Электроемкость системы проводников. Конденсаторы

 

При наличии вблизи изучаемого проводника других тел его электроемкость изменяется, и будет зависеть от формы, размеров и относительного расположения других тел. Это связано с тем, что в незаряженном проводнике, расположенном вблизи изучаемого заряженного проводника происходит перераспределение зарядов за счет электростатической индукции. Возникающий индуцированный заряд ослабляет потенциал изучаемого поля. Если вблизи изучаемого заряженного проводника находятся диэлектрики, то их поляризация также ослабляет потенциал изучаемого поля. Таким образом, присутствие вблизи изучаемого заряженного проводника других незаряженных проводников или диэлектриков уменьшает его потенциал, а, следовательно, увеличивает его электроемкость. В сою очередь. Заряженный проводник изменяет электрическую емкость других проводников. Поэтому при наличии нескольких проводников рассматривают их взаимную электроемкость. Как показано выше, взаимная емкость проводников будет больше емкости отдельных проводников.

Среди множества всех окружающих изучаемое тело проводников возможна такая система проводников, емкость которой не будет зависеть от всех остальных окружающих их тел. Такие системы заряженных проводников называются конденсаторами.

Конденсатор представляет собой систему из двух проводников одинаковой формы, разделенных слоем диэлектрика. Расположение проводников осуществляется таким образом, чтобы при сообщении проводникам зарядов и электростатическое поле было бы сосредоточено между этими проводниками. Тогда электроемкость конденсатора не будет зависеть от расположения других проводников или диэлектриков.

Электроемкостью конденсатора называется отношение модуля заряда одной из его обкладок (пластин) к разности потенциалов между обкладками (пластинами):

(11)

Электроемкость конденсатора зависит от его формы, размеров обкладок (пластин), их взаимного расположения и диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками (пластинами). Чаще всего конденсаторы классифицируют по форме пластин. При этом чаще всего используют:

1. Плоский конденсатор, состоящий из двух параллельных проводящих пластин, расстояние между которыми мало по сравнению с линейными размерами пластин;

2. Сферический конденсатор, состоящий из двух проводников в виде концентрических сфер;

3. Цилиндрический конденсатор, образованный двумя коаксиальными цилиндрами, если длина цилиндров велика по сравнению с величиной зазора между ними.

Определим электроемкости этих конденсаторов, используя определение электроемкости.

1. Плоский конденсатор

Плоский конденсатор образован двумя параллельными пластинами. Площадь каждой пластины равна , а расстояние между пластинами равно . При этом расстояние между пластинами много меньше линейных размеров самих пластин (Рис. 2). Пространство между пластинами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью .

 

S

S

d

Рис. 2

Так как расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин, то можно пренебречь краевыми эффектами (неоднородность электрического поля на краях) и считать электрическое поле внутри конденсатора однородным полем, а заряд можно считать равномерно распределенным по поверхности пластин с поверхностной плотностью заряда, которая определяется по формуле:

(12)

Напряженность электростатического поля в точках между параллельными пластинами, заряженными зарядами противоположного знака, определяется формулой:

(13)

Для однородного электростатического поля напряженность поля связана с разностью потенциалов формулой:

(14)

Подставляем в формулу (14) формулу (13) с учетом формулы (12) и получаем:

(15).

Подставляем формулу (15) в формулу (11) и получаем формулу для электроемкости плоского конденсатора:

(16)

 

2. Сферический конденсатор

Сферический конденсатор представляет собой систему из двух концентрических сферических поверхностей с радиусами и , разделенных слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью (Рис. 3).

 

R1

R2

r

A

Рис. 3

 

Напряженность поля в любой точке A в пространстве между двумя концентрическими сферическими обкладками определяются формулой:

(17)

Здесь . Тогда разность потенциалов между сферическими обкладками или напряжение определяется формулой:

(18)

Тогда электроемкость сферического конденсатора можно определить по формуле:

(19)

Если зазор между обкладками очень мал по сравнению с радиусами сфер, то и тогда электроемкость конденсатора будет определяться формулой:

(20), где .

Таким образом, если зазор между обкладками сферического конденсатора мал, то электроемкость такого конденсатора можно определить по формуле электроемкости плоского конденсатора.

 

3. Цилиндрический конденсатор

Цилиндрический конденсатор состоит из двух коаксиальных цилиндра радиусами и длиной . Цилиндры заряжены зарядами противоположных знаков. Пространство между цилиндрами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью (Рис. 4).

 

R1

R2

r

A

Рис. 4

 

Напряженность электрического поля в любой точке А между цилиндрами определяется формулой:

(21),

где - линейная плотность заряда, а . Тогда разность потенциалов или напряжение между обкладками конденсатора определяется формулой:

(22)

Тогда по определению электроемкости найдем электроемкость цилиндрического конденсатора:

(23)

По формуле (23) можно вычислить электроемкость электрического кабеля, который состоит из металлического провода, окруженного слоем изолятора и металлической оплеткой.

Если расстояние между цилиндрами мало по сравнению с радиусами цилиндров, то и , где . Тогда можно провести следующие преобразования:

(24)

Формула (24) была получена разложением логарифма в ряд и ограничением только членом первого порядка. При этих условиях получаем электроемкость конденсатора в виде:

, (25)

где - площадь поверхности обкладок конденсатора.

Таким образом, для простых конденсаторов любой формы, если зазор между обкладками мал по сравнению с радиусами кривизны обкладок, электроемкость можно вычислять по формуле электроемкости плоского конденсатора. Этот вывод является следствием того, что неоднородное поле на малых расстояниях можно рассматривать как однородное поле.

 

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: