Изменчивость тел полезных ископаемых

И способы ее изучения

 

Наиболее характерной особенностью геологических объектов является их изменчивость, под которой понимается непостоянство значений признаков в различных точках пространства. Именно эта особенность создает наибольшие трудности при разведке месторождений, осложняя распространение данных, полученных в точках наблюдения, на объем тела, расположенный между этими точками. Если бы не было изменчивости, одно единственное наблюдение в любой точке давало бы полное и точное представление об изученном объекте. В случае же различных результатов наблюдений для достижения этой цели понадобится установить не только пределы изменений наблюдаемых значений, но и закон, по которому они меняются, а также объем тела, в пределах которого этот закон сохраняется. Поэтому умение оценить изменчивость объекта и в соответствии с этим выбрать правильные способы его изучения чрезвычайно важно для геолога.

В понятии изменчивости можно выделить три основных аспекта: ее степень, характер и структуру.

Степень изменчивости характеризуется амплитудой колебаний наблюдаемых значений признака. Чаще всего ее определяют через отклонения измеренных значений от их среднего значения, а мерой изменчивости служит коэффициент вариации. Обычно изучается изменчивость мощности рудных тел и качества полезных ископаемых, реже других параметров. По значению коэффициента вариации принято выделять пять групп (Н.В.Барышев, В.Н.Крейтер, 1940):

 

Номер группы	Изменчивость параметров	Коэффициент вариации, %
I	Весьма равномерная	< 20
II	Равномерная	20-40
III	Неравномерная	40-100
IV	Весьма неравномерная	100-150
V	Крайне неравномерная	> 150

Характером изменчивости называют способ изменения признака в пространстве. Эта сторона изменчивости имеет важное значение, ибо знание закономерностей изменения признака позволяет прогнозировать значения его для любых точек объекта. При одной и той же степени изменчивости характер ее может быть разным (рис.16). Более сложный характер изменчивости (рис.16, б) требует большего количества точек наблюдения при изучении объекта: при простой изменчивости для полного представления об изменении мощности залежи на данном участке достаточно любых двух замеров, а при сложной - необходимо гораздо больше. Кроме того, в первом случае замеры могут быть выполнены в любых точках, а во втором - желательно в точках перегиба поверхности тела. И, наконец, при простой изменчивости есть полная уверенность в том, что среднее значение мощности определено безошибочно, а значение мощности можно надежно прогнозировать в любой точке на изученном участке и - до определенных пределов - за его границами, тогда как при сложной изменчивости такой уверенности не существует.

Характер изменчивости может быть двух основных типов - случайный, при котором наблюдаемые в различных пунктах значения признаки не зависят друг от друга, и закономерный, при котором такие значения связаны между собой каким-либо законом изменения. Поскольку закономерная изменчивость связана с пространственным положением пунктов наблюдения, ее называют такжекоординированной. В реальных условиях всегда наблюдается сочетание случайной и закономерной изменчивости в различных пропорциях. В зависимости от их соотношения можно выделить три градации изменчивости:

- простая - преобладает закономерная изменчивость на фоне случайных колебаний;

– сложная – закономерная и случайная изменчивость присутствуют приблизительно в равных соотношениях;

– весьма сложная - преобладает случайная из­менчивость, тогда как закономерная изменчивость проявляется в виде тенденции, а иногда и вовсе отсутствует.

Частным случаем закономерной изменчивости является периодическая изменчивость, которая характеризуется частотой или длиной волны и амплитудой периодических колебаний. Возможно сочетание нескольких типов периодической изменчивости с различной длиной волны (рис.17).

Когда встречается сочетание различных видов изменчивости, то задача их изучения сводится к выделению из общей изменчивости закономерной и случайной, а при необходимости и периодической составляющей. Это необходимо, так как различные составляющие изменчивости по-разному учитываются при выборе методики изучения геологических объектов.

Структурой изменчивости называют различия в степени или характере изменчивости (или в том и другом одновременно) в пределах различных частей изучаемого объекта. По структуре изменчивость тел полезных ископаемых может быть изотропной и анизотропной. В свою очередь, анизотропия изменчивости может проявляться по площади тела или по определенным направлениям в его пределах. В первом случае говорят о разделении тела на однородные геологические блоки, каждый из которых характеризуется своим особым типом изменчивости, а во втором - об анизотропии признаков тела по различным направлениям.

В общем случае анизотропия изменчивости является отражением сложной природной структуры геологического объекта, возникшей в результате совместного действия геологических процессов, приведших к образованию объекта и его последующему изменению. Примерами могут служить первичные и вторичные рудные столбы, зоны эпигенетических изменений полезного ископаемого, размывы, раздувы и пережимы залежи, разрывные нарушения и др.

Выделение однородных геологических блоков (или просто геологических блоков) имеет значение при разведке, так как система изучения месторождения в соответствии с принципами равной достоверности должна быть дифференцированной применительно к особенностям этих блоков. Столь же важным, согласно этому принципу, является и установление анизотропии изменчивости геолого-промышленных параметров месторождения.

Все сказанное выше дает полное представление об изменчивости отдельных признаков геологического объекта. Изменчивость же объекта в целом является показателем синтетическим и устанавливается по совокупности характеристик изменчивости всех его параметров. Так, равномерную по мощности и неравномерную по качеству залежь следует относить в целом к неравномерной, а если она к тому же характеризуется сложной изменчивостью условий залегания, – то к весьма неравномерной. Аналогичным образом устанавливается общая изменчивость месторождения, исходя из изменчивости каждого из слагающих его тел или участков.

Кроме того, изменчивость одного и того же геолого-промышленного параметра (например, содержания полезного компонента) зависит от того, к какому объему пространства мы ее относим: в отдельном зерне минерала ею, как правило, можно пренебречь; при сравнении разных зерен этого минерала она меньше, чем при сравнении проб вкрапленных руд; в пределах одного геологического блока она иная, чем по рудному телу в целом и т.д. Это означает, что характеристика изменчивости должна быть связана с детальностью изучения и степенью обобщения данных о геолого-промышленных параметрах тел полезных ископаемых. Иначе говоря, изменчивость геологического объекта представляет собой систему соподчиненных уровней его изменчивости, соответствующих той или иной степени изучения и обобщения фактических данных. В порядке возрастания степени обобщения такими уровнями чаще всего являются: минерал - минеральный агрегат - разведочное пересечение - геологический блок - тело полезного ископаемого - месторождение. Каждому такому уровню соответствует свой условно однородный объект изучения и свои особенности исследования изменчивости.

Правильный выбор уровня изучения изменчивости в зависимости от конкретных задач, подлежащих решению, имеет значение и тесно связан с предполагаемым использованием получаемых результатов. Следует помнить, что ни в коем случае недопустимо применять выводы об изменчивости объекта, полученные для конкретного уровня его изучения, для решения практических задач иного уровня. Например, степень и характер изменчивости содержания полезного компонента, установленные по секционным пробам, не могут служить основанием для выбора густоты сети опробования - для решения этой задачи необходимо проанализировать изменчивость содержаний по разведочным пересечениями.

Способы анализа изменчивости многообразны. Условно - по ведущему принципу изучения - их можно объединить в две группы: геологические и математические способы. В основе каждой из этих групп лежит тип моделей, используемых для отображения изменчивости параметров объекта.

 

 

Геологические способы

 

Для выражения геологических представлений о существе объекта и изменчивости его признаков используют различные виды геометрических моделей. Эти модели чаще всего являются плоскостными графическими материалами, хотя могут быть применены также объемно-макетные модели скульптурного, рельефного, скелетного и других типов. В качестве примеров можно назвать планы в изолиниях (мощности, содержаний, метропроцентов, гипсометрические и др.), разрезы, погоризонтные планы, графики изменения геолого-промышленных параметров по каким-либо направлениям (скважинам, горным выработкам и др.), блок-диаграммы. На графических материалах наглядно отображаются степень, характер и структура изменчивости любого параметра месторождения или их совокупностей по определенным сечениям, на определенной площади или в пределах определенного объема. Универсальность, хорошая геологическая обоснованность и наглядность таких моделей делают их незаменимыми для изучения и прогнозирования изменчивости геологических объектов. Они были и остаются ведущим способом обоснования систем разведки месторождений.

Однако геологическое моделирование представляет собой сложную творческую задачу, которая зачастую допускает несколько различных ее решений. Причина этого кроется, с одной стороны, в сложности геологических процессов, которые в ряде случаев до конца не познаны, с другой стороны, в дискретности сети наблюдений геологических объектов. Изученные объемы их обычно несоизмеримо малы по сравнению с теми объемами, на которые распространяются результаты наблюдений, поэтому неизбежно возникает проблема выбора наиболее достоверной геологической модели.

Кроме того, геометризация геологических объектов и их признаков выполняется главным образом на основе представлений о простом (прямолинейном) характере изменения признаков между точками наблюдения, что далеко не всегда соответствует действительности. И, наконец, геологические методы не дают количественных показателей изменчивости изучаемых параметров и количественной оценки достоверности разведки. Следовательно, математическое обоснование геологической модели, математический анализ изменчивости геолого-промышленных параметров теми или иными способами в рамках выбранной модели являются совершенно необходимыми.

Тем не менее, всякий прогноз изменчивости геологического объекта должен начинаться именно с геологического прогноза. Только создав удовлетворительную геологическую модель объекта, можно приступать к математическому анализу изменчивости, ибо эта модель определяет разделение объекта на блоки с разными типами изменчивости, которые должны быть изучены раздельно. В противном случае окажутся неучтенными тектонические смещения тел полезных ископаемых, первичная и вторичная зональность этих тел, их эпигенетические изменения и другие особенности, что сделает математическую оценку изменчивости неверной.

 

 

Математические способы

 

Математические методы, применяемые для изучения и прогноза изменчивости геологических объектов, достаточно многочисленны и разнообразны. Объем и задачи учебника не позволяют подробно рассмотреть все методы, да в этом и нет необходимости, поскольку имеется целый ряд учебных и научных материалов, в которых соответствующие вопросы освещены с надлежащей полнотой и детальностью. Задача состоит в том, чтобы дать общее представление об основных направлениях математического решения рассматриваемой проблемы, кратко охарактеризовать наиболее распространенные математические способы изучения изменчивости, указать области их применения и оценить практическую значимость получаемых результатов.

Геологические объекты относятся к так называемым " плохо организованным природным системам", что объясняется сложностью породивших их геологических процессов. Вследствие этого они не поддаются точному количественному описанию и, как правило, взаимосвязь между их параметрами не может быть выражена строгим законом - его обычно заменяет модель, дающая лишь приближенное представление о строении объекта или динамике процесса. На базе геологических моделей создаются различные математические модели, которые можно сгруппировать следующим образом:

- детерминированные модели;

- статистические модели;

- модели геостатистические;

- разностные модели;

- модель на основе стационарных случайных функций;

- модели на основе нестационарных случайных функций.

Детерминированные модели основаны на допущении, что состояние или поведение системы пространственной переменной полностью определяется ее начальным или граничным состоянием. Эти модели полностью игнорируют случайную составляющую изменчивости, представляя ее как закономерную - прямолинейную при обычной интерполяции и экстраполяции фактических данных за пределы точек наблюдения или плавную криволинейную при использовании для этого кубических сплайн-функций. Их используют при построении изображений геологических объектов, но они играют второстепенную роль при математическом анализе изменчивости геолого-промышленных параметров.

Статистические модели относятся к числу наиболее распространенных и давно применяемых в практике геолого-разведочных работ. Они, в свою очередь, могут быть подразделены на одно-, двух- и многомерные. В первом случае решается задача обобщения результатов наблюдения какого-либо одного признака геологического объекта, а в остальных случаях выясняются взаимоотношения между несколькими признаками.

Применение одномерной статистической модели основано на предположении независимости значений изучаемого признака, т.е. полного отсутствия связи между наблюдаемыми его значениями и положением точек наблюдения в геологическом пространстве. В общем случае можно лишь считать, что чем выше степень изменчивости признака, тем полученные результаты ближе к статистической совокупности. Например, опыт показывает, что формулы математической статистики дают достаточно достоверные результаты при изучении изменчивости месторождений золота, платины, алмазов, редких и отчасти цветных металлов, мусковита и др., но оказываются совершенно ненадежными при оценке изменчивости залежей многих осадочных полезных ископаемых.

В практике разведочных работ одномерные статистические модели используются главным образом для численной оценки степени изменчивости геолого-промышленных параметров тел полезных ископаемых и месторождений, а также оценки точности полученных результатов. Важнейшими характеристиками таких моделей являются среднее значение изучаемого параметра x_ср, дисперсия s², среднеквадратичное отклонение s и коэффициент вариации V = s/х_ср.

Поскольку у реальных геологических объектов мы имеем дело с сочетанием случайной и закономерной изменчивости, статистические модели, считающие все изменения случайными, дают в таких случаях завышенную оценку изменчивости геолого-промышленных параметров. Во избежание этого необходимо выделять и исключать закономерную составляющую и рассчитывать коэффициент вариации только по случайной составляющей изменчивости.

Следует заметить, что при разведке месторождений чаще всего имеют дело с небольшими по размеру выборками значений изучаемого параметра, в силу чего оценка его среднего значения является случайной величиной и не соответствует математическому ожиданию, которое и представляет собой истинное среднее значение этого параметра для генеральной совокупности - геологического объекта в целом. Поэтому одной из важнейших задач является выбор наилучшего способа вычисления этой оценки и определение степени ее точности.

Известно, что статистические оценки могут быть точечными (они выражаются определенным числом) и интервальными (указывается некоторый интервал значений, в пределах которого находится истинное значение величины при заданной вероятности этого события).

Точечной оценкой истинного среднего является среднеарифметическое значение параметра x_ср. Интервальная оценка заключается в определении интервала, в котором находится истинное значение х_ист. Этот интервал выражается соотношением

где t - коэффициент вероятности; d - среднеквадратичная случайная погрешность среднего значения, n – количество наблюдений в выборке.

Коэффициент вероятности t зависит от вероятности p совпадения истинного и вычисленного среднего значения параметра. Значения коэффициента t при малом количестве наблюдений берутся из таблиц распределения Стьюдента при количестве степеней свободы k = n – 1 (см. табл.18 в подразделе 3.11), а при большом - из таблиц нормального закона. Практически при количестве наблюдений более 30 можно пользоваться следующими соотношениями, вытекающими из нормального закона распределения:

 

Вероятность р	0, 67	0, 82	0, 954	0, 997
Коэффициент t		1, 5

 

При сравнении изменчивости параметров различной размерности наряду с абсолютной используют относительную величину (коэффициент вариации), обычно выражаемую в процентах:

.

Коэффициент вариации имеет смысл при оценке изменчивости лишь тех геолого-промышленных параметров, для которых важны их средние значения и погрешности определения при разведке. Поэтому статистическая модель с успехом применяется для изучения изменчивости содержания компонентов в рудах и мощностей тел полезных ископаемых, но она непригодна для анализа условий залегания этих тел, их внутреннего строения и изменчивости качества нерудных полезных ископаемых, используемых как порода в целом (известняк, доломит, гипс и др.).

Двухмерные статистические модели позволяют выявить статистические связи между двумя случайными величинами и оценить их силу. Один параметр оруденения определяется по другому известному параметру, если между ними имеется сильная статистическая зависимость. Надежное прогнозирование осуществляется с помощью уравнения линейной регрессии, если коэффициент корреляции превышает 0, 87,

.

При использовании уравнения следует учитывать погрешность прогноза, которая зависит от дисперсии прогнозируемой величины, степени связи между величинами и принимаемой доверительной вероятности:

.

Двухмерные статистические модели чаще всего применяют для определения показателей качества полезных ископаемых по косвенным данным (содержания попутных компонентов полезных ископаемых в зависимости от содержания главных компонентов), для обработки результатов контроля геолого-разведочных работ, для уточнения параметров тел полезных ископаемых по данным их отработки и для решения других практических задач.

Многомерные статистические модели используются для прогноза значений какой-либо величины, корреляционно связанной с двумя и более величинами, а также для типизации и группировки геологических объектов (факторный и кластерный анализы).

Помимо рассмотренных выше классических статистических моделей существует еще ряд способов анализа изменчивости, использующих статистические идеи, т.е. независимость значений изучаемого параметра от положения точек наблюдения в пространстве. Бó льшая их часть основана на определении различных соотношений.

Чаще всего используется соотношение промышленных и непромышленных участков в теле полезного ископаемого, что позволяет в определенной мере охарактеризовать степень изменчивости изучаемых параметров. Одним из таких способов является расчет коэффициента рудоносности как отношения суммарных длин или площадей участков полезного ископаемого, отвечающих показателям кондиций, к общей мощности или площади рудоносного горизонта по тем же выработкам. В случае нерудных полезных ископаемых этот показатель называют коэффициентом кондиционности. Общепринятой классификации тел полезных ископаемых по значению таких коэффициентов пока не существует, но на основе имеющихся публикаций можно рекомендовать такую их группировку:

 

Тела	Коэффициент рудоносности (кондиционности)
Выдержанные	> 0, 95
Относительно выдержанные	0, 75-0, 95
Невыдержанные	0, 50-0, 75
Весьма невыдержанные	< 0, 50

 

Другим способом является определение показателя устойчивости тел полезных ископаемых в проекции на какую-либо плоскость. Показатель представляет собой отношение суммарной площади тела, в пределах которой оно имеет промышленную мощность, к общей площади тела на проекции. По значению показателя устойчивости выделяют четыре группы тел:

 

Тела	Показатель устойчивости
Устойчивые (непрерывные)
Относительно устойчивые (слабо прерывистые)	0, 75-1
Неустойчивые (прерывистые)	0, 50-0, 75
Крайне неустойчивые (сильно прерывистые)	< 0, 50

 

Третьим способом следует считать определение контурного модуля, дающего представление о сложности формы тела полезного ископаемого в проекции на какую-либо плоскость. Такой модуль может быть вычислен либо как отношение площади тела к длине его контура, либо как отношение фактической длины контура тела к теоретической длине контура равновеликой простой фигуры.

В первом случае получается величина, характеризующая ширину полосы, примыкающей к контуру тела, причем по мере усложнения формы проекции тела эта ширина уменьшается, что позволяет использовать такой показатель для классификации объектов по изменчивости их формы.

Во втором случае в качестве равновеликой фигуры может быть выбран круг, эллипс или прямоугольник. При этом формулы для вычисления теоретической длины контура таких фигур L_т имеют следующий вид: для круга, эллипса и прямоугольника соответственно

где S - площадь тела; a - отношение большой и малой полуосей эллипса; b - отношение длинной и короткой сторон прямоугольника.

Измерив фактическую длину контура тела L, несложно рассчитать контурный модуль по формуле K_м = L/L_т. По значению контурного модуля можно выделить четыре группы тел:

 

Номер группы	Форма	Контурный модуль Kм
I	Простая	1, 0-1, 2
II	Относительно простая	1, 2-1, 5
III	Сложная	1, 5-2, 0
IV	Весьма сложная	> 2, 0

Геостатистические модели основаны на предположении, что результаты наблюдений зависят от расположения пунктов наблюдений. При смещении начального пункта наблюдений результаты измерений меняются, и по этой причине их рассматривают как случайные величины. Однако средний квадрат разности измеренных значений зависит только от расстояния между пунктами наблюдений. Главной характеристикой геостатистических моделей служит вариограмма – функция среднего квадрата разности от расстояния между пунктами наблюдений (шага измерений). В зависимости от способа аппроксимации вариограммы различают несколько видов моделей: сферическая, логарифмическая, показательная и др. [3, 10, 15].

Разностные модели изменчивости основаны на изучении приращений значений признака между соседними точками наблюдения и имеют целью исключение влияния закономерной составляющей изменчивости для более правильной характеристики случайной изменчивости.

Модель со вторыми разностями впервые была предложена Д.А.Казаковским [9] и нашла широкое практическое применение. Впоследствии на ее базе была разработана видоизмененная модель З.Д.Низгурецкого, а Е.И.Попов применил вторые разности для оценки площадной изменчивости при построении гипсометрических планов.

Метод Д.А.Казаковского разработан для правильных квадратных сетей и позволяет оценивать изменчивость геолого-промышленных параметров, которые могут быть изображены в виде топографических поверхностей, главным образом для изучения изменчивости мощности тел полезных ископаемых. Сначала вычисляют первые разности значений признака по соседним точкам:

а затем находят вторые разности как приращения соседних первых разностей:

Абсолютной мерой изменчивости является показатель сложности топографической поверхности m_а, который представляет собой среднее значение абсолютной величины вторых разностей:

,

где k - количество вторых разностей.

Относительная изменчивость признака оценивается с помощью показателя изменчивости m, который представляет собой выраженное в долях единицы отношение показателя сложности поверхности m к среднему значению изучаемого параметра j_ср.

Д.А.Казаковский установил экспериментальную зависимость между показателем изменчивости объекта и степенью его изученности: R = n/1000m, где n - количество наблюдений изучаемого параметра.

При доверительной вероятности 0, 67 показателю разведанности соответствуют следующие значения относительной погрешности статистической оценки среднего значения параметра:

 

Показатель разведанности, доли единицы	0, 29	0, 14	0, 05	0, 02
Относительная погрешность среднего значения, %

 

Вторая разность m является аналогом второй производной функции пространственной переменной и связана с кривизной поведения параметра в пространстве. Если параметр меняется по закону прямой линии, то вторая разность (и вторая производная) равна нулю. Чем больше значения параметра отклоняются от прямой линии, тем больше вторая разность.

Одно из преимуществ модели на основе вторых разностей перед статистическими состоит в том, что она устраняет влияние закономерной изменчивости на степень случайной изменчивости. Когда шаг между пунктами наблюдений мал, вторые разности близки к нулю (рис.18). Это значит, что при малом шаге наблюдений поведение параметра между точками наблюдений практически прямолинейное, следовательно, сеть наблюдений позволяет исчерпывающим образом изучить поведение параметра в пространстве, а прямолинейная интерполяция его значений достаточно точно характеризует поведение параметра между точками наблюдений.

По мере увеличения шага наблюдений, начиная с шага h_min, вторые разности растут, т.е. наблюдается зависимость между вторыми разностями и шагом наблюдений. Начинает сказываться криволинейность в поведении значений параметра. Линейная интерполяция лишь приближенно отражает поведение параметра в пространстве, а значения параметра представляют собой зависимые случайные величины.

После достижения некоторого шага наблюдений h_max вторые разности перестают расти и стабилизируются около предельного значения m_пр, которое пропорционально коэффициенту вариации V. В данном случае действуют статистические закономерности, значения параметра представляют собой независимые случайные величины, а линейная интерполяция значений между точками наблюдений носит формальный характер и не отражает фактического поведения параметра.

Таким образом, график вторых разностей (рис.18) дает возможность судить о том, насколько надежно разведочная сеть выявляет истинное поведение параметра в пространстве, и позволяет дать некоторые рекомендации по рациональной плотности разведочной сети. Сгущать разведочную сеть до шага, меньшего h_min, , не следует, так как это практически не улучшает достоверность результатов. Желательно иметь плотность разведочной сети в пределах от h_min до h_max, чтобы выявить пространственное поведение параметра. Шаг наблюдений больше h_max не дает надежных сведений о пространственных закономерностях размещения параметра и пригоден лишь для грубой статистической его оценки.

При неравномерной сети наблюдений вместо вторых разностей можно воспользоваться градиентом значений признака между соседними точками наблюдений: g_i = (j_i+1 – j_i)/h_i, где h_i - расстояние между соседними точками наблюдения. Далее находят разности соседних градиентов Dg, определяют сумму абсолютных значений этих разностей и абсолютный показатель изменчивости, аналогичный показателю сложности топографической поверхности Д.А.Казаковского:

,

где k - количество разностей градиентов.

Отнеся абсолютный показатель изменчивости к среднему значению признака, получим индекс изменчивости I = D/j_ср, который может быть рассчитан и при непостоянных расстояниях между выработками.

Модели на основе случайных функций используются для количественного описания изменчивости признака (пространственной переменной) в зависимости от местоположения пунктов наблюдений. В основе модели лежит гипотеза, что значение признака является случайной функцией координат:

.

Случайная функция состоит из двух частей: закономерной m(x) и случайной d(x) составляющих. Закономерную часть называют математическим ожиданием случайной функции. Значения случайной функции, получаемые в результате эксперимента, заранее неизвестны и называются ее реализацией. Основными характеристиками случайной функции j(x) являются ее математическое ожидание, дисперсия случайной составляющей, автоковариационная и автокорреляционная функции. Математическое ожидание m(х) представляет собой наиболее вероятное значение случайной функции в точкax х. Дисперсия случайной составляющей D выражается формулой

.

Автоковариационная функция K(h) представляет собой среднее произведение соседних отклонений на расстоянии h:

где n - количество наблюдений; m - количество пар соседних отклонений.

Наконец, автокорреляционная функция r(h) представляет собой отношение автоковариационной функции к дисперсии:

r(h) = K(h)/D.

Главная трудность применения случайных функций состоит в том, что результаты геологических наблюдений представляют собой, как правило, лишь одну ее реализацию, и характеристики случайной функции можно найти либо тогда, когда она является стационарной и эргодичной, либо при введении дополнительных гипотез.

Стационарной называют случайную функцию, у которой характеристики не меняются при сдвиге сети наблюдений. Она имеет постоянные математическое ожидание и дисперсию, а корре­ля­ционная функция ее зависит лишь от расстояния h между соседними пунктами наблюдения, т.е. по существу является функцией одного аргумента. Эргодической именуют стационарную случайную функцию, одна реализация которой на большом интервале экви­валентна большому числу реализаций на малом интервале.

Модель на основе стационарной случайной функции получила наибольшее применение в практике геолого-разведочных работ. В этой модели предполагается, что математическое ожидание – величина постоянная, т.е. закономерные изменения признака в пространстве отсутствуют. Тогда математическое ожидание (оценка математического ожидания) равно среднему значению признака: m(х) = j_ср, а случайные отклонения находят по формуле d(x) = j(x) – j_ср. Дисперсия, автоковариационная и автокорреляционная функции вычисляются по формулам, приведенным выше.

Из перечисленных характеристик наибольший интерес представляет автокорреляционная функция r(h), которая показывает степень связи соседних значений признака в зависимости от шага наблюдений h. При h = 0 корреляционная функция r = 1, с увеличением шага наблюдений значение r убывает и стремится к нулю. Предельный шаг наблюдений, при котором коэффициент автокорреляции становится неотличимым от нуля, называется радиусом автокорреляции R, он соответствует максимальному расстоянию, на котором еще обнаруживается взаимосвязь соседних наблюдений.

Теоретическая автокорреляционная функция показана на рис.19, а. Часто наблюдающиеся на практике отклонения реальных графиков от теоретической картины (переход коэффициента автокорреляции в область отрицательных значений, его незатухающая периодичность и др.) указывают на то, что изменчивость изучаемых объектов более сложная и не удовлетворяет требованиям стационарности. На практике автокорреляционная функция вычисляется по дискретным данным и изображается ломаной линией. За радиус автокорреляции обычно принимают тот шаг, при котором линия автокорреляции первый раз пересекает линию абсцисс.

Автокорреляционная функция зависит от направления, в котором изучается изменчивость параметров, поэтому она дает представление об анизотропии изменчивости. Чем больше радиус автокорреляции в данном направлении, тем медленнее меняется значение параметра, тем меньше его изменчивость. Если значение радиуса автокорреляции одинаково по всем направлениям, то геологический объект является изотропным. Радиус автокорреляции характеризует средний размер области влияния одного наблюдения, что используется при обосновании плотности разведочной сети. Для надежного установления поведения параметра между пунктами наблюдений необходимо, чтобы расстояние между ними не превышало двух радиусов, т.е. области влияния соседних наблюдений перекрывались.

Ж.Матерон [15] предложил оценивать изменчивость параметров с помощью вариограммы g(h), лежащей в основе геостатистической модели:

Вариограмма является дополнением автоковариационной функции до дисперсии параметра: g(h) + K(h) = D (рис.19, б).

На основании корреляционных функций и вариограммы можно решать следующие задачи:

- судить об однородности объекта и наличии закономерностей в пространственном размещении признаков объекта;

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: