Различные критерии продуктивности модели Леонтьева

Определение. Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (3.4).

В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое коечное потребление можно обеспечить при подходящем выловом выпуске .

Уравнение (3.4) можно переписать в виде

.

Если обратная матрица существует, то отсюда следует

.

Первый критерий продуктивности. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.

Второй критерий продуктивности. Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.

Пример. Показать продуктивность матрицы

Решение. Сумма элементов каждого столбца меньше единицы. Согласно теореме 2 . Значит, А – продуктивна.

Третий критерий продуктивности. Неотрицательная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд

Лемма. Если бесконечный ряд (из матриц) сходится, то его сумма есть матрица .

 

 

 

Тема 4. Множества и прямое произведение

Понятие множества принадлежит к числу первичных неопределяемых понятий математики. Можно сказать, что множество – это любая определённая совокупность объектов. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Элементы множества различны и отличимы друг от друга.

Пример. Множество страниц в конспекте. Множество натуральных чисел N.

Если объект х является элементом множества М, говорят, что х принадлежит М. Обозначение: . В противном случае говорят, что х не принадлежит М. Обозначение: .

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами:

Перечислением элементов:

Характеристическим свойством (предикатом):

Порождающей процедурой): .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым. Обозначение: .

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством (или универсумом).

Определение. Характеристической функцией множества А называется функция принадлежности элементов U множеству А

Множества совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их характеристические функции.

Множество А содержится в множестве В (множество В включает множество А), если каждый элемент А есть элемент В

.

В этом случае А называют подмножеством В. Если , то А называется собственным подмножеством В. Иначе – несобственным .

Например, множество натуральных чисел N является подмножеством множества целых чисел Z, а последнее в свою очередь является подмножеством множества рациональных чисел Q, то есть N ⊂ Z и Z ⊂ Q, или, короче, N ⊂ Z ⊂ Q.

Для заданного множества A обозначим через 2^Aмножество всех его подмножеств.

Пример. Пусть A={a, b, c}. Тогда множество 2^Aсостоит из следующих элементов:

{∅ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Далее будет показано, что если множество A конечно и содержит n элементов, то это множество имеет 2ⁿподмножеств, то есть |2^A|=2^|A|.

Два подмножества равны, если они являются подмножествами друг друга.

Мощность множества М обозначается как Для конечных множеств мощность – это число элементов. Если , то множества А и В называются равномощными (эквивалентными).

Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел N.

Схема свёртывания

В общем случае множество можно определять по так называемой схеме свёртывания.

При заданном характеристическом свойстве F и заданном классе элементов K множество A определяется как множество, которое содержит все элементы из K, обладающие свойством F. Для определения по схеме свертывания используется следующая запись:

A = {x | x обладает свойством F}.

Применяя сокращение F(x) для обозначения того, что элемент x обладает свойством F, будем писать A = {x | F(x)}.

Класс K может быть указан явно; в этом случае используется запись

A = {x∈ K | F(x)}.

Множество четных чисел P можно определить как

P = {x | x – четное целое число},

или как

P = { x∈ Z | x четно},

где через Z обозначено множество целых чисел.

Парадокс Рассела

Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента:

.

Если множество существует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: Пусть , тогда . Пусть , тогда . Получается неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела.

Операции над множествами

1.Объединение

= .

2.Пересечение

= .

3.Разность

= .

4.Симметрическая разность

.

.

.

5.Дополнение

 

 

Диаграммы Эйлера-Венна

Законы алгебры множеств

Пусть задан универсум U. Тогда для любых множеств выполняются следующие свойства.

1. Идемпотентность:

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Дистрибутивность:

5. Поглощение:

6. Свойства нуля:

7. Свойства единицы:

8. Инволютивность:

9. Законы де Моргана:

10. Свойства дополнения:

11. Выражение для разности:

.

Убедиться в справедливости перечисленных свойств можно путем несложной непосредственной проверки.

Пример. Проверим первый из законов де Моргана. Покажем сначала, что . Предположим, что . Тогда x∉ A∩ B, так что x не принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Таким образом, x∉ A или x∉ B, то есть или . Это означает, что . Мы показали, что произвольный элемент множества является элементом множества . Следовательно, Обратное включение доказывается аналогично. Достаточно повторить все шаги предыдущего рассуждения в обратном порядке.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: