Математическое условие устойчивости

Согласно данному выше физическому определению устойчивость определяется характером движения системы, когда воздействия, выведшие ее из состояния равновесия, прекратили действовать или изменяться во времени. Такое движение системы называют свободным. Оно происходит за счет внутренней энергии самой системы и зависит только от ее свойств (параметров).

Свободное движение линейной или линеаризованной АСУ описывается однородным дифференциальным уравнением

(1)

где x(t) – свободная составляющая выходной (управляемой) величины системы.

Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и соответственно от правой части уравнения (2.19) на устойчивость системы не влияет.

С математической точки зрения:

• система устойчива, если свободная составляющая x(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю;
• система неустойчива, если свободная составляющая x(t) переходного процесса с течением времени неограниченно возрастает;
• система находится на границе устойчивости, если свободная составляющая x(t) переходного процесса с течением времени не стремится ни к нулю, ни к бесконечности.

Решение уравнения (5.1) равно сумме

(2)

где C_k – постоянные, зависящие от начальных условий; p_k – корни характеристического уравнения

(3)

Корни характеристического уравнения могут быть действительными (p_k = a_k), мнимыми (p_k = jb_k) и комплексными (p_k = a_k ± jb_k). При этом комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обязательно существует корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью.

 

Переходная составляющая (2) при времени t ® ¥ стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида Характер этой функции времени зависит от вида корня p_k . На рис.2 изображены возможные случаи расположения корней p_k на комплексной плоскости и соответствующие им функции x_k(t), которые показаны внутри окружностей.

Влияние корней характеристического уравнения АСУ на составляющие ее свободного движения (рисунок 2).

Анализ рис.2 позволяет сформулировать общее математическое условие устойчивости : для устойчивости линейной АСУ необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными (или чтобы все корни характеристического уравнения системы располагались в левой части комплексной плоскости).

Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему, т. е. устойчивость есть внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть (располагается в правой части комплескной плоскости), то система будет неустойчивой.

Мнимая ось jb является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней (p_k= +jb_k, p_k+1 =- jb_k), а все остальные корни находятся в левой части комплексной плоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой w = | b_k |. В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе устойчивости.

Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень (b = 0), то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.

Применяя сформулированное выше условие для оценки устойчивости реальных АСУ, не следует забывать, что линейные уравнения вида (1), как правило, получаются в результате упрощений и линеаризации исходных нелинейных уравнений. Возникает вопрос: в какой мере оценка устойчивости по линеаризованному уравнению будет справедлива для реальной системы, и не окажут ли существенное влияние на результат анализа отброшенные при линеаризации члены разложения? Ответ на него был дан русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Он сформулировал и доказал следующую теорему: если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному уравнению нельзя. Отброшенные при линеаризации малые члены могут сделать систему неустойчивой, и поэтому устойчивость реальной системы необходимо оценивать по исходному нелинейному уравнению.

Характеристическое уравнение АСУ можно составлять не только по дифференциальному уравнению (1) ее свободного движения, но и по ее алгоритмической схеме с известными передаточными функциями звеньев.

Получим характеристическое уравнение разомкнутой АСУ, алгоритмическая схема которой приведена на рис.( 3 а).

Ее уравнение движения:

, (4)

или представляя передаточную функцию системы в виде

(5)

где K(p) и D(p) – входной и собственный операторы, уравнение движения приводим к виду

(6)

Полагая в уравнении (5.6) задающее воздействие X_З(p) = 0 записываем уравнение свободного движения АСУ

(7)

Откуда искомое характеристическое уравнение разомкнутой АСУ

 

Получим характеристическое уравнение типовой замкнутой АСУ, алгоритмическая схема которой приведена на рис.(3 б).

Ее уравнение движения

(9)

или с учетом обозначения (5)

(10)

Полагая в уравнении (10) X_З(p) = 0, записываем уравнение свободного движения АСУ

(11)

Тогда искомое характеристическое уравнение типовой замкнутой АСУ

(12)

 

Критерии устойчивости АСУ

Как было показано выше, для суждения об устойчивости линейной АСУ достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения.

В ТАУ разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках действительных частей корней, не решая характеристическое уравнение и не находя числовые значения самих корней. Эти правила получили название критериев устойчивости .

Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности вещественных частей корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения системы.

Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой ее частотных характеристик.

Наибольшее распространение в инженерной практике нашли алгебраические критерии Гурвица и Рауса.

Рассмотрим один из них - критерий Гурвица.

Критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.

Применительно к задачам ТАУ критерий Гурвица можно сформулировать так:

автоматическая система управления, описываемая характеристическим уравнением

(13)

устойчива, если при a₀ > 0 положительны все определители D₁, D₂, …, D_n вида

, i = 1, 2, 3, …, n. (14)

Определители Гурвица составляют следующим образом: на главной диагонали записывают все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_i ( в порядке возрастания индекса), затем в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами; на место с коэффициентами с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули. При этом каждый i–й определитель получается размером i ´ i.

Так как последний столбец определителя D_n содержит всегда только один элемент a_n, отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей

(15)

Рассмотрим, например, применение критерия Гурвица для характеристического уравнения третьего порядка

(16)

Условия устойчивости по Гурвицу будут

(17)

Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким. Для анализа устойчивости систем выше четвертого порядка целесообразно применять критерий Рауса.

Из частотных критериев наибольшее распространение нашли критерии Михайлова и Найквиста.

Области устойчивости АСУ

При помощи критериев устойчивости можно установить факт устойчивости или неустойчивости АСУ, все параметры которой заданы. Однако часто при проектировании и наладке АСУ возникает более общая задача анализа устойчивости – определение допустимых (по условию устойчивости) пределов изменения некоторых варьируемых параметров системы. В качестве таких параметров обычно рассматривают коэффициенты и постоянные времени управляющего устройства (регулятора), которые можно целенаправленно изменять при настройке системы. Так как эти коэффициенты и постоянные времени однозначно определяют коэффициенты характеристического уравнения системы, то последние так же могут служить варьируемыми параметрами.

Допустимые пределы варьирования параметров системы можно определить путем построения областей устойчивости.

Область устойчивости АСУ – область в пространстве варьируемых параметров АСУ, каждой точке которой соответствуют только корни характеристического уравнения с отрицательными действительными частями (располагающиеся в левой части комплексной плоскости).

Область устойчивости выделяет из всех возможных значений варьируемых параметров лишь те значения, при которых система устойчива.

Поверхность, ограничивающая область устойчивости, называется границей области устойчивости.

Для отыскания границы области устойчивости можно воспользоваться одним из критериев устойчивости, например, критерием Гурвица, а можно и другими способами, например, методом D-разбиения.

Определим, например, область устойчивости АСУ, описываемой характеристическим уравнением третьего порядка с одним варьируемым параметром a,

(18)

Воспользуемся критерием Гурвица. Согласно ему должны выполняться условия (17)

Откуда искомая область устойчивости

(19)

 

 

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: