ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ АМПЛИТУД НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Описанные выше методы анализа случайных нелинейных колебаний не являются универсальными. Они не позволяют достичь высокой точности при оценке вероятностных распределений амплитуд в том случае, когда связь между изучаемым выходным процессом и входным процессом существенно нелинейна. В такой ситуации в лучшем случае удается получить только достаточно грубые оценки одного или двух параметров распределения. Само же распределение принимается обычно как гипотеза и может значительно отличаться от реального. В связи с этим представляется актуальной разработка таких способов оценки вероятностных распределений, которые давали бы возможность достоверной оценки не только параметров распределений с заранее заданной формой, но и позволяли бы без излишних затрат времени находить саму форму плотности вероятности изучаемых амплитуд выходного процесса. Вероятностные распределения амплитуд представляют особый интерес в задачах, связанных с оценкой прочности и надежности судовых конструкций. Подобной разработке посвящены работы [59] и [64].

Рассматривается стационарный режим случайных колебаний устойчивой нелинейной динамической системы, находящейся под воздействием входного случайного процесса (например, морского волнения), обладающего свойствами стационарности, нормальности и узкополосности. Математическая модель такой системы обычно формируется в виде нелинейной системы дифференциальных уравнений вида (4.1) относительно фазовых координат .

При решении задач статистической динамики механических систем, в которых взаимовлияние отдельных спектральных составляющих входного процесса на характеристики выходного процесса выражено слабо, входной процесс будем моделировать с помощью неканонического разложения (1.50) [59], полагая , т.е. представлять этот процесс в виде функции трех независимых случайных величин R, W и :

, (4.18)

где - случайная величина, подчиняющиеся закону Релея с параметром, равным дисперсии нормального процесса ; - случайные величины с ПРВ p_w, равной отношению спектральной плотности S_w процесса к дисперсии ; - случайный фазовый угол, распределенный равномерно на промежутке [0, 2p].

Стационарная часть решения системы (4.1) (описывающая установившиеся колебания) может быть представлена в виде

Z_i(t) = j_i(R, W, t), (4.19)

а амплитуда колебательного процесса (или амплитуда огибающей процесса) – в виде

.

Будем фиксировать значения случайных параметров R и W на нескольких уровнях (r₁, r₂, ..., r_k,..., r_m; w₁, w₂, ..., w_l, ..., w_m). При гармоническом внешнем воздействии с амплитудой r_k и частотой w_l стационарное решение (4.19) уравнения (4.1) и амплитуда будут иметь вид

z_ikl(t) = j_i(r_k, w_l, t); .

Будем различать следующие виды откликов (выходных процессов) z_ikl(t) на гармоническое возмущение (рис. 4.1):

1) моногармонический отклик; 2) полигармонический отклик с основной гармоникой (с частотой возмущения) и ультрагармоническими составляющими; 3)полигармонический отклик с основной и субгармоническими составляющими (рис.4.1в); 4) хаотический отклик (рис.4.1г), при котором очень малые неточности задания начальных условий приводят с течением времени к неопределенности (непредсказуемости) фазовых координат; одним из проявлений такого отклика является формирование непрерывного спектра выходного процесса при гармоническом возмущении.

Рис.4.1. Виды нелинейных колебаний, вызванных гармоническим возмущением:

а) моногармонический отклик; б) полигармонический отклик с ультрагармоническими составляющими; в) полигармонический отклик с субгармоническими составляющими; г) хаотический отклик.

1 - процесс колебаний; 2 - огибающая процесса; 3 - гармонические составляющие процесса.

 

Предположим, что входное воздействие на рассматриваемую нелинейную систему представляет собой случайный процесс с амплитудой, зафиксированной на уровне

 

. (4.20)

 

Тогда, в случае реализации моногармонических откликов, математическое ожидание выходного процесса и дисперсию его амплитуд (отсчитываемых от уровня математического ожидания процесса) можно определить, принимая во внимание выражение (1.49) для плотности вероятностей величины , следующим образом

 

,

 

где z_ik(w) и a_ik(w) - зависимости ординат и амплитуд выходного процесса от частоты при регулярных (неслучайных) воздействиях на систему c амплитудой r_k.

Аналогичным образом определяются характеристики и при реализации ультрагармонических откликов, имеющих место, в частности, при анализе изгибающих моментов в поперечных сечениях судна, состоящих из волновой (статической) и динамической (вибрационной) составляющих. Однако в этом случае выделяется огибающая выходного процесса, изменяющаяся с частотой возмущения w_l, и под эквивалентной амплитудой выходного процесса понимается амплитуда огибающей (рис. 3.1б).

Более сложные ситуации возникают при реализации субгармонических и хаотических откликов. В этих случаях для любого внешнего воздействия с амплитудой r_k и частотой w_l предлагается выполнение оценки эквивалентных (в смысле среднего значения энергии выходного процесса) амплитуд откликов.

Важным частным случаем субгармонического отклика является наблюдающийся в некоторых линейных и нелинейных системах параметрический резонанс, при котором имеет место существенное повышение амплитуд колебаний при соотношениях между частотой возмущения w_l и собственной частотой системы w_с w_l /w_с @ k/2, где k =1, 2, ... В большинстве случаев интерес представляют резонансы при малых значениях k (не более двух или трех). В соответствии с принятыми подходами к анализу параметрической бортовой качки энергия выходного процесса рассматривается как сумма энергий гармонических колебаний, происходящих как на частоте возмущения, так и на субгармонических частотах, а амплитуда эквивалентного отклика рассматривается как геометрическая сумма амплитуд колебаний на упомянутых частотах.

Несмотря на кажущуюся экзотичность, режимы хаотических колебаний встречаются в практике расчетов внешних сил и качки не так уж редко [59]. В случае их реализации под эквивалентной понимается такая амплитуда, квадрат которой равен математическому ожиданию квадрата амплитуд хаотического процесса, вызванного гармоническим возмущением.

Выполним статистическую линеаризацию рассматриваемой системы при воздействии вида (4.20), принимая зависимость между параметрами входного и выходного процессов в виде

.

Здесь k_i - коэффициент статистической линеаризации по случайной составляющей, который будем определять на основе равенства значений дисперсий амплитуд процессов на выходе нелинейной системы и на выходе эквивалентной ей линеаризованной системы, т.е. с использованием формул типа (4.10):

.

Таким образом, на каждом из уровней амплитуд входного процесса связь между случайными амплитудами входного (R) и выходного (A_i) процессов можно (по крайней мере, приближенно) представить в виде

(4.21)

Найденная таким образом функция R(A_i) зависит не только от свойств системы, но и от параметров внешнего воздействия (случайного процесса x(t)). Сама же процедура отыскания этой функции может быть названа условной линеаризацией, поскольку выполняется при условии фиксирования случайной амплитуды волнения R и поэтому не является полной. При выполнении такой линеаризации используется принцип равенства дисперсий амплитуд реального и линеаризованного процессов, а определение дисперсии при фиксированном уровне амплитуд возмущающего процесса производится с использованием правила суммирования квадратов амплитуд гармонических составляющих случайных функций. При этом квадраты амплитуд рассматриваются как случайные величины.

Дальнейший ход решения поставленной задачи состоит в аппроксимации функции R(A_i) сплайнами или полиномом и последующим применением метода функционального преобразования случайных величин для нахождения вероятностных распределений амплитуд выходного процесса. В частности, наилучшее приближение функции R(A_i) может быть найдено с помощью полинома

. (4.22)

Здесь b_j - неизвестные коэффициенты; A_i - амплитуды огибающей выходного процесса.

Для отыскания коэффициентов b_j можно использовать различные детерминированные и вероятностные подходы. В частности, при детерминированном подходе полином, наилучшим образом аппроксимирующий функцию , может быть найден с помощью метода наименьших квадратов. Однако более корректным представляется вероятностный подход, при котором коэффициенты b_j выбираются из условия минимума дисперсии разности - .

Выполняя операции возведения в квадрат и математического ожидания в выражении

,

а затем дифференцируя полученную алгебраическую сумму по b_j и приравнивая результаты к нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно b_j с симметричной матрицей коэффициентов, имеющую вид

 

,

где

.

 

При вычислении интегралов, входящих в выражения для математических ожиданий, целесообразно воспользоваться квадратурными формулами Гаусса и рекомендациями В.И.Чернецкого [83, 88-89].

Зная ПРВ случайной величины r и функциональную связь ее с амплитудой a_i в форме (4.22), можно определить ПРВ амплитуды с помощью функционального преобразования случайных величин:

. (4.23)

Сопоставление полученных с помощью этой формулы результатов расчетов ПРВ пиковых значений изгибающих моментов в миделевом сечении глиссирующего судна с другими оценками, найденными с помощью методов статистической линеаризации и функционального преобразования случайных величин, приводится на рис. 4.2. Расчетные исследования показали, что при относительно малой степени нелинейности системы (вплоть до ситуации, к которой имеют отношение изображенные на рис. 4.2а ПРВ, когда сугубо нелинейные слагаемые в функции дают в области экстремальных значений такие же величины, что и линейные члены) метод статистической линеаризации обеспечивает приемлемую точность определения ПРВ. При более высокой степени нелинейности (рис. 4.2б) целесообразно применение предлагаемого метода.

Рис.4.2. Сопоставление ПРВ амплитуд изгибающих моментов, найденных с помощью различных методов:

а) при числе Фруда по водоизмещению Fr_D=0, 8; б) при Fr_D=4, 5.

1 - по методу статистической линеаризации; 2 - по предлагаемому методу; 3 - на основе функционального преобразования случайных величин с использованием зависимости между амплитудами волн и изгибающего момента, соответствующей условному максимуму амплитуды момента в частотном диапазоне.

 

На основе выполненных расчетов можно сформулировать некоторые практические рекомендации по применению метода статистической линеаризации в задачах статистической динамики судна. Использование метода правомерно для определения вероятностных распределений амплитуд суммарных нагрузок на конструкции корпуса во всех случаях, когда волновая составляющая нагрузки не превышает половины от суммарной нагрузки (в области экстремальных значений). Вместе с тем, в большинстве случаев он не может быть использован для вероятностного анализа динамической (ударной) составляющей нагрузки. Можно считать также, что применение метода не приведет к существенной погрешности в расчетах амплитуд перемещений точек судна при качке, если прогнозы на основе линейных уравнений качки и с учетом нелинейностей в этих уравнениях не расходятся более чем в два раза.

В том случае, когда для вероятностного анализа не требуется определение ПРВ и можно ограничиться нахождением функции распределения амплитуд, целесообразно видоизменить процедуру вычислений. Вместо отыскания функции R(A_i) в форме (4.22) будем определять обратную по отношению к ней функцию

, (4.24)

используя приемы нахождения коэффициентов c_j, аналогичные применявшимся при вероятностном подходе к оценке коэффициентов b_j. Тогда для вычисления неизвестных c_j получим систему линейных алгебраических уравнений

 

,

где

Для вычисления квантиля порядка F распределения амплитуд A_i необходимо определить квантиль того же порядка распределения амплитуд волн и подставить его значение в выражение (4.24) взамен величины R. Вычисленное при этом значение величины A_i будет равно искомому квантилю. Например, для определения амплитуды выходного процесса с обеспеченностью 10^-4 нужно подставить в это выражение квантиль порядка 0, 9999 распределения амплитуд волн r_{0, 9999}»4, 29 .

Для выявления некоторых особенностей предложенного метода решения нелинейных задач статической динамики судна полезно рассмотреть 2 частных случая.

Случай 1. Для систем со слабой нелинейностью (например, при слабой нелинейности качки судна) зависимость (4.22) можно принять линейной, т.е. . При этом значения коэффициентов b₀ и b₁ определяются по формулам

(4.25)

Следовательно, в данном случае предложенный подход к решению нелинейных задач статистической динамики трансформируется в оригинальный вариант метода статистической линеаризации.

При переходе от нелинейной системы к устойчивой линейной системе, находящейся под воздействием входного центрированного нормального случайного процесса, функция k_i(r) превращается в константу. Тогда из (4.25) следует, что b₀=0; b₁= 1/k_i, а в силу зависимости (4.21) дисперсия выходного процесса D_i выражается следующим образом

D_i = k_i

где - амплитудно-частотная характеристика системы по i-тому выходу.

В соответствии с (4.23) плотность распределения вероятностей амплитуд выходного процесса выражается формулой (законом Релея)

.

Таким образом, при переходе от нелинейной системы к линейной все зависимости предложенного метода трансформируются к известным соотношениям статистической динамики линейных систем.

Случай 2. Рассмотрим нелинейную безынерционную систему. В этом случае частота входного процесса не влияет на амплитуды выходного процесса, зависящие только от амплитуд входного процесса R.. При воздействии на такую систему входного процесса (4.20) выходной процесс будет иметь дисперсию D_ik = a²(r_k). Следовательно, k_i(r_k) = a_i(r_k)/r_k, а отыскание плотности распределения вероятностей амплитуд (4.22) будет представлять собой построение некоторой функции r = f(a), обратной по отношению к a(r) и последующее функциональное преобразование в соответствии с (4.23).

Таким образом, предложенный метод решения нелинейных задач статистической динамики можно трактовать как обобщение известного подхода к исследованию безынерционных систем на случай динамических систем, обладающих инерционными свойствами.

Отметим, что при использовании предложенного метода анализа нелинейных систем на первом этапе расчета с учетом правила суммирования квадратов амплитуд гармонических составляющих случайных функций определяется зависимость между амплитудами входного и выходного процессов (или пиковыми значениями огибающих этих процессов). На втором этапе с применением метода функционального преобразования случайных величин на базе ПРВ амплитуд входного процесса строится вероятностное распределение амплитуд или пиковых значений огибающей выходного процесса. Заметим также, что данный метод может использоваться в таком варианте, при котором на первом этапе устанавливается связь между средними значениями квадратов амплитуд входного и выходного процессов (при определенных значениях ), а на втором этапе на основе экспоненциального распределения амплитуд процесса волнения находится ПРВ амплитуд или пиков огибающей выходного процесса.

Предложенный метод базируется на вероятностном анализе процессов качки и силовых воздействий на корпус в частотной области. В отличие от методов, ориентированных на исследовании этих процессов во временной области, он очень экономичен в отношении затрат машинного времени и хорошо приспособлен к существующим способам определения гидродинамических усилий при колебаниях судна и соответствующих гидродинамических коэффициентов в уравнениях качки, сильно зависящих от частоты волнения. Метод позволяет повысить точность расчетных оценок нагрузок, определяющих прочность судовых конструкций, и, тем самым, обеспечить их оптимальное проектирование и весовое совершенство, а также повысить эксплуатационную надежность и безопасность судов.

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: