Основные характеристики электростатического поля

 

Любой неподвижный электрический заряд создает в пространстве электростатическое поле. Электростатическое поле является одной из форм существования материи, особенность которой состоит в том, что электростатическое поле действует с некоторой силой на электрический заряд, помещенный в любую точку поля. Отсюда следует, что обнаружить и исследовать электростатическое поле можно только с помощью электрического заряда. Такой заряд – прибор для изучения электростатического поля называется пробным электрическим зарядом или просто пробным зарядом. Пробный заряд должен быть настолько мал, чтобы своим полем не искажать изучаемое поле. Так как пробный заряд является измерительным прибором для электростатического поля, то его характеристики не зависят от величины пробного заряда.

Начало количественного изучения электрических явлений было положено Кулоном, который в 1785 году установил на опыте закон взаимодействия электрических зарядов. Он установил закон взаимодействия точечных зарядов. Под точечным зарядом понимается заряженное тело, размеры которого значительно меньше расстояний до других зарядов, в том числе и до пробного заряда. Согласно закону Кулона, величина силы взаимодействия двух точечных зарядов определяется формулой:

 

(1)

Здесь - величина силы взаимодействия зарядов; - модули величин взаимодействующих зарядов; - расстояние между зарядами; - постоянная электростатического взаимодействия; - электростатическая постоянная вакуума. Значение постоянной электростатического взаимодействия зависит от выбора системы единиц. В системе единиц СИ значение постоянной электростатического взаимодействия равно силе, с которой взаимодействуют два точечных заряда величиной по одному кулону, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга. На опытах с крутильными весами измерено значение этой величины и получено, что . Дальнейшие исследования электромагнитных явлений показали, что эту величину можно и удобнее выразить через величину - электростатическую постоянную вакуума. При этом было измерено значение данной величины . Из формулы (1) видно, что связь между величинами и определяется выражением (2).

При изучении взаимодействия точечных зарядов нужно учесть, что формула (1) справедлива в случае, если заряды взаимодействуют в вакууме или в воздухе. Если же взаимодействие зарядов происходит в некотором веществе, например в масле или в какой-нибудь другой жидкости, то необходимо учитывать, что любое вещество уменьшает силу взаимодействия зарядов. Для того, чтобы учесть влияние среды, в которой происходит взаимодействие зарядов, вводится понятие диэлектрической проницаемости среды . Диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в некоторой среде меньше, чем сила взаимодействия этих зарядов в вакууме. Диэлектрическая проницаемость различных веществ измеряется опытным путем и заносится в таблицы и справочники. С учетом наличия среды, в которой происходит взаимодействие зарядов, закон Кулона будет иметь вид:

 

(3)

В настоящее время известно, что сила – величина векторная. Чтобы определить вектор силы взаимодействия зарядов, выберем систему отсчета, в которую поместим взаимодействующие заряды (Рис. 1).

 

q1

q2

O

X

Y

A

B

Рис. 1

На рисунке 1 отрицательный по знаку заряд , помещенный в точку A, взаимодействует с положительным по знаку зарядом , помещенным в точку B. - радиус векторы этих зарядов в системе координат XOY. Для простоты выбрана двумерная система координат, аналогичный рисунок можно получить и в трехмерной системе координат. - сила, с которой второй заряд действует на первый заряд. Как видно, эта сила направлена вдоль вектора , который соединяет заряды. Тогда в векторном виде закон Кулона можно записать в виде:

. (4)

 

Согласно третьему закону Ньютона, сила, действующая на второй заряд со стороны первого заряда, будет такой же по величине, но противоположной по направлению.

Силу взаимодействия зарядов нельзя использовать для характеристики электростатического поля, так как она зависит от величин взаимодействующих зарядов. Поэтому для характеристики различных точек электростатического поля вводится понятие напряженности электростатического поля. При этом один из зарядов рассматривается как создающий электростатическое поле, а другой заряд играет роль прибора, изучающего поле – пробный заряд. Тогда можно дать следующее определение напряженности электростатического поля.

Напряженностью некоторой точки электростатического поля называется векторная физическая величина, равная отношению силы, действующей на пробный заряд, помещенный в изучаемую точку поля, к величине этого заряда. Пробный заряд имеет положительный заряд.

(5)

Из определения напряженности следует, что напряженность в некоторой точке электростатического поля показывает, какая сила действует на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля. Напряженность электростатического поля зависит от величины заряда, создающего поле, от положения изучаемой точки поля и от диэлектрической проницаемости среды, в которой создается поле. Напряженность электростатического поля не зависит от величины пробного заряда.

В системе единиц СИ напряженность электростатического поля измеряется в (ньютон на кулон) или (воль на метр). Напряженность электростатического поля не измеряется прибором непосредственно. Она вычисляется по результатам измерения потенциала.

Используя определение напряженности и закон Кулона, можно получить формулу для вычисления напряженности поля точечного заряда в точке, находящейся на расстоянии от заряда:

или (6)

Формулы (6) записаны для напряженности электростатического поля в вакууме. Если электростатическое поле создано зарядом в некотором веществе с диэлектрической проницаемостью , то получим аналогичные формулы:

или (7)

В формулах (6) и (7) - точечный заряд, создающий поле, а - пробный заряд. Формулы (6) и (7) позволяют определить направление вектора напряженности электростатического поля. Пусть - точечный заряд, создающий поле имеет положительный заряд. Выберем этот заряд за начало системы отсчета и изобразим напряженность поля в некоторой точке A, радиус-вектор которой относительно этого заряда равен (Рис. 2).

O

X

Y

A

Рис. 2

 

Если точечный заряд, создающий поле , имеет отрицательный заряд, тогда напряженность поля будет направлена к заряду (Рис. 3).

O

X

Y

A

 

 

Рис. 3

 

 

Формулы (6) и (7) полностью соответствуют изображенным рисункам, так как, если , то направление вектора напряженности совпадает с направлением радиус-вектора изучаемой точки, а если , то направление вектора напряженности противоположно направлению радиус-вектора изучаемой точки поля.

Если электростатическое поле создано системой из нескольких зарядов , то при определении напряженности используется принцип суперпозиции, который включает следующие положения:

1) Каждый электрический заряд создает электрическое поле так, как будто других зарядов нет (принцип независимости электростатических полей)

2) Напряженность электростатического поля, созданного системой зарядов в некоторой точке поля, равна векторной сумме напряженностей, созданной отдельными зарядами:

(8).

Здесь - напряженности полей, созданных отдельными зарядами.

Электростатическое поле не действует на органы чувств человека. Поэтому для наглядного представления об электростатическом поле используется графическое изображение полей. Для графического изображения электростатических полей используются линии напряженности (более старое и менее точное понятие – силовые линии).

Линией напряженности электростатического поля называется линия, касательная в каждой точке которой, совпадает по направлению с вектором напряженности поля в этой точке. Таким образом, линия напряженности определяет в каждой точке, через которую она проходит, направление вектора напряженности, а, следовательно, и направление силы, действующей на положительный заряд, помещенный в эту точку. Густоту линий напряженности можно использовать для определения численного значения напряженности.

Закон Кулона справедлив только для точечных зарядов. Однако электростатические поля могут создаваться телами любой формы и любых размеров. Для определения напряженности таких полей нужно заряженное тело разбить на точечные заряды, применить закон Кулона к таким точечным зарядам, а затем провести процедуру интегрирования. Обобщением такой процедуры является теорема Остроградского – Гаусса, которая лежит в основе метода расчета напряженности полей, созданных телами любой формы и любого размера.

Основным понятием теоремы Остроградского – Гаусса является понятие потока вектора напряженности через некоторую поверхность, находящуюся в электростатическом поле. Пусть известны линии напряженности некоторого электростатического поля (Рис. 4), и задана площадка S, которую пересекают линии напряженности. - нормаль к площадке, - угол между нормалью к площадке и вектором напряженности.

S

Рис. 4

 

Потоком вектора напряженности через площадку площадью S, расположенную в электростатическом поле так, что нормаль к площадке составляет угол с вектором напряженности, называется величина, определяемая формулой

(9)

Формула (9) используется, если в любой точке поля напряженность поля имеет одинаковую величину и направление. Такое электростатическое поле называется однородным полем. В случае, если электростатическое поле неоднородное, то необходимо определить поток вектора напряженности через малую элементарную площадку , для которой поле можно считать однородным, а затем проинтегрировать по всему пространству с учетом геометрии заряженного тела, создающего поле. Поток вектора напряженности через элементарную площадку определяется формулой:

(10)

Поток вектора напряженности через некоторую поверхность получается путем интегрирования формулы (10):

(11)

Аналогично, поток вектора напряженности через замкнутую поверхность определяется формулой:

(12)

Теорема Остроградского – Гаусса формулируется следующим образом:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность, расположенную в этом поле, равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной на величину для поля в вакууме или на величину для поля в некоторой среде с диэлектрической проницаемостью :

или

(13)

 

Эта теорема наиболее удобна для расчета полей, которые созданы заряженными телами, обладающими симметрией. При расчете таких полей можно выбирать замкнутую поверхность с учетом симметрии заряженного тела, что значительно упрощает расчет напряженности.

Работа сил электростатического поля по перемещению заряда в поле не зависит от формы траектории. Это означает, что электростатическое поле является потенциальным полем, а, следовательно, взаимодействие электрических зарядов можно описывать с помощью потенциальной энергии. Понятие потенциальной энергии известно из механики, где показано, что работы по перемещению тела под действием силы в потенциальном поле равна изменению его потенциальной энергии с противоположным знаком. Найдем работу по перемещению заряда в электростатическом поле (Рис. 5).

 

X

Y

Рис. 5

 

По определению элементарная работа на перемещении заряда определяется формулой:

(14)

Тогда изменение потенциальной энергии заряда определяется формулой:

(15)

Так как величина силы, действующей на заряд в электростатическом поле, может быть выражена через величину напряженности по формуле , то изменение потенциальной энергии можно определить формулой

(16)

Так как потенциальная энергия зависит от величины заряда, который перемещается в поле, то для характеристики электростатического поля вводится понятие потенциала. Потенциалом некоторой точки электростатического поля называется отношение потенциальной энергии к величине заряда, помещенного в изучаемую точку поля:

(17)

Потенциал некоторой точки поля зависит от заряда, создающего поле, и от положения изучаемой точки поля. Потенциал не зависит от заряда, который помещается в некоторую точку поля. Единицей измерения потенциала является вольт (1В), который равен 1В=1Дж/Кл. Потенциал, а точнее разность потенциалов измеряется вольтметром.

Из формулы (17) получаем

(18).

Приравнивая правые части формул (16) и (18), получаем:

(19)

Из этой формулы следует связь между напряженностью и потенциалом:

(20)

или (21)

Из формул (20) и (21) следует, что вектор напряженности в любой точке электростатического поля направлен в сторону убывания потенциала. Кроме того величина представляет собой проекцию вектора перемещения на линию напряженности (Рис. 6).

O

X

Y

Рис. 6

Тогда связь между напряженностью и потенциалом можно записать в виде:

 

или (22)

Кроме того, величина (23) представляет собой проекцию вектора напряженности электростатического поля на вектор перемещения (Рис. 7).

 

O

X

Y

Рис. 7

 

Тогда из формул (20) и (21) следует, что

или (24)

В любом электростатическом поле можно выделить совокупность точек, потенциалы которых равны. Геометрическое место точек, потенциалы которых равны, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

. (25)

Как и линии напряженности, эквипотенциальные поверхности используются для графического представления полей.

Рассмотрим взаимное расположение линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей. Работа по перемещению некоторого заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю, так как , то есть

(26)

Кроме того работу по перемещению заряда можно найти по формуле

(27)

Приравниваем правые части формул (26) и (27) и получаем:

(28)

В формуле (28) , тогда . Это значит, что угол между линиями напряженностей и эквипотенциальными поверхностями электростатического поля равен 90⁰, то есть линии напряженности и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны (Рис. 8).

A1

A2

 

Рис. 8

 

Поэтому если на опыте можно построить эквипотенциальные поверхности, то перпендикулярные к ним линии будут линиями напряженности. Эквипотенциальные поверхности можно провести через точки поля. Эквипотенциальные поверхности принято проводить так, чтобы разность потенциалов между точками двух ближайших эквипотенциальных поверхностей была одинаковой.

 

Метод моделирования

Целью данной лабораторной работы является исследование электростатического поля. Исследование электростатического поля состоит в определении напряженностей и потенциалов различных точек поля, а также построение эквипотенциальных поверхностей и линий напряженности. Так как известно взаимное расположение линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей, то достаточно построить эквипотенциальные поверхности, а потом изобразить линии напряженности. Для измерения распределения потенциалов электростатического поля применяют зонд (тонкий металлический стержень с изолирующей ручкой), который представляет собой электрод, который помещается в исследуемую точку поля. Такой зонд соединяется с прибором, измеряющим разность потенциалов в изучаемой точке и в какой-нибудь другой точке, по отношению к которой измеряется потенциал изучаемой точки.

Зонд должен быть таким, чтобы он своим присутствием не искажал изучаемое поле и принимал потенциал той точки поля, в которую он помещен. Выполнить эти условия в непроводящей среде практически невозможно, так как любое вещество неоднородно по своему составу и свойствам. Поэтому разработана методика изучения электростатических полей путем воспроизведения их структуры в проводящих средах, по которым пропускается постоянный электрический ток. При этом прямое изучение электростатического поля заменяется изучением его удобной модели.

Метод изучения электростатического поля путем создания эквивалентного ему поля называется моделированием. Метод моделирования основан на том, что при некоторых условиях распределение потенциалов в среде, по которой течет ток, между установленными в ней электродами может быть таким же, как и распределение потенциалов между теми же электродами, когда между ними имеется электростатическое поле в вакууме или в однородном диэлектрике. Моделирование электростатических полей находит применение при конструировании сложных электронных приборов (фокусирующие устройства в электронных микроскопах, осциллографах и т.д.).

Условия, при которых электрическое поле эквивалентно электростатическому полю, можно получить, пропуская слабые токи через растворы электролитов. Это связано с тем. Что плотность тока в электролите можно рассчитать по закону Ома, который в дифференциальной форме имеет вид:

(29)

Здесь - вектор плотности электрического тока, который совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля , - удельная проводимость электролита. Поле электрического тока характеризуется линиями тока так же, как электростатическое поле характеризуется линиями напряженности. Линии тока и линии напряженности электростатического поля совпадают по направлению. Это дает возможность осуществить предлагаемое моделирование.

Однако при прохождении тока поверхность проводника не всегда является эквипотенциальной поверхностью, поэтому линии напряженности не всегда будут перпендикулярны к поверхности проводника. Если же удельная проводимость электролита, окружающего проводник, будет во много раз меньше удельной проводимости материала проводника, то падение напряжения вдоль проводника при прохождении по нему тока практически равно нулю, и тогда поверхность проводника будет эквипотенциальной. В этом случае граничные условия для поля тока в электролите, окружающем электроды, совпадают с граничными условиями для электростатического поля в диэлектрике, окружающем заряженные проводники. Если форма поверхности электродов будет такой же, как и форма заряженных тел, то картина поля тока будет аналогичной картине исследуемого электростатического поля.

В процессе исследования необходимо, чтобы потенциалы электродов, помещенных в поле, поддерживались постоянными. Для этого в качестве зондов можно применять металлические электроды, так как в проводящей среде стекание зарядов с острия и выравнивание его потенциала с потенциалом данной точки поля происходит автоматически. Однако при прохождении через электролит постоянного тока происходит поляризация электродов, вследствие чего возникают электродвижущие силы, искажающие поле между электродами. Для того чтобы не было поляризации электродов, используют переменные токи малой частоты. Такие токи можно получить от звукового генератора.

Искажение поля могут вносить и зонды, исследующие поле. Чтобы преодолеть эти искажения, сопротивление электрической цепи зондов подбирают так, чтобы оно было значительно больше, чем сопротивление электролита между теми точками, где расположены зонды.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: