Составные части задачи. Этапы решения задачи и

Вопрос 1.

Составные части задачи. Этапы решения задачи и

Приёмы выполнения этих этапов.

Текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Составные части текстовой задачи :

1.Условие – то, что известно в задаче.

2.Требование-то, что надо узнать в заадче.

3.Решение – выполнение арифметических действий.

4.Ответ-результат полученных действий

Этапы решения задачи.

I. Этап восприятия и осмысления текста задачи.

II. Этап поиска плана решения текстовой задачи.

III. Этап составления плана решения задачи.

IV. Этап осуществления плана решения задачи.

V. Проверка решения задачи.

Решение текстовой задачи арифметическим методом предполагает организацию процесса работы, которую удобно представить в виде схемы

Деятельность по решению задачи включает несколько этапов, и каждый предполагает использование различных приёмов. Рассмотрим
методику работы на примере решения следующей задачи:

V. Проверка решения задачи.

Цель этапа - установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача.

Рассмотрим основные:

Прикидка

2. Установление соответствия между результатом и условием задачи.

Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.

3. Решение задачи другим способом.

Пусть при решении задачи каким-то способом получен некоторый результат. Если её решение другим способом приводит к тому же результату, то задача решена верно.

Составление и решение задач, обратных данной.

Вопрос 2.

Методы и способы решения текстовых задач. Моделирование в процессе решения задач.

1)Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.

 

Решить задачу арифметическим методом — это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Решить задачу алгебраическим методом — это значит найти ответ на требование задачи посредством решения уравнения или системы уравнений.

Моделирование в процессе решения текстовых задач

Математическая модель – это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений.

Модель это своеобразная копия задачи. На ней должны быть представлены все её объекты, все отношения между ними, указаны требования.

Математической моделью решения текстовой задачи является:

- выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом;

- уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.

Три этапа математического моделирования:

I этап - это перевод условий задачи на математический язык. При этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними

II этап - внутримодельное решение (т.е. нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнения)

III этап - интерпретация (перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача).

Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет I этап математического моделирования.

Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели - схемы, таблицы и т.п. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой:

от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче,

к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и т.д.)

от нее - к математической, на которой и происходит решение задачи.

Модели

Схематизированные	Знаковые
Вещественные: Инсценировка сюжета задач	Графические: Условный рисунок, схематичный чертёж	Краткая запись задачи, таблицы, выражение, уравнение, система уравнений

Вопрос 3.

Задачи «на движение».

Встречное движение.

= ; = + ; s= + =

Например: № 1. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и через 5 часов встретились. Один из них ехал быстрее другого на 16 км/ч. Найти скорости автомобилей.

Решение.

1) 600: 5= 120( км/ч) – скорость сближения

2) 120-16= 104(км/ч)- две меньших скорости

3) 104: 2= 52(км/ч) – меньшая скорость

4) 52+16=120-52= 68(км/ч) – большая скорость

Ответ: скорости автомобилей 52км/ч и 68 км/ч.

2. Движение в одном направлении ( движение с опережением; движение вдогонку):

а) Движение начинается одновременно из двух разных пунктов.

б) Движение начинается из одного пункта в разное время.

Например,

№ 2. Из двух пунктов, между которыми 30 км, одновременно в одном направлении выехали 2 мотоциклиста. Скорость одного 50 км/ч, скорость другого – 40 км/ч. Через сколько часов первый догонит второго.

Решение.

1) 50-40= 10 (км/ч) – скорость сближения

2) 30: 10= 3(ч.)

Ответ: первый мотоциклист догонит первого через 3 часа.

№ 3. В 7 часов из Москвы со скоростью 60 км/ч вышел поезд. В 13 часов следующего дня в том же направлении вылетел самолёт со скоростью

660 км/ч. Через какое время самолёт догонит поезд?

Решение.

1) 24-7+13= 30(ч) – был в пути поезд до вылета самолёта

2) 60 30= 1800( км) – путь, который прошёл поезд до вылета самолёта

3) 660- 60= 600(км) – скорость сближения

4) 1800: 600= 3(ч.)

Ответ: через 3 часа самолёт догонит поезд.

3. Движение в противоположных направлениях:

а) Движение начинается из одного пункта одновременно.

б) Движение начинается из одного пункта в разное время.

Например,

№ 4. Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 часа?

Решение.

1) 60+70= 130(км/ч) – скорость удаления

2) 130 3= 390(км)

Ответ: 390 км будет между поездами через 3 часа.

№ 5. От станции отправился поезд со скоростью 60 км/ч. Через 2 часа с этой же станции в противоположном направлении вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа после выхода второго поезда?

Решение.

1) 60 2= 120(км) – пройдёт первый поезд до выхода второго

2) 60+70=130( км/ч) – скорость удаления

3) 130 3= 390( км) – удалились поезда за 3 часа

4) 390+ 120= 510(км)

Ответ: 510 км будет между поездами через 3 часа после выхода второго поезда.

4. Движение по воде.

= + ; = - ; = ( + ): 2.

№ 6. 360 км катер проходит за 15 часов против течения и за 12 часов по течению. За сколько часов он пройдёт 135 км по озеру?

1)360: 12= 30(км/ч) – скорость по течению

2) 360: 15= 24(км/ч) – скорость против течения

3) 24+30= 54(км/ч) – две собственные скорости

4) 54: 2= 27(км/ч) – собственная скорость

5) 135: 27= 5(ч)

Ответ: за 5 часов катер пройдёт 135 км по озеру.

 

Вопрос 4.

Задачи «на процессы»

1.Подходы к решению различных видов задач «на движение» можно применять и при решении задач на другие процессы.

 

№ 1. В первом резервуаре 380 куб. метров воды, а во втором –1500 куб. м. В первый каждый час поступает по 80 куб. м воды, а из второго выкачивают по 60 куб. м воды. Через сколько часов воды в них станет поровну?

Решение: Задача аналогична задаче на встречное движение.

1) 1500- 380 = 1120 ( куб. м) – разность объёмов воды.

2) 80+60= 140(куб. м) – скорость сближения.

3) 1120: 140= 8(ч.)

Ответ: через 8 часов в резервуарах воды станет поровну.

 

Основные приёмы решения задач на нахождение четвёртой пропорциональной величины:

а) методом приведения к единице;

б) через кратное отношение заданных однородных величин.

№2. Для соблюдения собачьей диеты каждой собаке породы сенбернар на день требуется по 2 кг мяса и по 4 кг пшена для каши. Сколько килограммов мяса и пшена надо закупить на 5 дней для трёх собак?

Решение:

1 способ (методом приведения к единице)

 

	На 1 собаку	Кол-во собак	Всего кг
Мясо	2 кг	3 шт.	? кг
Пшено	4 кг	3 шт.	? кг

Способ.

1) 2*5=10(кг) – мяса на 1 собаку на 5 дней

2) 10*3=30(кг) – мяса для 3 собак на 5 дней

3) 4*5=20(кг) – пшена на 1 собаку на 5 дней

4) 20*3=60(кг) – пшена для 3 собак на 5 дней

Ответ: 30 кг мяса и 60 кг пшена для 3 собак на 5 дней.

2 способ. (методом приведения к единице)

	За 1 день	Кол-во дней	Всего кг
Мясо	2 кг	5 шт.	? кг
Пшено	4 кг	5 шт.	? кг

1) 2*3= 6(кг) – мяса для 3 собак на 1 день

2) 6*5= 30(кг) – мяса для 3 собак на 5 дней

3) 4*3= 12(кг) – пшена для 3 собак на 1 день

4) 12*5=60(кг) – пшена для 3 собак на 5 дней

Ответ: 30 кг мяса и 60 кг пшена для 3 собак на 5 дней.

3 способ.( через кратное отношение заданных однородных величин)

1) 2*3= 6(кг) – мяса для 3 собак на 1 день

2) 6*5= 30(кг) – мяса для 3 собак на 5 дней

3) 4: 2= в 2(раза) на 1 день больше пшена, чем мяса.

4) 30*2=60(кг) - пшена для 3 собак на 5 дней

Ответ: 30 кг мяса и 60 кг пшена для 3 собак на 5 дней.

 

Вопрос 5.

 

Вопрос 6.

Приёмы организации деятельности учащихся при формировании умения решать задачи (преобразование данной задачи, сравнение, задачи с недостающими и с избыточными данными, моделирование)

 

Процесс решения задачи является многоэтапным:

Математическое решение

Решение задачи и проверка правильности её решения.

Выбор схемы

Выбор вопросов

Выбор выражения

Выбор данных

Выбор решения задачи.

Для отработки коммуникативных навыков можно использовать памятку:

1. Известно…

2. Надо узнать…

3. Объясняю…

4. Решаю…

5. Ответ…

Вопрос 7.

Вопрос 8.

Вопрос 9.

Вопрос 10.

Вопрос 11.

Вопрос 12.

Т. – 4 б.

6-4=на 2 (б.)

Вопрос 13.

Вопрос 14.

Обратная задача.

 

При составлении задач на нахождение неизвестного компонента арифметического действия используется ключевой слово « несколько».

Например,

На нахождение неизвестного слагаемого.

Было – 5яблок.

Добавили несколько яблок.

Стало – 8 яблок.

Сколько яблок добавили?

На нахождение неизвестного уменьшаемого.

Было несколько машин,

Уехало - 5 машин.

Стало - 3 машины.

Сколько было?

Обратные задачи используются для установления взаимосвязи между данными и искомыми в прямой задаче, для проверки решения данной задачи.

В них известно то, о чём спрашивается в исходной задаче, а надо узнать то, что в прямой задаче известно.

Например,

 

Вопрос 15.

Вопрос 16.

Памятка работы над задачей

1. Читай задачу и представляй себе то, о чем говорится в задаче.

2. Запиши задачу кратко или выполни чертеж.

3. Объясни, что показывает каждое число, и назови вопрос задачи.

4. Подумай, какое число получится в ответе: большее или меньшее, чем данные числа.

5. Подумай, можно ли сразу ответить на вопрос задачи, если нет, то почему? Что можно узнать сначала, что потом?

6. Составь план решения задачи.

7. Выполни решение.

8. Ответь на вопрос задачи.

9. Проверь решение.

 

Можно выделить следующие методические приёмы формирования умения решать составные задачи:

1. фронтальная беседа;

2.преобразование простой задачи в составную;

3.составление условия по данному решению;

4.решение задач с недостающими и избыточными условиями;

5.изменение одного из данных задачи;

6.интерпретация задачи в виде схемы или таблицы и др.

В начальной школе практикуются следующие формы записи решения составной задачи:

1) по действиям;

2) по действиям с пояснением;

3) по действиям с вопросами;

4) выражением;

5) уравнением;

6) с помощью графической или схематической модели.

Для более полного понимания школьниками составной задачи учитель может использовать и комбинированную форму записи решения.

Вопрос 17.

17. Задачи на нахождение четвёртого пропорционального.

Пример

№1. Поезд проходит 320 км за 5 ч. Какое расстояние он пройдёт за 10 часов, двигаясь с этой же скоростью? » Учащиеся составляют краткую запись задачи в виде таблицы и анализируют:

	s	v	t
I	320 км	Одинаковая	5 ч
II	? км	10 ч

Чтобы найти расстояние, пройденное поездом, надо его скорость умножить на время движения. Время известно по условию – 10 ч. Скорость движения поезда можем найти, зная, что за 5 ч он прошёл 320 км. Поэтому по формуле пути скорость поезда равна (320: 5) км/ч.

Решение

1-й способ: (320: 5) =64 10 = 640 (км) 2-й способ: 320 (10: 5)=320 =640 (км)

Вопрос 18.

Задачи на пропорциональное деление.

В задачах на пропорциональное деление даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и сумма соответствующих значений другой переменной величины. Слагаемые этой суммы являются искомыми. С каждой из групп можно составить 6 видов задач на пропорциональное деление. В начальной школе изучаются только 4 из них, с прямой пропорциональной зависимостью. Все задачи на пропорциональное деление решаются способом нахождения постоянной величины.

Пример

Для сада купили в питомнике 14 кустов красной и чёрной смородины по одинаковой цене. За красную смородину заплатили 250 руб., а за чёрную – 450 руб. Каких кустов купили больше и на сколько?

	цена	количество	стоимость
Красная смородина	Одинаковая	? к. на? к. больше	250 руб.
Чёрная смородина	? к	450 руб.
К + Ч	14 к.	(250+450) руб.

 

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, надо узнать, сколько было кустов красной и чёрной смородины и из большего числа вычесть меньшее. Количество кустов каждого вида можно найти, разделив их стоимость кустов на их общее количество».

1) 250 + 450 = 700 (руб.) – общая стоимость кустов;

2) 700: 14 = 50 (руб.) – цена 1 куста смородины;

3) 250: 50 = 5 (к.) – купили красной смородины;

4) 450: 50 = 9 (к.) – купили чёрной смородины;

5) 9 – 5 = 4 (к.).

Вопрос 19.

Пример

На двух участках посадили одинаковыми рядами кусты смородины. На одном участке посадили 648 кустов, а на другом – 504 куста. Сколько рядов смородины было на каждом участке, если на первом участке было посажено на 4 ряда больше?

	На 1-м ряду	Кол-во рядов	Всего кустов
I	Одинаковая	? р.	648 к.
II	? р.	504 к.
I - II	На 4 р.	? к.

 

Решение.

1)(648-504): 4=144: 4=36(к.)- в каждом ряду

2)648: 36=18(р.)- на первом участке

3)504: 36=14(р.) или 18-4=14(р.)- на втором участке

Вопрос 20.

Способ.

1)60+70=130(км/ч)- скорость удаления

2)130•3=390(км)

Ответ: 390км – расстояние между поездами через 3 часа.

Способ

70+100: 5=90(км/ч)

Способ

(70•5+100): 5=90(км/ч)

Ответ: 90км/ч-скорость легковой машины.

Вопрос 21.

Нестандартные задачи.

Воспитание интереса младших школьников к математике, развитие их математических способностей невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических фокусов, числовых головоломок, арифметических ребусов и лабиринтов, дидактических игр, стихов, задач-сказок, загадок и т.п.

Начиная с первого класса, при решении такого рода задач, как и других, предлагаемых в курсе математики, школьников необходимо учить применять теоретические сведения для обоснования рассуждений в ходе их решения; правильно проводить логические рассуждения; формулировать утверждение, обратное данному; проводить несложные классификации, приводить примеры и контрпримеры.

Нестандартные задания по математике, используемые в начальной школе , условно можно разделить на следующие классы:

1.задачи на установление взаимно-однозначного соответствия;

2.задачи о лжецах;

3.задачи, решаемые с помощью логических выводов;

4.задачи о переправах;

5.задачи о переливаниях;

6.задачи о взвешиваниях;

7.комбинаторные задачи.

Способы решения таких задач:

1.Составление таблиц (переливание, задачи о лжецах).

2.Использование рисунка и рассуждения по рисунку

3.Оформление схем или блок- схем. (Задача про козу, волка и капусту).

(блок-схема - взвешивание монет)

Как распознать вид задачи? Первым признаком является характер требования задачи. По этому признаку выделим 3 вида задач:

· Задачи на нахождение искомого (вычислительные задачи).

· Задачи на доказательство или объяснение (верность, ложность утверждения, объяснение какого - то фактора).

· Задачи на преобразование или построение (сконструировать что -то, изменить).

Комбинаторные задачи, предлагаемые в начальных классах, как правило, носят практическую направленность и основаны на реальном сюжете. Система упражнений строится таким образом, чтобы обеспечить постепенный переход от манипуляции с предметами к действиям в уме.

Например:

Число перестановок из трёх элементов

УМК «Школа 2100»2класс, 1 ч. Стр. 17 № 8.

У Кати есть три карандаша: красный, желтый и синий. Она начала раскрашивать рыбок всеми возможными способами. Как ей закончить работу?

Решение: 1 рыбка(к., ж., с.), 2 рыбка (к., с., ж.), 3рыбка(Ж., К., С.), 4рыбка(Ж., С., К.), 5рыбка(С., К., Ж.), 6 рыбка(С., Ж., К.).

Вопрос 1.

Составные части задачи. Этапы решения задачи и

123456Следующая ⇒

Поделиться: