Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости.

Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действием только одной массовой силы – силы тяжести. Возьмем одну из элементарных струек потока и выделим сечениями 1 и 2 участок струйки произвольной длины. Пусть площади сечений равны dS1 и dS2, скорости в них V1 и V2, давления – p1 и p2, а высоты от произвольного уровня z1и z2.

 

 

Рис. 18. Схема для вывода

уравнения Бернулли

За бесконечно малый отрезок времени dt участок струйки сместится в положение 1’ – 2’.

Из механики известно, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии тела. В данном случае к участку струйки приложены поверхностные силы давления и массовая сила – сила тяжести.

Работа сил давления в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, во втором – отрицательная, а на боковой поверхности струйки равна нулю (вектора силы и скорости перпендикулярны). Работа сил давления в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, во втором – отрицательная, а на боковой поверхности струйки равна нулю (вектора силы и скорости перпендикулярны).

Работа равна произведению силы на перемещение вдоль направления силы. Тогда работа сил давления будет равна

p1 dS1 V1 dt – p2 dS2 V2 dt.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки, поэтому надо из энергии положения жидкости в объеме 1 – 2 вычесть энергию положения в объеме 1’ – 2’. При этом энергия положения объема 1’ – 2 остается неизменной, и останется лишь разность энергий элементов 1 – 1’ и 2 – 2’. Учитывая уравнение расхода, просто заметить, что вес обоих элементов одинаков

dG = gr V1 dt dS1= gr V2 dt dS2.

Тогда работа силы тяжести: dG(z1 – z2).

При вычислении приращения кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время dt, необходимо из кинетической энергии объема 1’ – 2’ вычесть кинетическую энергию объема 1 – 2. Получится разность кинетических энергий объемов 2 – 2’ и 1 – 1’. Таким образом, приращение кинетической энергии участка струйки равно

Из полученных выражений составим уравнение:

p1 dS1 v1 dt – p2 dS2 v2 dt+ dG(z1 – z2) =

Разделим его на dG

Перегруппировав слагаемые, получим уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости:

где z – геометрический напор (высота);

– пьезометрический напор (высота);

– скоростной напор (высота).

Так как сечения струйки взяты произвольным образом, то сумма этих трех напоров (H – полный напор) есть величина постоянная вдоль струйки:

H = = const.

Уравнение Бернулли можно переписать через удельные энергии. Для этого домножим его на g:

где gz – удельная энергия положения;

– удельная энергия давления движущейся жидкости;

– удельная кинетическая энергия.

Мы видим, что последнее уравнение – это уравнение закона сохранения механической энергии.

Если это уравнение домножить еще и на r, то получим уравнение Бернулли, записанное через давления:

где – весовое давление;

– гидромеханическое давление;

– динамическое давление.

Проиллюстрируем уравнение Бернулли графиком (Рис. 19), на котором показано изменение всех трех напоров вдоль элементарной струйки. Линия изменения пьезометрических напоров называется пьезометрической линией. Ее можно рассматривать как геометрическое место уровней в пьезометрах, установленных вдоль струйки.

Из графика хорошо видно, что изменение площади живого сечения струйки приводит к заметному изменению скоростного напора. При уменьшении диаметра живого сечения в 2 раза скорость возрастает также в 2 раза, а скоростной напор – в 4 раза. При горизонтальном расположении струйки это изменение происходит за счет изменения пьезометрического напора. При резком сужении элементарной струйки пьезометрический напор, а значит и давление, могут упасть настолько, что последнее станет меньше атмосферного, то есть возникнет разрежение.

 

Рис. 19. Изменение напоров вдоль струйки идеальной жидкости

На первый взгляд, согласно уравнения Бернулли, при очень сильном сужении струйки абсолютное давление может стать и вовсе отрицательным, что в принципе невозможно. Дело в том, что при снижении давления в струйке до давления насыщенных паров жидкость начнет резко испаряться, и давление останется положительным. Но в этом случае пользоваться уравнением Бернулли уже нельзя, так как при его выводе использовалось уравнение расхода, которое справедливо только при условии, что не нарушается сплошность среды.

Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии, связывающий удельную по весу энергию жидкости в двух сечениях потока.
Для элементарной струйки:

Для потока реальной жидкости

 

Здесь:
z₁, z₂ - расстояния от произвольно выбранной горизонтальной плоскости до центров тяжести рассматриваемых сечений 1, 2,
p₁, p₂ - давления в центрах сечений,
U₁, U₂- местные скорости жидкости в сечениях 1 и 2,
V₁, V₂- средние скорости жидкости в сечениях 1 и 2,
ρ - плотность жидкости, g-ускорение силы тяжести,
h_1-2 -энергия единицы веса жидкости, потраченная на преодоление сил трения между сечениями 1 и 2.
α - коэффициент Кориолиса (его значение зависит от степени неравномерности распределения скоростей в живом сечении потока, меняясь в пределах от 1 до 2).

Если ввести обозначения:

то H - полный напор, и уравнение Бернулли запишется

 

H₁ = H₂ + h_1-2

Потери напора, отнесенные к единице длины струйки, называются гидравлическим уклоном, и обычно обозначаются буквой i; таким образом

, где l-расстояние между сечениями, измеряемое вдоль оси струйки.
Разность , отнесенная к единице длины струйки, называется пьезометрическим уклоном j.

 

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении, в которой выделим два сечения 1-1 и 2-2. Площади живых сечений потока обозначим dS1 и dS2. Положение центров тяжести этих сечений относительно произвольно расположенной линии сравнения (нулевой линии) 0-0 характеризуется величинами Z1 и Z2. Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения P1, P2 и v1, v2 соответственно.

Будем считать, что движение струйки жидкости происходит только под действием силы давления (внутреннее трение в жидкости отсутствует), а давление обладает свойствами статического и действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма.

Рисунок

6.1 Элементарная струйка идеальной жидкости при установившемся движении

За малый промежуток времени dt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1'-1' на расстояние, равное v1dt, а частицы из 2-2 в 2' - 2' на расстояние v2dt.

Согласно теореме кинетической энергии приращение энергии тела (в данном случае выделенного объёма жидкости) равно сумме работ всех действующих на него сил.

Работу в данном случае производят силы давления, действующие в рассматриваемых живых сечениях струйки 1-1 и 2-2, а также силы тяжести. Тогда работа сил давления в сечении 1-1 будет положительна, т.к. направление силы совпадает с направлением скорости струйки. Она будет равна произведению силы P1dS1 на путь v1dt:

Работа сил давления в сечении 2-2 будет отрицательной, т.к. направление силы противоположно направлению скорости. Её значение

Полная работа, выполненная силами давления, примет вид:

Работа сил тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объёма жидкости при перемещении из сечения 1-1 в сечение 2-2. С учётом условия неразрывности потока и несжимаемости жидкости выделенные элементарные объёмы будут равны и, следовательно, будут равны их веса dG:

При перетекании от сечения 1-1 в сечение 2-2 центр тяжести выделенного объёма переместится на разность высот (Z1–Z2) и работа, произведённая силами тяжести, составит:

Проанализируем теперь изменение кинетической энергии рассматриваемого объёма элементарной струйки жидкости.

Приращение кинетической энергии выделенного объёма за dt равно разности его кинетических энергий в сечениях 1-1 и 2-2. Это приращение составит

Приравнивая приращение кинетической энергии к сумме работ сил тяжести и сил давления, придём к виду:

Разделив обе части на вес dG, т.е. приведя уравнение к единичному весу, получим

После сокращения и преобразований придём к искомому виду

Если учесть, что сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, можно прийти к выводу, что сумма приведённых выше величин описывающих движение жидкости под действием сил давления и сил тяжести есть величина постоянная для элементарной струйки, т.е.

Таким образом, получено уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести. Сумма трех членов уравнения Бернули для любого потока сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: