Тема 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

 

Определение. Частным приращением функции по переменной называется выражение .

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной :

.

Определение. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

 

Пусть , тогда

 

,

.

Определение. Пусть функция имеет частные производные и , которые также являются функциями двух переменных и . Частные производные от этих функций называются частными производными второго порядка от функции . Каждая производная первого порядка имеет две частные производные. Таким образом, мы получаем 4 частные производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

,	,
,	.

Определение. и называются смешанными производными функции .

Пример. Найти частные производные первого порядка функции .

Решение. Частная производная функции двух переменных по переменной х обозначается или и вычисляется по правилам и формулам дифференцирования функции одной переменной при условии, что х – изменяется, а у – постоянная (const).

Слагаемое не зависит от переменной х, следовательно, по правилу производная

. Функция зависит от переменной х, применим для ее дифференцирования формулу .

.

Частная производная функции по переменной у обозначается или и вычисляется при условии, что у – изменяется, а х – const.

.

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство

,

.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка - есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция :

а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой

и ,

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

,

,

.

Тогда, если , то в точке функция имеет экстремум, причем если (или ) – максимум, если (или ) - минимум. В противном случае функция экстремума не имеет.

Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

 

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем частные производные и :

;

.

Запишем необходимые условия экстремума функции :

.

Решим полученную систему уравнений. Для этого выразим из второго уравнения , и подставим в первое , упростим .

Обозначим и решим полученное квадратное уравнение . Дискриминант , .

Из условия найдем , .

Из условия найдем , .

В соответствии с формулой определим , , , .

Таким образом, критическими точками заданной функции будут

, , и .

Для проверки достаточного условия экстремума найдем частные производные второго порядка: ;

;

.

В каждой критической точке М вычислим значения этих производных , , и найдем определитель .

В точке : , следовательно, точка не является точкой экстремума функции .

В точке : , следовательно, точка не является точкой экстремума функции .

В точке : , следовательно, точка является точкой экстремума функции . При этом , значит, в точке функция имеет минимум, .

В точке : , следовательно, точка является точкой экстремума функции . При этом , значит, в точке функция имеет максимум, значение которого составляет

.

 

 

Пример. Имеются данные о затратах на обслуживание У (тыс. руб.) и сроке эксплуатации Х (лет) некоторого оборудования.

Х
У

 

Пользуясь методом наименьших квадратов аппроксимировать данные линейной зависимостью и определить с ее помощью приближенное значение затрат при сроке эксплуатации лет. Вычислить сумму квадратов отклонений найденной прямой от исходных точек. (Расчет коэффициентов a и b выполнить с точностью 2 знака после запятой.)

Решение.

Для определения коэффициентов линейной зависимости составим систему нормальных уравнений:

.

Вычисление необходимых сумм проведем в таблице:

сумма

Запишем систему и решим ее по формулам Крамера.

, система имеет единственное решение.

;

.

Таким образом, требуемая линейная зависимость построена: .

Определим с ее помощью приближенное значение затрат у при сроке эксплуатации лет: (тыс. руб.).

Для вычисления суммы квадратов отклонений найденной прямой от исходных точек дополним расчетную таблицу столбцами , и . Теоретические значения найдем с помощью полученной формулы для каждого заданного значения . Отклонения рассчитаем по формуле . Затем определим квадраты отклонений и их сумму.

 

			0, 78	-0, 22	0, 0484
			3, 42	0, 42	0, 1764
			6, 72	-0, 28	0, 0784
			10, 02	0, 02	0, 0004
сумма					0, 3036

 

Сумма квадратов отклонений найденной прямой от исходных точек найдена: .

 

Тема 10. Ряды

Числовые ряды

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел соединенных знаком сложения:

, (10.1)

где называются членами ряда,

а - общим или -м членом ряда, - натуральные числа.

Определение. Сумма первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

 

. (10.2)

Число называется суммой ряда, поэтому можно записать

. (10.3)

Определение. Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: