 

 

40% 50% 100%

 

 

Для каждого представления в таблице показателя качества по каждой альтернативе определяется значение функции принадлежности указанной нечетким множеством.

Оптимальная альтернатива определяется на основе пересечения нечетких множеств.

Тогда - по столбцам определяем минимальный выигрыш. Оптимальная альтернатива определяется как ; 0, 4 – альтернатива два.

Нужно выбрать решение два. Данный пример относится к случаю, когда критерии равнозначны. Если критерии не равнозначны, то используются новые коэффициенты, полученные на основе метода парных сравнений критериев.

 

4.6 Многокритериальный выбор альтернатив на основе теории нечетких множеств

 

Пусть задано множество альтернатив A, и каждая альтернатива характеризуется критериями качества j = 1, …m.

Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества j представлена в форме отношения предпочтения . Таким образом, имеется m предпочтения на множестве A и требуется выбрать лучшую альтернативу из множества .

Данный метод основан на ряде определений:

1) нечеткое отношение R на множестве A (нечеткое подмножество) декартово произведения A x A, характеризующиеся функцией принадлежности из диапазона [0, 1]. Значение (a, b) определяется как степень выполнения операции ;

2) рефлексивность отношения определяется правилами:

· если (и, и)=1, то отношение рефлексивное;

· если (и, и)< 1, то отношение слаборефлексивное;

· если (и, и)=0, то отношение антирефлексивное;

· если (и, и)> 0, то отношение слабоантирефлексивное.

3) нечеткое отношение предпочтения на множестве A – любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение, функция принадлежности, которая вычисляется следующим образом:

4) пусть A – множество альтернатив, - заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества описывается функцией принадлежности.

,

sup – супремум (четкая верхняя граница);

5) четко недоминируемая альтернатива – та, для которой . Множество таких альтернатив ;

6) носитель нечеткого множества B с функцией принадлежности .

Процедура решения задачи выполняется в несколько этапов:

· строится нечеткое отношение Q1, которое пересечением исходных отношений предпочтения, то есть , и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве ;

· строится нечеткое отношение Q2: , где - коэффициент относительной важности критериев, для которых должно выполнятся . После этого определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве ;

· отыскиваются пересечение множеств и : ;

· рационально считается выбор альтернатив из множества . Наиболее рациональной считается альтернативой из множества - та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.

 

Предмет теории игр

Основные понятия

Во многих задачах приходится сталкиваться с ситуацией принятия решения в условиях неопределенности.

Неопределенности могут быть как результатом выполнение операции, так и сознательных действий противника конкурента.

При решении практических задач приходится анализировать такие ситуации, когда результат какого-либо мероприятия зависит от того, какие действия предпримет соперник. Такие ситуации называются конфликтными.

Теория игр – это математический аппарат конфликтных ситуаций, позволяющий выбрать рекомендации по рациональному действию участников конфликта.

Игрой называется модель конфликтных ситуаций с использованием математических правил. Отличие от реальной конфликтной ситуации в том, что игра ведется по определенным правилам. Примерами таких игр могут быть: шашки, шахматы и др.

Игра с нулевой суммой называется игра, если один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой.

Правило игры – это система условий регламентируемая:

· возможные варианты действий игроков;

· объем информации каждой стороны о поведение другой;

· результат игры, к которой приводит каждая данная совокупность ходов.

Обозначим a выигрыш игрока A, и b выигрыш игрока B. В дальнейшем будем себя ассоциировать игроком A.

Так как игра рассматривается с нулевой суммой, то a=-b. B – противник (конкурент).

Ходы бывают случайные и личные.

Случайным называют ход, когда выбор из ряда возможностей осуществляется не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, карты).

Стратегией игры называется совокупность правил, определенных выбором варианта действий, при каждом личном исходе игрока в зависимости от ситуации сложившейся в ходе игры.

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, в противном случае игра называется бесконечной.

Оптимальной называется стратегия, если она при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основой при выборе стратегии является предположение, что противник, по меньшей мере, также разумен, как и мы, сами и делает все возможное для того, чтобы помешать «нам» добиться своей цели.

Поэтому в теории игр не учитываются просчеты игроков, элементы риска и азарта.

 

Платежная матрица

Рассмотрим конечную игру, в которой игрок A имеет m-стратегий, а игрок B-конкурент n-стратегий. Такая игра называется m x n игрой. Стратегии: A1, A2, …, Am; B1, B2, …, Bn – конкурент.

Предположим, что «мы» выбрали стратегию Ai, а конкурент стратегию Bj. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий Ai и Bj однозначно определяют исход игры: «нам» выигрыш , которое может быть как больше нуля, так и меньше нуля.

Если игра состоит как из личных, так и из случайных ходов, то выигрыш при паре Ai и Bj – есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. В этом случае оценка выигрыша является математическим ожиданием случайного выигрыша.

Предположим, что нам известно при каждой стратегии. Эти значения можно записать в виде таблицы (матрицы):

 

 

Ai/Bj	B1	B2	…	Bn
A1			…
A2			…
…	…	…	…	…	…
Am			…

 

Такая таблица называется платежной матрицей или матрицей игры.

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: