Тема 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

7.1. Производная функции

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (независимой переменной) при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Обозначают: .

Уравнение касательной к кривой в точке примет вид:

Правила дифференцирования. Производные элементарных функций

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна 1, т.е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений каждого из сомножителей на все остальные:

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

при .

Производные элементарных функций

1) , .

2) ,

3) ,

4) .

5) .

6) .

7) ,

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Первой применим формулу . Получим

= =

{по формулам и }=

{ применим формулы и }

={преобразуем выражение}

7.2. Приложения производной

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида или , то

Пример. Вычислить предел .

Решение. При множитель является бесконечно большой функцией, а множитель - бесконечно малой. Таким образом, имеем нестандартную неопределенность « ».

= « » =

Преобразуем эту нестандартную неопределенность к стандартному виду (виду дроби):

= = « » =

Для раскрытия полученной стандартной неопределенности « » используем правило Лопиталя.

= = = « » =

Используем правило Лопиталя во второй раз:

= = = « » = 0.

Пример. Найти уравнение касательной к кривой в точке . Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно к этой касательной.

Решение. Уравнение касательной к графику функции имеет вид , где - координаты точки касания, - угловой коэффициент касательной.

Найдем координаты точки касания: по условию , тогда .

Найдем угловой коэффициент прямой: , , .

Запишем уравнение касательной или

Искомая прямая проходит параллельно найденной касательной, следовательно, их угловые коэффициенты связаны соотношением . Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку : . Уравнение искомой прямой имеет вид или .

Таким образом, уравнение касательной ; уравнение искомой прямой .

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка , то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка , то она убывает на этом промежутке.

Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( ) или не существовала.

Замечание. Это условие не является достаточным, т.е. производная в точке может обращаться в нуль или не существовать, а функция не будет иметь экстремум в этой точке.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции, а если с минуса на плюс, то точка минимума.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции , если же отрицательна, то - точка максимума.

Пример. Исследовать на экстремум функцию и найти интервалы монотонности.

Решение.

1˚. Область определения функции . Производная функции .

2˚. Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку функции . Точка , в которой производная не существует, является точкой разрыва функции.

3˚. Покажем критическую точку и область определения функции на числовой прямой. Для определения знака производной в полученных интервалах выберем, например, и найдем

, .

Следовательно, при всех функция убывает, а на интервалах и функция возрастает. Согласно достаточному условию – точка минимума данной функции.

4˚. Находим .

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение.

1˚. Область определения . Найдем пределы функции при .

, отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой.

2˚. Исследуем поведение функции на бесконечности:

Следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой.

3˚. Найдем наклонную асимптоту:

. Таким образом, наклонных асимптот не существует.

Пример. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение. 1˚. Область определения , т.е. .

2˚. Выполняется условие , следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат.

3˚.Нули функции (точки пересечения с осями координат): . То есть точка пересечения одна .

4˚. Вертикальные асимптоты cледует искать в точках разрыва функции . Рассмотрим односторонние пределы функции

и , т.к. пределы бесконечны, то прямая есть вертикальная асимптота. В силу симметрии графика прямая также вертикальная асимптота.

5˚. Рассмотрим поведение функции при .

Вычислим , отсюда следует, что горизонтальных асимптот нет, нужно искать наклонные асимптоты :

Наклонной асимптоты также нет.

6˚. Экстремумы и интервалы монотонности.

Найдем

при - критические точки и - точки разрыва функции.

Из рисунка 4 видно, что точки являются точками минимума и , а точка – точка максимума и .

На интервалах функция убывает, а на интервалах – возрастает.

7˚. По результатам исследования построим график. График изображен на рисунке.

7.3. Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной: