Тема 8. Интегральное исчисление функций одной переменной

Неопределённый интеграл

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Определение. Совокупность всех первообразных функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где

- знак интеграла,

- подынтегральная функция,

- подынтегральное выражение.

Таким образом:

,

где - некоторая первообразная для , произвольная постоянная.

 

Свойства неопределенного интеграла

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

.

2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению, т.е.

d dx.

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

 

.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

 

.

5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

 

.

 

Некоторые табличные интегралы

 

,	,
,	,
.
,	.
+c,	+c,

 

1) Метод замены переменной (метод подстановки).

Пусть заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную : . Тогда , ,

.

Теорема. Пусть некоторая первообразная для функции . Тогда если вместо аргумента подынтегральной функции и первообразной подставить выражение , то это приведет к появлению дополнительного множителя перед первообразной: , где и - некоторые числа, .

 

2) Метод интегрирования по частям.

 

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда

Интегрируя левую и правую часть, имеем

, или

.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

 

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение.

.

8.2. Определенный интеграл

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при , т.е.

 

.

- нижний предел,

- верхний предел,

- подынтегральная функция,

- подынтегральное выражение.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана неотрицательная функция . Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью абсцисс (рис.10.2) численно равна определенному интегралу от функции на .

 

Свойства определенного интеграла

1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

2) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

.

3) При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный:

.

4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей:

.

5) Если на отрезке , где , , то и

,

т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на отрезке равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.

 

.

 

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке при условии и , а данная функция непрерывна в каждой точке вида , где . Тогда справедливо следующее равенство

 

-

Формула замены переменной в определенном интеграле.

Пример. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Для построения фигуры найдем точку пересечения линий :

Данная фигура ограничена двумя линиями (сверху), (снизу) и двумя вертикальными прямыми и . Следовательно, согласно формуле , имеем

.

Вычислить определенный интеграл .

Решение.

=

.

 

Несобственный интеграл

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от непрерывной функции на полуинтервале называется предел интеграла при стремящемся к :

.

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

 

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования обозначается символом

, где .

Пример. Вычислить несобственный интеграл .

Решение.

.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: