Тема 1. Матрицы и определители

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БАРНАУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

 

 

Н.Т. Копылова

 

 

Математика

Конспект лекций

 

для студентов, обучающихся по направлению

38.03.02 «Менеджмент

 

Рассмотрен и одобрен

на заседании кафедры «Математика и информатика»

протокол № 1 от 28 августа 2015 года

 

 

Барнаул – 2015

 

Оглавление

Тема 1. Матрицы и определители. 3

Тема 2. Системы линейных уравнений. 14

Тема 3. Неотрицательные матрицы и модель Леонтьева. 21

Тема 4. Множества и прямое произведение. 25

Тема 5. Теория графов. 30

Тема 6. Теория пределов. 38

Тема 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. 44

Тема 8. Интегральное исчисление функций одной переменной. 51

Тема 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. 57

Тема 10. Ряды.. 62

Рекомендуемая литература. 68

 

Тема 1. Матрицы и определители

Арифметические векторы и линейные операции над ними

Определение 1. Арифметическим п - мерным вектором называется любая последовательность из п действительных чисел .

Краткая запись . Числа называются координатами вектора. Например, вектор имеет координаты 0, -2, 1, 5.

Геометрически можно изобразить только одномерные (направленные отрезки на прямой), двумерные (на плоскости), трёхмерные (в пространстве) арифметические векторы.

Определение 2. Два вектора и с одним и тем же числом координат , будем считать равными в том и только том случае, когда Равенство векторов обозначается обычным образом .

Определение 3. Суммой двух векторов называется вектор

.

Вектор называется нулевым и обозначается . Вектор называется противоположным вектору и обозначается .

Свойства сложения векторов

1. .

2. .

3. .

4. .

Определение 4. Произведением вектора на число k называется вектор

.

Свойства умножения вектора на число

5. .

6.

7.

8.

Упражнение. Даны векторы . Найдите вектор

Определение 5. Множество всех п – мерных арифметических векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее восьми свойствам, называется арифметическим п – мерным векторным пространством и обозначается .

Определение 6. Некоторое множество U образует линейное пространство, если для любых его элементов определена операция сложения и для каждого элемента и любого действительного числа определено произведение причём эти операции удовлетворяют свойствам 1-8 (см. выше).

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа п.

 

Умножение матриц.

Определение 19. Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :

Пример. Вычислить произведение матриц , где

, .

Решение. Найдем размер матрицы произведения , следовательно, умножение возможно. , .

= .

Обратная матрица

Определение 20. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

 

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Пусть А – невырожденная матрица (понятие невырожденности появится позже). Припишем к ней (например, справа) единичную матрицу Е. Далее с помощью элементарных преобразований над строками «сдвоенной матрицы (А│ E) приводим А («левую половину») к единичной матрице Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е окажется матрица А^-1.

Заметим, что из самого способа нахождения матрицы А^-1 легко следует, что матрица, обратная для А^-1, есть А. Действительно, проделав преобразования, переводящие А в Е, в обратном порядке, из матрицы Е получим А, а из А^-1 матрицу Е. это означает, что А есть обратная матрица для А^-1, т.е. А^-1А = Е.

Пример. Для матрицы

Найти обратную матрицу А^-1.

Решение. Составим матрицу

.

С помощью элементарных преобразований приведём её левую «половину» А к матрице Е:

 

Правее вертикальной черты получилась обратная матрица А^-1:

Способ решения уравнения АХ = В

Пусть А – невырожденная матрица. Приведём её с помощьюэлементарных преобразований над строками к единичной матрице Е. Если затем те же самые преобразования применить к строкам матрицы В, то получим искомую матрицу Х.

Заметим, что нет необходимости специально запоминать преобразования, совершенные над А, чтобы проделать их над В. Вместо этого можно приписать к А (например, справа) матрицу В

(А|В)

и выполнять преобразования сразу над «сдвоенной» матрицей. После того как левая половина приведётся к Е, правая приведётся к искомой матрице Х.

Пример. Решить уравнение

где Х – неизвестная матрица .

Решение. Имеем

 

 

 

Правее вериткальной черты получилась искомая матрица

Определители и их свойства

Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Формула разложения определителя по строкам и столбцам.

Каждой квадратной матрице по некоторому закону может быть поставлено в соотвествие число , называемое определителем матрицы А или просто определителем п-го порядка. Обозначают:

1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент .

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Пример. Вычислить определитель матрицы .

Решение. .

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

Данная формула получила название правила треугольников.

 

Пример. Вычислить определитель .

Решение. .

4) Определитель квадратной матрицы -го порядка (определитель -го порядка).

Определение 21. Минором элемента матрицы -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Определение 22. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется минор, взятый со знаком :

.

 

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам -й строки; ).

(разложение по элементам -го столбца; ).

Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбца) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех элементов.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .

4. При перестановки двух строк(столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки(столбца) на числа

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: – матрицы п –го порядка.

Применение определителей

 

Нахождение ранга матрицы

Ранг матрицы находят либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор k-го порядка матрицы , отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор , т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен .

3. Критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений

Для того, чтобы однородная система линейных уравнений с неизвестными (матрица системы A – квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю: .

Нахождение обратной матрицы

Теорема. Если , то матрица

является обратной для А, где матрица называется присоединённой для А.

Пример. Проверить, что матрица

является невырожденной, и найти

Решение.

 

Матричная запись системы

, где

	- матрица коэффициентов при переменных,
	- матрица-столбец переменных,
	- матрица столбец свободных членов.

 

Решением системы называется упорядоченная совокупность чисел такая, что после замены неизвестных соответственно числами каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение.

Если же у системы есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной.

Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю. В противном случае, систему называют неоднородной.

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот. Вопрос о разрешимости системы линейных уравнений в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

Пусть ; перменных называют основными или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные называются неосновными или свободными.

Решение системы, в котором все неосновных переменных равны нулю, называются базисным.

Т.к. каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний, то и базисных решений имеется не более . Таким образом, совместная система т линейных уравнений с п переменными (т < n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где

 

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной. Опираясь на эти свойства, исходную систему уравнений можно преобразовать к виду:

Здесь неизвестные , называются базисными переменными, остальные неизвестные – свободными переменными.

Сами равенства, выражающие базисные переменные через свободные, называются общим решением системы. Решение системы, получающееся при задании конкретных значений свободных переменных, называется частным решением системы.

Может случиться так, что все неизвестные окажутся базисными переменными, тогда система уравнений будет иметь единственное решение:

При решение системы трех уравнений

имеет наглядный геометрический смысл. Каждое из трех этих уравнений определяет плоскость. Геометрическое место точек пересечения плоскостей является решением этих уравнений. Если существует только одна точка пересечения плоскостей, то система является определенной, она имеет единственное решение. Если все три плоскости пересекаются вдоль прямой, то система имеет бесконечное множество решений, она является неопределенной. Если две (или все три) плоскости параллельны, то система не имеет ни одного решения, она является несовместной.

Рис.1 Система трех линейных уравнений от трёх переменных определяет набор

плоскостей. Точка пересечения плоскостей является решением этих уравнений.

 

Пример. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений:

Решение. Следуя Гауссу, будем проводить преобразования не самих уравнений, а свободных членов и коэффициентов системы:

Первую строку умножим на и результат сложения полученной строки с второй строкой поместим на место второй строки. Первую строку умножим на и результат сложения полученной строки с третьей строкой поместим на место третьей строки. Получим:

Вторую строку, умноженную на 2, сложим с третьей строкой, умноженной на 5. Результат сложения поместим на место третьей строки. Получим:

Третью строку поделим на и результат деления оставим на этом же месте. Затем третью строку, умноженную на , сложим с второй строкой и результат сложения поместим на место второй строки. После этого третью строку, умноженную на , сложим с первой строкой и результат сложения поместим на место первой строки. Получим:

Вторую строку поделим на и результат деления оставим на этом же месте. Затем вторую строку, умноженную на , сложим с первой строкой и результат сложения поместим на место первой строки. Получим новую совокупность свободных членов и коэффициентов системы:

соответствующую следующей системе уравнений:

Отсюда следует, что

Проверка: Найденные значения подставим в левую часть исходной системы уравнений:

Полученные значения сравним со значениями в правых частях исходной системы уравнений. Совпадение указывает на правильность полученного решения.

Ответ: Система линейных уравнений

имеет решение:

 

Пример. Методом Гаусса решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:

Решение. Следуя Гауссу, будем проводить преобразования не самих уравнений, а свободных членов и коэффициентов системы:

Первую строку умножим на , затем результат сложения полученной строки со второй строкой поместим на место второй строки. Первую строку умножим на и результат сложения полученной строки с третьей строкой поместим на место третьей строки. Получим:

Две последних строки оказались одинаковыми. Это означает, что с помощью элементарных преобразований исходную систему уравнений удалось преобразовать к виду:

в котором третье и второе уравнение одинаковы. Следовательно, имеет смысл проводить преобразования свободных членов и коэффициентов первого и второго уравнений:

Вторую строку умножим на , затем результат сложения полученной строки с первой строкой поместим на место первой строки. Получим:

что соответствует системе следующих уравнений:

Отсюда следует, что являются базисными переменными. Представим их через :

Остальные неизвестные являются свободными переменными. Таким образом, система исходных уравнений имеет бесконечное множество решений:

где и могут принимать любые значения из интервала .

Проверка: Найденные значения подставим в левую часть исходной системы уравнений:

Полученные значения сравним со значениями в правых частях исходной системы уравнений. Совпадение указывает на правильность полученного решения.

Ответ: Система линейных уравнений

имеет бесконечное множество решений:

где и могут принимать любые значения из интервала .

 

Пример. Методом Гаусса решить систему четырех уравнений с пятью неизвестными:

Решение. Следуя Гауссу, будем проводить преобразования не самих уравнений, а свободных членов и коэффициентов системы:

Первую строку сложим со второй строкой, результат сложения поместим на место второй строки. Первую строку умножим на и результат сложения полученной строки с третьей строкой поместим на место третьей строки. Получим:

Результат сложения третьей строки с четвертой строкой поместим на место четвертой строки. Получим:

Обратим внимание на четвертую строку, значения в которой позволяют представить последнее уравнение системы в виде:

Заметим, что это равенство не выполняется ни при каких значениях переменных, поскольку Следовательно, система исходных уравнений не имеет решений.

Ответ: Система линейных уравнений

не имеет решений.

Формулы Крамера

Теорема. Пусть Δ - определитель матрицы системы А, а Δ _j - определитель матрицы, получаемый из матрицы А заменой j-го столбцом свободных членов. Тогда, если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

- формулы Крамера.

 

 

 

Схема свёртывания

В общем случае множество можно определять по так называемой схеме свёртывания.

При заданном характеристическом свойстве F и заданном классе элементов K множество A определяется как множество, которое содержит все элементы из K, обладающие свойством F. Для определения по схеме свертывания используется следующая запись:

A = {x | x обладает свойством F}.

Применяя сокращение F(x) для обозначения того, что элемент x обладает свойством F, будем писать A = {x | F(x)}.

Класс K может быть указан явно; в этом случае используется запись

A = {x∈ K | F(x)}.

Множество четных чисел P можно определить как

P = {x | x – четное целое число},

или как

P = { x∈ Z | x четно},

где через Z обозначено множество целых чисел.

Парадокс Рассела

Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента:

.

Если множество существует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: Пусть , тогда . Пусть , тогда . Получается неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела.

Операции над множествами

1.Объединение

= .

2.Пересечение

= .

3.Разность

= .

4.Симметрическая разность

.

.

.

5.Дополнение

 

 

Диаграммы Эйлера-Венна

Законы алгебры множеств

Пусть задан универсум U. Тогда для любых множеств выполняются следующие свойства.

1. Идемпотентность:

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Дистрибутивность:

5. Поглощение:

6. Свойства нуля:

7. Свойства единицы:

8. Инволютивность:

9. Законы де Моргана:

10. Свойства дополнения:

11. Выражение для разности:

.

Убедиться в справедливости перечисленных свойств можно путем несложной непосредственной проверки.

Пример. Проверим первый из законов де Моргана. Покажем сначала, что . Предположим, что . Тогда x∉ A∩ B, так что x не принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Таким образом, x∉ A или x∉ B, то есть или . Это означает, что . Мы показали, что произвольный элемент множества является элементом множества . Следовательно, Обратное включение доказывается аналогично. Достаточно повторить все шаги предыдущего рассуждения в обратном порядке.

Задача (управдом).

Юрий провёл социальный опрос жителей своего подъезда и выяснил, что 25 из них играют в шахматы, 30 были в Архангельске, 28 летали на самолете. Среди летавших на самолете 18 играют в шахматы и 17 были в Архангельске. 16 жителей играют в шахматы и были в Архангельске, среди них 15 еще и летали на самолете. От управдома Юрий узнал, что всего в подъезде живет 45 человек. Не врет ли управдом?

Решение

Управдом врет. Формула включений и исключений для людей, которые не были в Архангельске, не играют в шахматы, и не летали на самолете дает

45-25-30-28+16+18+17-15= - 2 < 0.

Ответ: Управдом врет.

Тема 5. Теория графов

Основные понятия теории графов

Графом G(V, E) называется конечное непустое множество вершин V и конечное множество ребер E. Каждое ребро связывает пару вершин. Если ребро e соединяет вершины v₁ и v₂, то говорят, что ребро e и вершины v₁ и v₂ инцидентны.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: